資源簡介

人教版（2024）八年級上同步分層訓練14.2全等三角形的判定
一、夯實基礎
1．（2024八上·廣州期中）如圖，用直尺和圓規作一個角等于已知角，能得出的依據是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
故答案為：D．
【分析】根據作一個角等于已知角的作法和步驟可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，從而利用SSS判斷出△OCD≌△O'C'D'，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠A'O'B'.
2．（2025八上·廣安期末）如圖，在中，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SAS
3．（2025八上·臺州期末）如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據所學知識很快就畫出一個與原三角形形狀大小完全一樣（即全等）的三角形，這兩個三角形全等的依據為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵直角三角形沒被擋住的是兩角和夾邊，∴畫出一個與原三角形全等的三角形，這兩個三角形全等的依據為ASA.
故答案選：C．
【分析】兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等，由此即可判斷.
4．（2025八上·紅花崗期末）如圖，與相交于點，不添加輔助線，能直接判定的依據是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在和中，
∴
故答案為：C．
【分析】根據AAS證明全等即可．
5．（2023八上·大名期末）如圖，點A在上，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：令、交于點，
則
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
故選：B．
【分析】令、交于點，根據角之間的關系可得，再根據全等三角形判定定理及性質即可求出答案.
6．（2024八上·長沙期末）如圖所示，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】三角形外角的概念及性質；三角形全等的判定-SAS
7．（2024八上·廊坊期末）在△ABC和△DEF中，下列給出的條件，能用“SAS”判定這兩個三角形全等的是（　　）
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E
C．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SAS
8．（2023八上·沙洋期中）如圖，在中，，，于，于，，，　 　．
【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴
∴，，
∴，
故答案為：．
【分析】根據角之間的關系可得，再根據全等三角形判定定理可得，則，，再根據邊之間的關系即可求出答案.
9．（2024八上·龍馬潭期中）如圖，△ABC中，點D、E分別為BC、CA上的兩點，且BD＝CE，連接AD、BE交于點F，則∠FAE＋∠AEF的度數是　 　．
【答案】120°
【知識點】三角形全等的判定-SAS
10．（2024八上·中山期中）某校七年級學生到野外活動，為測量一池塘兩端，的距離，甲、乙兩位同學分別設計出如下兩種方案：
甲：如圖，先在平地取一個可直接到達，的點，再連接，，并分別延長至，至，使，，最后測出的長即為，的距離．
乙：如圖，過點作，再由點觀測，在的延長線上取一點，使，這時只要測出的長即為，的距離．
（1）以上兩位同學所設計的方案，可行的有______；
（2）請你選擇一可行的方案，說說它可行的理由．
【答案】（1）甲、乙；
（2）選甲：
在和中，，
∴，
∴，
選乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】（1）甲同學的方法利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離，
乙同學的方法利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離，
故答案為：甲、乙．
【分析】本題考查全等三角形的應用，全等三角形的判定定理，全等三角形的性質.
(1)甲同學根據對頂角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根據AC=DC，利用全等三角形的判定定理證明三角形全等則需要測出的長即為，的距離，說明AB=ED；
乙同學根據 ，公共邊相等即BD=BD，利用全等三角形的判定定理證明三角形全等則需要測出的長即為，的距離，說明AB=BC；
(2)選甲，根據對頂角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根據AC=DC，利用全等三角形的判定定理SAS可證明，利用全等三角形的性質可證明結論；
選乙：根據，利用垂直的定義可得：，再根據，利用全等三角形的判定定理ASA可證明，利用全等三角形的性質可證明結論.
（1）甲同學的方法利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離，
乙同學的方法利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離，
故答案為：甲、乙．
（2）選甲：在和中，
，
∴，
∴，
選乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
11．（2024八上·臨海期中）如圖，在△ABC中， ∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE⊥AB于點E，點F，在BC上，使DF=AD.
（1）求證：Rt△ADE≌Rt△FDC.
（2）請判斷CF，AB，BF之間的數量關系，并說明理由.
【答案】（1）證明：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠DEA=90°
∵BD平分∠ABC
∴DE=CD.
又∵DF=AD.
∴Rt△ADE≌Rt△FDC(HL).
（2）解：AB=BF+2CF
∵Rt△ADE≌Rt△FDC，
∴CF=AE.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
由題知可∠C=∠DEB=90°
∵BD=BD.
