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1.5三角形全等的判定（培優卷）-浙教版（2024）數學八（上）進階同步練
一、選擇題
1．（2023八上·景縣期末）觀察用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖，能得出的依據是（　　）．
A．由“等邊對等角”可得
B．由可得，進而可證
C．由可得，進而可證
D．由可得，進而可證
【答案】B
【知識點】三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【解答】解：根據作圖可得，
∴，
∴，即，
故答案為：B
【分析】根據作圖可得，根據全等三角形判定定理可得，則，即，即可求出答案.
2．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”.如圖，四邊形ABCD 是一個箏形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究箏形的性質時，得到如下結論：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正確的結論有(　　).
A．0個 B．1 個 C．2個 D．3個
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABD與△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正確；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD與△COD中，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正確；
故答案為：D .
【分析】先證明△ABD與△CBD全等， 再證明△AOD與△COD全等即可判斷.
3．（2023八上·豐臺期中）如圖，已知與上的點C，點A，小臨同學現進行如下操作：①以點O為圓心，長為半徑畫弧，交于點D，連接；②以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點M；③以點M為圓心，長為半徑畫弧，交第2步中所畫的弧于點E，連接．下列結論不能由上述操作結果得出的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】平行線的判定；三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【解答】解：如圖，連接，
在和中，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴即，
∴．
故A、B、D都可得到，無法得到C．
故答案為：C
【分析】連接，根據全等三角形判定定理可得，則，再根據直線平行判定定理可得，再根據角之間的關系即可求出答案.
4．（2024七下·武侯期末）在和中，若有：①；②；③；④；⑤；⑥，則下列條件組合中，不能判定的是（　　）
A．①②③ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①③⑥
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、由①②③組合，用“”可判定，
∴此選項不符合題意；
B、由①②⑤組合，用“”可判定，
∴此選項不符合題意；
C、由②④⑤組合，用“”可判定，
∴此選項不符合題意；
D、由①③⑥組合，已知條件滿足“”或者“”兩個三角形不一定全等，
∴此選項符合題意；
故答案為：D．
【分析】A、由題意，根據有三邊對應相等的兩個三角形全等可判斷求解；
B、由題意，根據有兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等可判斷求解；
C、由題意，根據有兩角及夾邊對應相等的兩個三角形全等可判斷求解；
D、由題意，根據有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等可判斷求解.
5．如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE與CD相交于點O，∠1=∠2.圖中全等三角形共有(　　).
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
【答案】C
【知識點】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
又∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴ADO≌AEO；（AAS）
∴OD＝OE，AD＝AE，
∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，
∴BOD≌COE；（ASA）
∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，
∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°
∴ADC≌AEB；（ASA）
∵AD＝AE，BD＝CE，
∴AB＝AC，
∵OB＝OC，AO＝AO，
∴ABO≌ACO．（SSS）
所以共有四對全等三角形．
故答案為：C．
【分析】本題考查三角形全等的判定方法.已知CD⊥AB，BE⊥AC，根據垂直的定義可得：∠ADO＝∠AEO＝90°，再結合∠1＝∠2，AO＝AO，利用全等三角形的判定定理AAS可證明：ADO≌AEO，利用全等三角形的性質可得：OD＝OE，AD＝AE，再結合∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，利用全等三角形的判定定理ASA可證明：BOD≌COE，利用全等三角形的性質可得：BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，再結合AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°，利用全等三角形的判定定理ASA可證明：ADC≌AEB，利用線段的運算可得：B＝AC，再根據OB＝OC，AO＝AO，利用全等三角形的判定定理SSS可證明ABO≌ACO，據此可選出答案.
6．（2024八上·上城期末）如圖，在四邊形中，，連接，取，連接，下列條件中不一定能判定的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由題意得， ，
，
，
當，由SAS即可判定△ABD≌△ECB，故A不符合題意；
當，由SSA，不一定能說明△ABD≌△ECB，故B符合題意；
當，
，
，
又，
，由ASA即可判定△ABD≌△ECB，故C不符合題意；
當， ，由AAS即可判定△ABD≌△ECB，故D不符合題意.
故答案為：B.
【分析】 要判定△ABD△ECB，我們可以通過分析全等三角形的判定條件，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL等，來判斷給定的條件是否足以滿足這些判定條件.