∴△EBD≌ △CBD.
∴BE=BC.
∴AB=AE+EB=AE+BC=CF+CF+BF=2CF+BF
∴AB=BF+2CF
【知識點】三角形全等及其性質；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】(1)根據角平分線的性質得到CD= DE，根據直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADE≌Rt△FDC；
(2)根據全等三角形的性質定理得到BE=BC，根據(1)的結論得到答案.
12．（2024八上·拜城期中）（1）如圖，在與中，，，，求證：；
（2）如圖，在與中，，，，點，，在一條直線上，與交于點，為中點，求的度數．
【答案】（1）證明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的運算求出，再利用“SAS”證出即可；
（2）先利用角的運算求出，再利用“SAS”證出，再利用全等三角形的性質可得，最后利用角的運算求出即可．
二、能力提升
13．（2024八上·拱墅月考）如圖，中，，，，，則下列結論正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△BDE和△CFD中，
，
∴，
∴∠BED=∠CDF，
∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∠EDF=a，
∴180°-∠B-∠BED+a+∠CDF=180°，
∴∠B=a，
即2a+∠A=180°．
故答案為：A ．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理的運用，根據兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等可得，根據全等三角形的對應角相等得出∠BED=∠CDF，根據三角形內角和是180°得出∠A+2∠B=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，結合平角的定義即可求得∠B=a，即可求解.
14．（2024八上·霸州期末）如圖，在中，，的角平分線交于點D，于點E，若與的周長分別為13和3，則的長為（　　）
A．10 B．16 C．8 D．5
【答案】D
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：由題意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
由題意知，，
∴，
解得，
故答案為：D
【分析】根據全等三角形判定定理可得，則，，再根據邊之間的關系即可求出答案.
15．（2025八上·西湖期末）如圖，在的正方形網格中，點A，B，C，D均為格點，順次連接，，，，則下列說法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解：如圖，取格點，連接，
根據題意：，
∴，
∴，
∵，
若，則，
∵，
∴，
∴（與題干矛盾），故A選項錯誤；
∵，
∴，故B選項正確；
∵，故C選項錯誤；
∵，
∴，
∴，故D選項錯誤；
故答案選：B．
【分析】取格點，連接，利用網格線的性質利用證明，再利用三角形全等的性質逐一判斷即可．
16．（2025八上·海珠期末）如圖，在中，，點B的坐標為，點C的坐標為，則點A的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】點的坐標；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖所示，過點A作軸于點E，過點C作軸于點F，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
∵點的坐標為，點的坐標是，
∴，，，
∴，，
∴點的坐標為．
故答案為：C.
【分析】先求出，再利用AAS證明，最后根據全等三角形的性質和點的坐標計算求解即可。
17．（2024八上·東陽期末）如圖，平分，過點作于點交的延長線于點與交于點．下列結論：①；②；③；④．其中結論正確的為（　　）
A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【知識點】三角形內角和定理；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中對應邊的關系；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解：平分，
．
在和中，
，
故結論①正確；
．
在和中，
，
，
故結論②正確；
，
．
，
，
故結論③正確；
。
，
，
，
故結論④正確．
綜上所述，結論正確的為①②③④，
故答案為：A．
【分析】根據得到，判斷①；根據判定②；得到判定③；證明判定④解答即可.
18．（2024八上·沙洋月考）如圖為個邊長相等的正方形的組合圖形，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SAS
19．（2024八上·海珠期中）如圖，在，中，，，，C，D，E三點在同一直線上，連接，以下四個結論
①；②；
③；④．
其中結論正確的是　 　．（把正確結論的序號填在橫線上）．
【答案】①③④
【知識點】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解： ，
即：
在 和 中
， ① 正確；
為等腰直角三角形，
， ② 錯誤；
即，
∴， ③ 正確；
， ④ 正確；
故答案為：①③④．
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質.根據，利用角的運算可得 ，再結合 ，，利用全等三角形的判定定理可證明，利用全等三角形的性質可得：，據此可判斷說法；利用等腰直角三角形的性質可得：，再根據，利用全等三角形的性質可得：，利用角的運算可推出結論，進而可判斷說法；根據
，可得，利用角的運算可得：，利用垂直的定義可判斷說法；直接利用角的運算可得：，再進行計算可判斷說法.
20．（2024八上·武漢月考）如圖，在中，是高，，，在邊上取點D，連接，，若，，則．
【答案】
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
21．（2023八上·潮南期末）已知：中，，，點為內一點，連接，，，過點作，交的延長線于點．
（1）如圖，求證：；
（2）如圖，點為的中點，分別連接，，求的度數．
【答案】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在與中，
∴，
∴
（2）解：如圖，連接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在與中，
∴，
∴，，
∴即，
∴
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根據全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，進而利用全等三角形的性質得出BD=AE即可；
（2）根據全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，進而利用全等三角形的性質解答即可.
22．（2024八上·前郭爾羅斯期末）如圖
（1）【探究與發現】如圖1，是的中線，延長至點E，使，連接，寫出圖中全等的兩個三角形　 　．
（2）【理解與應用】填空：如圖2，是的中線，若，，設，則x的取值范圍是　 　．
（3）已知：如圖3，是的中線，，點Q在的延長線上，，求證：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：證明：如圖3，延長到M，使，連接，
∴，
∵是的中線，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴．
【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵是的中線，
∴，
∴；
（2）如圖2，延長至點Q，使，連接，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴x的取值范圍是；
【分析】（1）先根據三角形中線的性質得到，進而運用三角形全等的判定即可求解；
（2）延長至點Q，使，連接，進而根據三角形全等的判定與性質證明即可得到，從而根據三角形的三邊關系即可求解；
（3）延長到M，使，連接，進而得到，再根據三角形中線的性質得到，進而運用三角形全等的判定與性質證明即可得到，，再結合題意證明即可求解。
三、拓展創新
23．（2024八上·北京市期中）如圖，在中，分別延長邊上的中線到．使，則下列說法：①；②；③；④四邊形的面積是面積的3倍．其中正確的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知識點】平行線的判定；三角形的角平分線、中線和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：②是的中線，
，
在和中，
，
，
，，
∴，②正確；
①.同理，
，，
，，①正確；
④.，，
、、三點在同一條直線上，
，
設兩條平行線與之間的距離為，
，
∴，
，
，④正確；
③.無法判斷，③錯誤；
綜上分析可知：正確的有①②④，故B正確．
故選：B．
【分析】本題考查三角形中線的定義，全等三角形的判定和性質，平行線的判定.根據中點的性質可得：，再結合，，利用全等三角形的判定定理“”可證明，利用全等三角形的性質可得：，，根據內錯角相等，兩直線平行可推出：，據此可判斷說法②；同理利用全等三角形的判定定理可證明：，，利用全等三角形的性質可得：，，，利用等量代換可得：，根據內錯角相等，兩直線平行可推出：，據此可判斷說法①；根據，，可證明、、三點在同一條直線上，據此可得，設兩條平行線與之間的距離為，則，利用三角形的面積計算公式和四邊形的面積計算公式可證明，據此可判斷說法④正，無法判斷，據此可判斷說法③．
24．（2024八上·義烏期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC與點G，BD平分∠ABC交AC于點D，AG、BD相交于點F，BE⊥AG交AG的延長線于點E，連接CE，下列結論中正確的是（　　）
①若∠BAD＝70°，則∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正確；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正確；
延長BE，AC交于點H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴點E是BH的中點，
只有當∠BCH=90°時，CE=BE，故③錯誤；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正確；
∴正確結論有3個.
故答案為：B.
【分析】利用三角形的內角和定理求出∠ABC的度數，再利用角平分線的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定義可求出∠AEB的度數，即可求出∠ABE的度數，根據∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入計算可對①作出判斷；利用角平分線的概念可求出∠FBG的度數，可求出∠EBF的度數，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可對②作出判斷；延長BE，AC交于點H，利用ASA可證得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性質可證得BE=HE，只有當∠BCH=90°時，CE=BE，可對③作出判斷；在AB上截取AM=AD，利用SAS可證得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性質可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可證得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性質可推出BM=BG，然后根據AB=AM+BM，代入可對④作出判斷；綜上所述，可得到正確結論的個數.