7．（2024七下·浦東期末）如圖，在中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點． 有下列結論：①；②；③；④；其中正確的個數是（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；三角形全等的判定；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵、分別平分、，
∴，，
∴，
∴，故結論①正確；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故結論②正確；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，故結論③錯誤；
又∵，，
∴，
即，故結論④正確，
∴正確的個數是個．
故選：C．
【分析】
①由直角三角形兩銳角互余知，由角平分線的概念得，由內角和得；
②由周角的概念可得，結合角平分線的概念可利用ASA證明；
③由于與互余、與互余，而等于的一半，即；
④由②知，又，則由同角的余角相等可得，則可利用ASA證明，由全等的性質可得，則等量代換得．
8．（2024八上·天河期中）如圖，在中，，D，E是BC上兩點，且，過點A作，垂足是A，過點C作，垂足是C，CF交AF于點F，連接EF．給出下列結論：①；②；③若，，則；④．其中正確結論的字號是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知識點】三角形三邊關系；三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，∠ACB=45°，
，
∴∠B=∠ACF.
∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
在與中，
，
，故結論①正確，符合題意；
∵△ABD≌△ACF，
，，
，∠DAF=90°，
，
在與中，
，
，
，故結論②正確，符合題意；
∵△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，
∴S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，
若，，
，
，故結論③正確，符合題意；
∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵△CEF中，CE+CF>EF，
，故結論④錯誤，不符合題意．
故正確選項有：①②③.
故答案為：A．
【分析】證明∠B=∠ACF，，即可利用ASA證明△ABD≌△ACF，可判斷①；根據全等三角形的性質得，，從而可利用SAS證明△AED≌△AEF，根據全等三角形的性質得，可判斷②；若根據全等的性質可得S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，再結合，，等量代換即可求出并判斷③；利用△ABD≌△ACF可得BD=CF，在中，根據三角形三邊關系得，等量代換即可判斷④．
二、填空題
9．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，已知平分，且于點D，的面積是8，則的面積是　 　 ．
【答案】
【知識點】三角形的面積；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系；三角形的中線
【解析】【解答】解：如圖，延長交于，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】延長交于，得到，即可得到，然后根據三角形的中線平分三角形的面積相等得到，，最后利用解題即可．
10．如圖，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，則AD的長為　 　.
【答案】a+b-c
【知識點】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵EF＝c，
∴AD＝AF＋DF＝a＋（b c）＝a＋b c.
故答案為：a＋b c.
【分析】先利用角的運算求出∠A＝∠C，再利用“AAS”證出△ABF≌△CDE，利用全等三角形的性質可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，再結合F＝c，利用線段的和差及等量代換可得AD＝AF＋DF＝a＋（b c）＝a＋b c.
11．（2024八上·青山期末）在中，，，分別是，邊上一點，，，，，，則的長　 　．（用含，，的式子表示）
【答案】
【知識點】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AC上取點F，使，
設，，
∵，
∴，
與中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
故答案為：.
【分析】在AC上取點F，使，設，，由得到，證明，可得，根據，可得，證明得到即可得解.
12．（2023八上·紹興月考）已知，四邊形和四邊形中，，，，，現在只需補充一個條件，就可得四邊形四邊形，下列四個條件：①；②；③；④，其中，符合要求的條件的有　 　．（填所有正確結論的序號）
【答案】①②④
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：連接，
∵，，，
∴，
∴，，
當時，
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形四邊形，
∴①符合題意，
當時，
∵，，，
∴，
∴四邊形四邊形，
∴②符合題意，
當時，不能得到，
故③不符合題意，
當時，
∵，，，
∴，
∴四邊形四邊形，
∴④符合題意，
故答案為：①②④．
【分析】利用全等三角形的判斷方法及性質，及全等四邊形的判定方法和性質逐項分析判斷即可.
三、解答題
13．（2024八上·瑞安期中）如圖1，已知△ABC，過點C作CD∥AB，且CD＝BC.用尺規作△ECD≌△ABC，E是邊BC上一點.
小瑞：如圖2．以點C為圓心，AB長為半徑作弧，交BC于點E，連結DE，則△ECD≌△ABC．
小安：以點D為圓心，AC長為半徑作弧，交BC于點E，連結DE，則△ECD≌△ABC．
小瑞：小安，你的作法有問題．
小安：哦…我明白了！
（1）指出小安作法中存在的問題．
（2）證明：△ECD≌△ABC.