25．（2024八上·重慶市開學考）在中，于E，于D，交于F，平分交延長線于M，連接，．若，，，則　 　．
【答案】
【知識點】三角形全等的判定-SAS
26．（2023八上·五華期中）
（1）【問題提出】在一次課上，老師出了這樣一道題：在四邊形ABCD中，，，，E、F分別是BC、CD上的點，且，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數量關系．小亮同學認為：延長FD到點G，使，連接AG，先證明，再證明，則可得到BE、EF、FD之間的數量關系是　 　．
（2）【探索延伸】在四邊形ABCD中，如圖2，，，E、F分別是BC、CD上的點，，上述結論是否仍然成立？說明理由．
（3）【結論運用】如圖3，臺風中心位于A點，且OA與y軸夾角為，臺風中心風力12級，每遠離臺風中心40海里，風力就會減弱一級．貨輪位于B處，且OB與y軸夾角為，并且臺風中心和貨輪到小島的距離相等，如果臺風中心向正東方向以40海里/小時的速度前進，同時該貨輪沿BF方向以60海里/小時的速度前進（即），2小時后，它們分別到達E，F處，且，問此時該貨輪受到臺風影響的最大風力有幾級？
【答案】（1）
（2）解：成立
（3）解：2.74級臺風
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵
∴BE=DG
∵
∴EF=GF
∵GF=DG+DF
∴
（2）如圖 ，延長FD到G，使DG=BE，連接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADG
在△ABE和△ADG中
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG
∴
∴
∵
∴
在△AEF和△AGF中
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF=FG
∴FG=DG+FD=BE+DFF '
（3）如圖，延長AE，BF交于點C，連接EF
∵
∴
∵OA=OB，
∴符合（2）中條件
∴EF=AE+BF仍然成立
EF=2×40+2×60=200（海里）
200×1.852=370.4千米
∴此時該貨輪受到臺風影響的最大風力級數為：
級
【分析】（1）根據全等三角形性質可得BE=DG，EF=GF，再進行邊之間的轉換即可求出答案.
（2）延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADG，則AE=AG，∠BAE=∠DAG，再根據全等三角形判定定理可得△AEF≌△AGF，則EF=FG，再進行邊之間的轉換即可求出答案.
（3）延長AE，BF交于點C，連接EF，根據題意可得EF=AE+BF仍然成立，求出EF長，即可求出答案.
1 / 1人教版（2024）八年級上同步分層訓練14.2全等三角形的判定
一、夯實基礎
1．（2024八上·廣州期中）如圖，用直尺和圓規作一個角等于已知角，能得出的依據是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·廣安期末）如圖，在中，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·臺州期末）如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據所學知識很快就畫出一個與原三角形形狀大小完全一樣（即全等）的三角形，這兩個三角形全等的依據為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·紅花崗期末）如圖，與相交于點，不添加輔助線，能直接判定的依據是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八上·大名期末）如圖，點A在上，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·長沙期末）如圖所示，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·廊坊期末）在△ABC和△DEF中，下列給出的條件，能用“SAS”判定這兩個三角形全等的是（　　）
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E
C．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
8．（2023八上·沙洋期中）如圖，在中，，，于，于，，，　 　．
9．（2024八上·龍馬潭期中）如圖，△ABC中，點D、E分別為BC、CA上的兩點，且BD＝CE，連接AD、BE交于點F，則∠FAE＋∠AEF的度數是　 　．
10．（2024八上·中山期中）某校七年級學生到野外活動，為測量一池塘兩端，的距離，甲、乙兩位同學分別設計出如下兩種方案：
甲：如圖，先在平地取一個可直接到達，的點，再連接，，并分別延長至，至，使，，最后測出的長即為，的距離．
乙：如圖，過點作，再由點觀測，在的延長線上取一點，使，這時只要測出的長即為，的距離．
（1）以上兩位同學所設計的方案，可行的有______；
（2）請你選擇一可行的方案，說說它可行的理由．
11．（2024八上·臨海期中）如圖，在△ABC中， ∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE⊥AB于點E，點F，在BC上，使DF=AD.
（1）求證：Rt△ADE≌Rt△FDC.
（2）請判斷CF，AB，BF之間的數量關系，并說明理由.