【答案】（1）解：以點D為圓心，AC長為半徑畫弧，交BC于點F，此時可能會有兩個交點，只有其中之一符合題意，故小安的作法有問題．
（2）證明：由作法得：AB＝CE
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BCD
∵CD＝BC
∴△ECD≌△ABC （SAS）
【知識點】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由小安的作法可知△ACB與△EDC中，AC=DE，由平行線性質知∠B=∠BCD，已知知CD=BC，根據SSA不能判定三角形全等可得結論；
（2）由二直線平行，內錯角相等得∠B=∠BCD，從而由SAS可判斷△ECD≌△ABC.
14．（2024八上·海曙開學考）
（1）模型的發現：
如圖，在中，，，直線經過點，且，兩點在直線的同側，直線，直線，垂足分別為點、問：、和的數量關系．
（2）模型的遷移：位置的改變
如圖，在的條件下，若、兩點在直線的異側，請說明、和的數量關系，并證明．
【答案】（1），
證明：理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2），
證明如下：，
，
直線，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
【知識點】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性質可證得∠DAB=∠ECA，利用AAS證明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性質可推出AE=BD，AD=CE，然后根據DE=AD+AE，代入可證得結論.
（2）利用垂直的概念和余角的性質可證得∠DAB=∠ECA，利用AAS證明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性質可推出AE=BD，AD=CE，然后根據AE=AD+DE，代入可證得結論.
15．（2024八上·杭州期中）如圖，，，，于，
（1）求證：≌；
（2）猜想：，，的數量關系為 　 　不需證明；
（3）當繞點旋轉到圖位置時，猜想線段，，之間又有怎樣的數量關系，并證明你的結論．
【答案】（1）證明：，，
在和中
≌
（2）
（3）解：DE=BE-AD，
，，
在和中
≌
，，
．
【知識點】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】（2）解：∵ △BCE≌△CAD，∴ CE=AD，BE=CD，
∵ DE=CE-CD，∴ DE=AD-BE；
故答案為：
【分析】（1）根據同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，依據AAS即可判定△BCE≌△CAD；
（2）由（1）△BCE≌△CAD可知，CE=AD，BE=CD，即可證明；
（3）根據AAS判定△BCE≌△CAD，推出AD=CE，BE=CD，即可得到DE=BE-AD.
16．（2024八上·柯橋月考）閱讀與思考
下面是小明同學的數學學習筆記，請您仔細閱讀并完成相應的任務：構造全等三角形解決圖形與幾何問題.
在圖形與幾何的學習中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構造全等三角形，運用全等三角形的性質解決問題．
例：如圖1，D是△ABC內一點，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連結BD，若△ABD的面積為10，求△ABC的面積．
該問題的解答過程如下：
解：如圖2，過點B作BH⊥CD交CD延長線于點H，CH，AB交于點E，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依據1）
∴ED＝CD（依據2），S△ADE＝S△ADC，∵，．
…
（1）任務一：上述解答過程中的依據1是　 　，依據2是　 　.
（2）任務二：請將上述解答過程的剩余部分補充完整.
（3）應用：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于點D，過點C作CE⊥BD交BD延長線于點E．若CE＝6，求BD的長．
【答案】（1）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等
（2）解：如圖2，剩余部分如下：
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20；
（3）解：延長CE、BA交于點F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝6，
∴CF＝EF+EC＝12，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝12．
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）根據全等三角形判定定理及性質即可求出答案.
（2）根據三角形面積即可求出答案.
（3）分別設第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3，根據角平分線定義可得∠ABD＝∠CBD，再根據全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），則EF＝CE＝6，根據邊之間的關系可得CF=12，再根據角之間的關系可得∠ABD＝∠ACF，再根據全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），則BD＝CF＝12，即可求出答案.
17．（2024八上·臨海期中）下表是小聰同學開展項目化學習時填寫了部分內容的記錄表，
項目：測量小山坡的寬度.
活動：小山坡的寬度不能直接測量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，測角儀
標桿等，各組確定方案后，選擇測量工具，畫出測量示意圖，再進行實地測量，得到具體數據，從而計算出小山坡的寬度.
成果：下面是小聰同學所在小組進行交流展示的部分項目研究內容：
項目 示意圖 測量方案 測得數據
測量小山坡 的寬度AB 在小山坡外面的平地上找一點O，立一根標桿，然后再找到點C，D，使OC=OA. OD =OB OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m
請你幫助小聰組完成下列任務.