12．（2024八上·拜城期中）（1）如圖，在與中，，，，求證：；
（2）如圖，在與中，，，，點，，在一條直線上，與交于點，為中點，求的度數．
二、能力提升
13．（2024八上·拱墅月考）如圖，中，，，，，則下列結論正確的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2024八上·霸州期末）如圖，在中，，的角平分線交于點D，于點E，若與的周長分別為13和3，則的長為（　　）
A．10 B．16 C．8 D．5
15．（2025八上·西湖期末）如圖，在的正方形網格中，點A，B，C，D均為格點，順次連接，，，，則下列說法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2025八上·海珠期末）如圖，在中，，點B的坐標為，點C的坐標為，則點A的坐標為（　　）
A． B． C． D．
17．（2024八上·東陽期末）如圖，平分，過點作于點交的延長線于點與交于點．下列結論：①；②；③；④．其中結論正確的為（　　）
A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①②④
18．（2024八上·沙洋月考）如圖為個邊長相等的正方形的組合圖形，則（　　）
A． B． C． D．
19．（2024八上·海珠期中）如圖，在，中，，，，C，D，E三點在同一直線上，連接，以下四個結論
①；②；
③；④．
其中結論正確的是　 　．（把正確結論的序號填在橫線上）．
20．（2024八上·武漢月考）如圖，在中，是高，，，在邊上取點D，連接，，若，，則．
21．（2023八上·潮南期末）已知：中，，，點為內一點，連接，，，過點作，交的延長線于點．
（1）如圖，求證：；
（2）如圖，點為的中點，分別連接，，求的度數．
22．（2024八上·前郭爾羅斯期末）如圖
（1）【探究與發現】如圖1，是的中線，延長至點E，使，連接，寫出圖中全等的兩個三角形　 　．
（2）【理解與應用】填空：如圖2，是的中線，若，，設，則x的取值范圍是　 　．
（3）已知：如圖3，是的中線，，點Q在的延長線上，，求證：．
三、拓展創新
23．（2024八上·北京市期中）如圖，在中，分別延長邊上的中線到．使，則下列說法：①；②；③；④四邊形的面積是面積的3倍．其中正確的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
24．（2024八上·義烏期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC與點G，BD平分∠ABC交AC于點D，AG、BD相交于點F，BE⊥AG交AG的延長線于點E，連接CE，下列結論中正確的是（　　）
①若∠BAD＝70°，則∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
25．（2024八上·重慶市開學考）在中，于E，于D，交于F，平分交延長線于M，連接，．若，，，則　 　．
26．（2023八上·五華期中）
（1）【問題提出】在一次課上，老師出了這樣一道題：在四邊形ABCD中，，，，E、F分別是BC、CD上的點，且，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數量關系．小亮同學認為：延長FD到點G，使，連接AG，先證明，再證明，則可得到BE、EF、FD之間的數量關系是　 　．
（2）【探索延伸】在四邊形ABCD中，如圖2，，，E、F分別是BC、CD上的點，，上述結論是否仍然成立？說明理由．
（3）【結論運用】如圖3，臺風中心位于A點，且OA與y軸夾角為，臺風中心風力12級，每遠離臺風中心40海里，風力就會減弱一級．貨輪位于B處，且OB與y軸夾角為，并且臺風中心和貨輪到小島的距離相等，如果臺風中心向正東方向以40海里/小時的速度前進，同時該貨輪沿BF方向以60海里/小時的速度前進（即），2小時后，它們分別到達E，F處，且，問此時該貨輪受到臺風影響的最大風力有幾級？
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
故答案為：D．
【分析】根據作一個角等于已知角的作法和步驟可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，從而利用SSS判斷出△OCD≌△O'C'D'，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠A'O'B'.
2．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SAS
3．【答案】C
【知識點】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵直角三角形沒被擋住的是兩角和夾邊，∴畫出一個與原三角形全等的三角形，這兩個三角形全等的依據為ASA.
故答案選：C．
【分析】兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等，由此即可判斷.
4．【答案】C
【知識點】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在和中，
∴
故答案為：C．
【分析】根據AAS證明全等即可．
5．【答案】B
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：令、交于點，
則
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
故選：B．
【分析】令、交于點，根據角之間的關系可得，再根據全等三角形判定定理及性質即可求出答案.
6．【答案】B
【知識點】三角形外角的概念及性質；三角形全等的判定-SAS
7．【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SAS
8．【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴
∴，，
∴，
故答案為：．
【分析】根據角之間的關系可得，再根據全等三角形判定定理可得，則，，再根據邊之間的關系即可求出答案.
9．【答案】120°
【知識點】三角形全等的判定-SAS
10．【答案】（1）甲、乙；
（2）選甲：
在和中，，
∴，
∴，
選乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】（1）甲同學的方法利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離，
乙同學的方法利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離，
故答案為：甲、乙．
【分析】本題考查全等三角形的應用，全等三角形的判定定理，全等三角形的性質.
(1)甲同學根據對頂角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根據AC=DC，利用全等三角形的判定定理證明三角形全等則需要測出的長即為，的距離，說明AB=ED；
乙同學根據 ，公共邊相等即BD=BD，利用全等三角形的判定定理證明三角形全等則需要測出的長即為，的距離，說明AB=BC；
(2)選甲，根據對頂角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根據AC=DC，利用全等三角形的判定定理SAS可證明，利用全等三角形的性質可證明結論；
選乙：根據，利用垂直的定義可得：，再根據，利用全等三角形的判定定理ASA可證明，利用全等三角形的性質可證明結論.
（1）甲同學的方法利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離，
乙同學的方法利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離，
故答案為：甲、乙．
（2）選甲：在和中，
，
∴，
∴，
選乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
11．【答案】（1）證明：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠DEA=90°
∵BD平分∠ABC
∴DE=CD.
又∵DF=AD.
∴Rt△ADE≌Rt△FDC(HL).
（2）解：AB=BF+2CF
∵Rt△ADE≌Rt△FDC，
∴CF=AE.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
由題知可∠C=∠DEB=90°
∵BD=BD.
∴△EBD≌ △CBD.
∴BE=BC.
∴AB=AE+EB=AE+BC=CF+CF+BF=2CF+BF
∴AB=BF+2CF
【知識點】三角形全等及其性質；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】(1)根據角平分線的性質得到CD= DE，根據直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADE≌Rt△FDC；
(2)根據全等三角形的性質定理得到BE=BC，根據(1)的結論得到答案.
12．【答案】（1）證明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的運算求出，再利用“SAS”證出即可；
（2）先利用角的運算求出，再利用“SAS”證出，再利用全等三角形的性質可得，最后利用角的運算求出即可．
13．【答案】A
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△BDE和△CFD中，
，
∴，
∴∠BED=∠CDF，
∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∠EDF=a，
∴180°-∠B-∠BED+a+∠CDF=180°，
∴∠B=a，
即2a+∠A=180°．
故答案為：A ．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理的運用，根據兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等可得，根據全等三角形的對應角相等得出∠BED=∠CDF，根據三角形內角和是180°得出∠A+2∠B=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，結合平角的定義即可求得∠B=a，即可求解.
14．【答案】D
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：由題意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
由題意知，，
∴，
解得，
故答案為：D
【分析】根據全等三角形判定定理可得，則，，再根據邊之間的關系即可求出答案.
15．【答案】B
【知識點】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解：如圖，取格點，連接，
根據題意：，
∴，
∴，
∵，
若，則，
∵，
∴，
∴（與題干矛盾），故A選項錯誤；
∵，
∴，故B選項正確；
∵，故C選項錯誤；
∵，
∴，
∴，故D選項錯誤；
故答案選：B．
【分析】取格點，連接，利用網格線的性質利用證明，再利用三角形全等的性質逐一判斷即可．
16．【答案】C
【知識點】點的坐標；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖所示，過點A作軸于點E，過點C作軸于點F，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
∵點的坐標為，點的坐標是，
∴，，，
∴，，
∴點的坐標為．
故答案為：C.
【分析】先求出，再利用AAS證明，最后根據全等三角形的性質和點的坐標計算求解即可。
17．【答案】A
【知識點】三角形內角和定理；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中對應邊的關系；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解：平分，
．
在和中，
，
故結論①正確；
．
在和中，
，
，
故結論②正確；
，
．
，
，
故結論③正確；
。
，
，
，
故結論④正確．
綜上所述，結論正確的為①②③④，
故答案為：A．
【分析】根據得到，判斷①；根據判定②；得到判定③；證明判定④解答即可.
18．【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SAS
19．【答案】①③④
【知識點】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解： ，
即：
在 和 中
， ① 正確；
為等腰直角三角形，
， ② 錯誤；
即，
∴， ③ 正確；
， ④ 正確；
故答案為：①③④．
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質.根據，利用角的運算可得 ，再結合 ，，利用全等三角形的判定定理可證明，利用全等三角形的性質可得：，據此可判斷說法；利用等腰直角三角形的性質可得：，再根據，利用全等三角形的性質可得：，利用角的運算可推出結論，進而可判斷說法；根據
，可得，利用角的運算可得：，利用垂直的定義可判斷說法；直接利用角的運算可得：，再進行計算可判斷說法.