（1）任務1：王老師發現小聰組的測量方案有問題，請你幫助小聰組找到問題并完善測量方案.
（2）任務2：完善方案后請你借助上述測量數據，計算小山坡的寬度AB，并說明理由
（3）任務3：利用所學知識，請你再設計一個測量方案，并簡要說明你的設計思路.
【答案】（1）解：∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°或點C，D分別在 AO，BO 的延長線上或A，O，C；B，O，D 三點共線等.
（2）解：∵OA=OC， OB=OD， ∠COD=∠AOB.
∴△COD≌△AOB.
∴CD=AB=360 m.
答：小山坡的寬度 AB 為 360 米.
（3）解：如圖，先在B處立一根標桿，使∠BAD=60°，確定AD的方向；同理使∠ABE=60°，確定BE 的方向：然后找到兩個方向的交匯處點 C：量出 AC的長度，即為小山坡的寬度 AB(測量方案只要符合即可).
【知識點】全等三角形的實際應用
【解析】【分析】(1)l利用∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°，即可求解；
（2）根據“SAS”得出△COD≌△AOB，即可求解；
（3）可以利用全等的性質來測量.
18．（2023八上·臨海期中）
（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．
（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．
【答案】（1）解：∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
∴△ABD≌△CEA(AAS)
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（2）解：DE=BD＋CE.
如圖2，證明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA＋∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（3）證明：如圖3，
過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N..'
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的結論可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△GNI和△EMI中，，
∴△GNI≌△EMI(AAS)，
∴EI=GI，
∴I是EG的中點．
【知識點】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根據同角的余角相等得∠CAE=∠ABD，依據AAS判定△ABD≌△CEA，結論即可求得；
（2）根據已知條件得∠DBA=∠CAE，依據AAS判定△ADB≌△CEA，結論即可求得；
（3）通過輔助線構建全等三角形，由（1）和（2）結論得EM=AH=GN，再依據AAS判定△GNI≌△EMI，結論即可求得。
1 / 11.5三角形全等的判定（培優卷）-浙教版（2024）數學八（上）進階同步練
一、選擇題
1．（2023八上·景縣期末）觀察用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖，能得出的依據是（　　）．
A．由“等邊對等角”可得
B．由可得，進而可證
C．由可得，進而可證
D．由可得，進而可證
2．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”.如圖，四邊形ABCD 是一個箏形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究箏形的性質時，得到如下結論：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正確的結論有(　　).
A．0個 B．1 個 C．2個 D．3個
3．（2023八上·豐臺期中）如圖，已知與上的點C，點A，小臨同學現進行如下操作：①以點O為圓心，長為半徑畫弧，交于點D，連接；②以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點M；③以點M為圓心，長為半徑畫弧，交第2步中所畫的弧于點E，連接．下列結論不能由上述操作結果得出的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·武侯期末）在和中，若有：①；②；③；④；⑤；⑥，則下列條件組合中，不能判定的是（　　）
A．①②③ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①③⑥
5．如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE與CD相交于點O，∠1=∠2.圖中全等三角形共有(　　).
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
6．（2024八上·上城期末）如圖，在四邊形中，，連接，取，連接，下列條件中不一定能判定的是
A． B． C． D．
7．（2024七下·浦東期末）如圖，在中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點． 有下列結論：①；②；③；④；其中正確的個數是（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
8．（2024八上·天河期中）如圖，在中，，D，E是BC上兩點，且，過點A作，垂足是A，過點C作，垂足是C，CF交AF于點F，連接EF．給出下列結論：①；②；③若，，則；④．其中正確結論的字號是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空題
9．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，已知平分，且于點D，的面積是8，則的面積是　 　 ．
10．如圖，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，則AD的長為　 　.
11．（2024八上·青山期末）在中，，，分別是，邊上一點，，，，，，則的長　 　．（用含，，的式子表示）
12．（2023八上·紹興月考）已知，四邊形和四邊形中，，，，，現在只需補充一個條件，就可得四邊形四邊形，下列四個條件：①；②；③；④，其中，符合要求的條件的有　 　．（填所有正確結論的序號）
三、解答題
13．（2024八上·瑞安期中）如圖1，已知△ABC，過點C作CD∥AB，且CD＝BC.用尺規作△ECD≌△ABC，E是邊BC上一點.
小瑞：如圖2．以點C為圓心，AB長為半徑作弧，交BC于點E，連結DE，則△ECD≌△ABC．
小安：以點D為圓心，AC長為半徑作弧，交BC于點E，連結DE，則△ECD≌△ABC．
小瑞：小安，你的作法有問題．
小安：哦…我明白了！
（1）指出小安作法中存在的問題．
（2）證明：△ECD≌△ABC.
14．（2024八上·海曙開學考）
（1）模型的發現：
如圖，在中，，，直線經過點，且，兩點在直線的同側，直線，直線，垂足分別為點、問：、和的數量關系．
（2）模型的遷移：位置的改變
如圖，在的條件下，若、兩點在直線的異側，請說明、和的數量關系，并證明．
15．（2024八上·杭州期中）如圖，，，，于，
（1）求證：≌；
（2）猜想：，，的數量關系為 　 　不需證明；
（3）當繞點旋轉到圖位置時，猜想線段，，之間又有怎樣的數量關系，并證明你的結論．
16．（2024八上·柯橋月考）閱讀與思考
下面是小明同學的數學學習筆記，請您仔細閱讀并完成相應的任務：構造全等三角形解決圖形與幾何問題.
在圖形與幾何的學習中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構造全等三角形，運用全等三角形的性質解決問題．
例：如圖1，D是△ABC內一點，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連結BD，若△ABD的面積為10，求△ABC的面積．
該問題的解答過程如下：
解：如圖2，過點B作BH⊥CD交CD延長線于點H，CH，AB交于點E，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依據1）
∴ED＝CD（依據2），S△ADE＝S△ADC，∵，．
…
（1）任務一：上述解答過程中的依據1是　 　，依據2是　 　.
（2）任務二：請將上述解答過程的剩余部分補充完整.
（3）應用：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于點D，過點C作CE⊥BD交BD延長線于點E．若CE＝6，求BD的長．
17．（2024八上·臨海期中）下表是小聰同學開展項目化學習時填寫了部分內容的記錄表，
項目：測量小山坡的寬度.
活動：小山坡的寬度不能直接測量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，測角儀
標桿等，各組確定方案后，選擇測量工具，畫出測量示意圖，再進行實地測量，得到具體數據，從而計算出小山坡的寬度.
成果：下面是小聰同學所在小組進行交流展示的部分項目研究內容：
項目 示意圖 測量方案 測得數據
測量小山坡 的寬度AB 在小山坡外面的平地上找一點O，立一根標桿，然后再找到點C，D，使OC=OA. OD =OB OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m
請你幫助小聰組完成下列任務.
（1）任務1：王老師發現小聰組的測量方案有問題，請你幫助小聰組找到問題并完善測量方案.
（2）任務2：完善方案后請你借助上述測量數據，計算小山坡的寬度AB，并說明理由
（3）任務3：利用所學知識，請你再設計一個測量方案，并簡要說明你的設計思路.
18．（2023八上·臨海期中）
（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．
（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【解答】解：根據作圖可得，
∴，
∴，即，
故答案為：B
【分析】根據作圖可得，根據全等三角形判定定理可得，則，即，即可求出答案.
2．【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABD與△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正確；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD與△COD中，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正確；
故答案為：D .
【分析】先證明△ABD與△CBD全等， 再證明△AOD與△COD全等即可判斷.
3．【答案】C
【知識點】平行線的判定；三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【解答】解：如圖，連接，
在和中，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴即，
∴．
故A、B、D都可得到，無法得到C．
故答案為：C
【分析】連接，根據全等三角形判定定理可得，則，再根據直線平行判定定理可得，再根據角之間的關系即可求出答案.
4．【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、由①②③組合，用“”可判定，
∴此選項不符合題意；
B、由①②⑤組合，用“”可判定，
∴此選項不符合題意；
C、由②④⑤組合，用“”可判定，
∴此選項不符合題意；
D、由①③⑥組合，已知條件滿足“”或者“”兩個三角形不一定全等，
∴此選項符合題意；
故答案為：D．
【分析】A、由題意，根據有三邊對應相等的兩個三角形全等可判斷求解；
B、由題意，根據有兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等可判斷求解；
C、由題意，根據有兩角及夾邊對應相等的兩個三角形全等可判斷求解；
D、由題意，根據有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等可判斷求解.