20．【答案】
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
21．【答案】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在與中，
∴，
∴
（2）解：如圖，連接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在與中，
∴，
∴，，
∴即，
∴
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根據全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，進而利用全等三角形的性質得出BD=AE即可；
（2）根據全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，進而利用全等三角形的性質解答即可.
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：證明：如圖3，延長到M，使，連接，
∴，
∵是的中線，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴．
【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵是的中線，
∴，
∴；
（2）如圖2，延長至點Q，使，連接，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴x的取值范圍是；
【分析】（1）先根據三角形中線的性質得到，進而運用三角形全等的判定即可求解；
（2）延長至點Q，使，連接，進而根據三角形全等的判定與性質證明即可得到，從而根據三角形的三邊關系即可求解；
（3）延長到M，使，連接，進而得到，再根據三角形中線的性質得到，進而運用三角形全等的判定與性質證明即可得到，，再結合題意證明即可求解。
23．【答案】B
【知識點】平行線的判定；三角形的角平分線、中線和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：②是的中線，
，
在和中，
，
，
，，
∴，②正確；
①.同理，
，，
，，①正確；
④.，，
、、三點在同一條直線上，
，
設兩條平行線與之間的距離為，
，
∴，
，
，④正確；
③.無法判斷，③錯誤；
綜上分析可知：正確的有①②④，故B正確．
故選：B．
【分析】本題考查三角形中線的定義，全等三角形的判定和性質，平行線的判定.根據中點的性質可得：，再結合，，利用全等三角形的判定定理“”可證明，利用全等三角形的性質可得：，，根據內錯角相等，兩直線平行可推出：，據此可判斷說法②；同理利用全等三角形的判定定理可證明：，，利用全等三角形的性質可得：，，，利用等量代換可得：，根據內錯角相等，兩直線平行可推出：，據此可判斷說法①；根據，，可證明、、三點在同一條直線上，據此可得，設兩條平行線與之間的距離為，則，利用三角形的面積計算公式和四邊形的面積計算公式可證明，據此可判斷說法④正，無法判斷，據此可判斷說法③．
24．【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正確；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正確；
延長BE，AC交于點H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴點E是BH的中點，
只有當∠BCH=90°時，CE=BE，故③錯誤；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正確；
∴正確結論有3個.
故答案為：B.
【分析】利用三角形的內角和定理求出∠ABC的度數，再利用角平分線的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定義可求出∠AEB的度數，即可求出∠ABE的度數，根據∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入計算可對①作出判斷；利用角平分線的概念可求出∠FBG的度數，可求出∠EBF的度數，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可對②作出判斷；延長BE，AC交于點H，利用ASA可證得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性質可證得BE=HE，只有當∠BCH=90°時，CE=BE，可對③作出判斷；在AB上截取AM=AD，利用SAS可證得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性質可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可證得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性質可推出BM=BG，然后根據AB=AM+BM，代入可對④作出判斷；綜上所述，可得到正確結論的個數.
25．【答案】
【知識點】三角形全等的判定-SAS
26．【答案】（1）
（2）解：成立
（3）解：2.74級臺風
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵
∴BE=DG
∵
∴EF=GF
∵GF=DG+DF
∴
（2）如圖 ，延長FD到G，使DG=BE，連接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADG
在△ABE和△ADG中
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG
∴
∴
∵
∴
在△AEF和△AGF中
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF=FG
∴FG=DG+FD=BE+DFF '
（3）如圖，延長AE，BF交于點C，連接EF
∵
∴
∵OA=OB，
∴符合（2）中條件
∴EF=AE+BF仍然成立
EF=2×40+2×60=200（海里）
200×1.852=370.4千米
∴此時該貨輪受到臺風影響的最大風力級數為：
級
【分析】（1）根據全等三角形性質可得BE=DG，EF=GF，再進行邊之間的轉換即可求出答案.
（2）延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADG，則AE=AG，∠BAE=∠DAG，再根據全等三角形判定定理可得△AEF≌△AGF，則EF=FG，再進行邊之間的轉換即可求出答案.
（3）延長AE，BF交于點C，連接EF，根據題意可得EF=AE+BF仍然成立，求出EF長，即可求出答案.
1 / 1

展開更多......

收起↑