5．【答案】C
【知識點】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
又∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴ADO≌AEO；（AAS）
∴OD＝OE，AD＝AE，
∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，
∴BOD≌COE；（ASA）
∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，
∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°
∴ADC≌AEB；（ASA）
∵AD＝AE，BD＝CE，
∴AB＝AC，
∵OB＝OC，AO＝AO，
∴ABO≌ACO．（SSS）
所以共有四對全等三角形．
故答案為：C．
【分析】本題考查三角形全等的判定方法.已知CD⊥AB，BE⊥AC，根據垂直的定義可得：∠ADO＝∠AEO＝90°，再結合∠1＝∠2，AO＝AO，利用全等三角形的判定定理AAS可證明：ADO≌AEO，利用全等三角形的性質可得：OD＝OE，AD＝AE，再結合∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，利用全等三角形的判定定理ASA可證明：BOD≌COE，利用全等三角形的性質可得：BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，再結合AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°，利用全等三角形的判定定理ASA可證明：ADC≌AEB，利用線段的運算可得：B＝AC，再根據OB＝OC，AO＝AO，利用全等三角形的判定定理SSS可證明ABO≌ACO，據此可選出答案.
6．【答案】B
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由題意得， ，
，
，
當，由SAS即可判定△ABD≌△ECB，故A不符合題意；
當，由SSA，不一定能說明△ABD≌△ECB，故B符合題意；
當，
，
，
又，
，由ASA即可判定△ABD≌△ECB，故C不符合題意；
當， ，由AAS即可判定△ABD≌△ECB，故D不符合題意.
故答案為：B.
【分析】 要判定△ABD△ECB，我們可以通過分析全等三角形的判定條件，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL等，來判斷給定的條件是否足以滿足這些判定條件.
7．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；三角形全等的判定；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵、分別平分、，
∴，，
∴，
∴，故結論①正確；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故結論②正確；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，故結論③錯誤；
又∵，，
∴，
即，故結論④正確，
∴正確的個數是個．
故選：C．
【分析】
①由直角三角形兩銳角互余知，由角平分線的概念得，由內角和得；
②由周角的概念可得，結合角平分線的概念可利用ASA證明；
③由于與互余、與互余，而等于的一半，即；
④由②知，又，則由同角的余角相等可得，則可利用ASA證明，由全等的性質可得，則等量代換得．
8．【答案】A
【知識點】三角形三邊關系；三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，∠ACB=45°，
，
∴∠B=∠ACF.
∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
在與中，
，
，故結論①正確，符合題意；
∵△ABD≌△ACF，
，，
，∠DAF=90°，
，
在與中，
，
，
，故結論②正確，符合題意；
∵△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，
∴S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，
若，，
，
，故結論③正確，符合題意；
∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵△CEF中，CE+CF>EF，
，故結論④錯誤，不符合題意．
故正確選項有：①②③.
故答案為：A．
【分析】證明∠B=∠ACF，，即可利用ASA證明△ABD≌△ACF，可判斷①；根據全等三角形的性質得，，從而可利用SAS證明△AED≌△AEF，根據全等三角形的性質得，可判斷②；若根據全等的性質可得S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，再結合，，等量代換即可求出并判斷③；利用△ABD≌△ACF可得BD=CF，在中，根據三角形三邊關系得，等量代換即可判斷④．
9．【答案】
【知識點】三角形的面積；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系；三角形的中線
【解析】【解答】解：如圖，延長交于，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】延長交于，得到，即可得到，然后根據三角形的中線平分三角形的面積相等得到，，最后利用解題即可．
10．【答案】a+b-c
【知識點】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵EF＝c，
∴AD＝AF＋DF＝a＋（b c）＝a＋b c.
故答案為：a＋b c.
【分析】先利用角的運算求出∠A＝∠C，再利用“AAS”證出△ABF≌△CDE，利用全等三角形的性質可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，再結合F＝c，利用線段的和差及等量代換可得AD＝AF＋DF＝a＋（b c）＝a＋b c.
11．【答案】
【知識點】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AC上取點F，使，
設，，
∵，
∴，
與中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
故答案為：.
【分析】在AC上取點F，使，設，，由得到，證明，可得，根據，可得，證明得到即可得解.
12．【答案】①②④
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：連接，
∵，，，
∴，
∴，，
當時，
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形四邊形，
∴①符合題意，
當時，
∵，，，
∴，
∴四邊形四邊形，
∴②符合題意，
當時，不能得到，
故③不符合題意，
當時，
∵，，，
∴，
∴四邊形四邊形，
∴④符合題意，
故答案為：①②④．
【分析】利用全等三角形的判斷方法及性質，及全等四邊形的判定方法和性質逐項分析判斷即可.
13．【答案】（1）解：以點D為圓心，AC長為半徑畫弧，交BC于點F，此時可能會有兩個交點，只有其中之一符合題意，故小安的作法有問題．
（2）證明：由作法得：AB＝CE
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BCD
∵CD＝BC
∴△ECD≌△ABC （SAS）
【知識點】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由小安的作法可知△ACB與△EDC中，AC=DE，由平行線性質知∠B=∠BCD，已知知CD=BC，根據SSA不能判定三角形全等可得結論；
（2）由二直線平行，內錯角相等得∠B=∠BCD，從而由SAS可判斷△ECD≌△ABC.
14．【答案】（1），
證明：理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2），
證明如下：，
，
直線，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
【知識點】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性質可證得∠DAB=∠ECA，利用AAS證明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性質可推出AE=BD，AD=CE，然后根據DE=AD+AE，代入可證得結論.
（2）利用垂直的概念和余角的性質可證得∠DAB=∠ECA，利用AAS證明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性質可推出AE=BD，AD=CE，然后根據AE=AD+DE，代入可證得結論.
15．【答案】（1）證明：，，
在和中
≌
（2）
（3）解：DE=BE-AD，
，，
在和中
≌
，，
．
【知識點】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】（2）解：∵ △BCE≌△CAD，∴ CE=AD，BE=CD，
∵ DE=CE-CD，∴ DE=AD-BE；
故答案為：
【分析】（1）根據同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，依據AAS即可判定△BCE≌△CAD；
（2）由（1）△BCE≌△CAD可知，CE=AD，BE=CD，即可證明；
（3）根據AAS判定△BCE≌△CAD，推出AD=CE，BE=CD，即可得到DE=BE-AD.
16．【答案】（1）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等
（2）解：如圖2，剩余部分如下：
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20；
（3）解：延長CE、BA交于點F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝6，
∴CF＝EF+EC＝12，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝12．
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）根據全等三角形判定定理及性質即可求出答案.
（2）根據三角形面積即可求出答案.
（3）分別設第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3，根據角平分線定義可得∠ABD＝∠CBD，再根據全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），則EF＝CE＝6，根據邊之間的關系可得CF=12，再根據角之間的關系可得∠ABD＝∠ACF，再根據全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），則BD＝CF＝12，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°或點C，D分別在 AO，BO 的延長線上或A，O，C；B，O，D 三點共線等.
（2）解：∵OA=OC， OB=OD， ∠COD=∠AOB.
∴△COD≌△AOB.
∴CD=AB=360 m.
答：小山坡的寬度 AB 為 360 米.
（3）解：如圖，先在B處立一根標桿，使∠BAD=60°，確定AD的方向；同理使∠ABE=60°，確定BE 的方向：然后找到兩個方向的交匯處點 C：量出 AC的長度，即為小山坡的寬度 AB(測量方案只要符合即可).
【知識點】全等三角形的實際應用
【解析】【分析】(1)l利用∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°，即可求解；
（2）根據“SAS”得出△COD≌△AOB，即可求解；
（3）可以利用全等的性質來測量.
18．【答案】（1）解：∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
∴△ABD≌△CEA(AAS)
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（2）解：DE=BD＋CE.
如圖2，證明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA＋∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（3）證明：如圖3，
過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N..'
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的結論可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△GNI和△EMI中，，
∴△GNI≌△EMI(AAS)，
∴EI=GI，
∴I是EG的中點．
【知識點】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根據同角的余角相等得∠CAE=∠ABD，依據AAS判定△ABD≌△CEA，結論即可求得；
（2）根據已知條件得∠DBA=∠CAE，依據AAS判定△ADB≌△CEA，結論即可求得；
（3）通過輔助線構建全等三角形，由（1）和（2）結論得EM=AH=GN，再依據AAS判定△GNI≌△EMI，結論即可求得。
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