資源簡介

人教版（2024）八年級上同步分層訓練14.3角的平分線
一、夯實基礎
1．（2024八上·蜀山期末）如圖，已知在中，，，嘉淇通過尺規(guī)作圖得到，交于點D，根據(jù)其作圖痕跡，可得的度數(shù)為（　　）
A．120° B．110° C．100° D．98°
2．（2024八上·赤坎開學考）如圖，點是內一條射線上的一點，且于點于點，若，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·瀘縣期末）如圖，在中，，平分交于點D，，垂足為E，的面積為5，則的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（2025八上·奉化期末）如圖，是的角平分線，，交于點．若，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·拱墅月考）如圖，在中，，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線交邊于點G，若，，則的面積為　 　
6．（2025八上·荔灣期中）如圖，是的平分線，P是上一點，于點D，，則點P到邊的距離為　 　．
7．（2024八上·東城期中）如圖，四邊形中，于點F，交于點E，連接，平分．
（1）求證：；
（2）若，求的長．
8．（2024八上·成都期中）如圖，已知點在第一象限的平分線上，且，點在軸上，點在軸上．
（1）求點P 的坐標；
（2）當繞點旋轉時，的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．
9．（2024八上·新會月考）如圖，，M是的中點，平分，且，求的度數(shù)
二、能力提升
10．（2022八上·蓮池期末）如圖，O是△ABC內一點，且O到三邊AB、AC、BC的距離OF=OE=OD，若∠BAC=70°，則∠BOC=（　?。?br/>A．110° B．115° C．120° D．125°
11．（2025八上·遵義期末）如圖，在中，的角平分線交于點于點．若，則的周長為（　?。?br/>A．6 B．12 C．15 D．21
12．（2025八上·濱江期末）如圖，在中，，分別平分和，，相交于點P，則下列結論不一定成立的是（　?。?br/>A．
B．與的面積比等于邊與之比
C．
D．若，則
13．（2016八上·禹州期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　．
14．（2024八上·高唐期末）如圖，在中，平分，，的面積為45，的面積為20，則的面積等于　 ?。?br/>15．（2024八上·巴南月考）如圖，在中，于點于點，交于，平分交延長線于，連接，．若，，，則　 　，的面積為　 ?。?br/>16．（2024八上·武漢月考）問題提出：如圖（1），在四邊形中，平分，，，，，探究與的數(shù)量關系．
問題探究：（1）先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大??；
（2）再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關系．
問題拓展：如圖（3），平分，，，若，求．
17．（2023八上·永興月考）認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.
探究1：如圖l，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線
∴∠1=∠ABC， ∠2=∠ACB
∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A
∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A
(1)探究2；如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．
(2)探究3：如圖3中， O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（直接寫出結論）
(3)拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關系？（直接寫出結論）
18．（2022八上·如皋月考）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．
（1）如圖1，和互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點．求證：．
（2）如圖2，和互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點，點D、E均在外，連接BD、CE交于點M，連接AM，求證：AM平分．
三、拓展創(chuàng)新
19．（2025八上·旺蒼期末）如圖， 在中，平分， 點E在上， 若 的面積為64，則的面積為（　?。?br/>A．6 B．8 C．12 D．16
20．（2024八上·廣州月考）如圖，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.則下列結論中正確的個數(shù)(　　)
①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠CAB=2∠CPB；
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
21．（2025八上·遵義期末）如圖，在Rt中，，點是線段上一點，連接平分交于點于點．若，則　 ?。?br/>22．（2022八上·交城期中）綜合與實踐：
問題情境：已知是的平分線，P是射線上的一點，點C，D分別在射線，上，連接．
（1）初步探究：如圖1，當，時，與的數(shù)量關系是　 　；
（2）深入探究：如圖2，點C，D分別在射線，上運動，且，當時，與在（1）中的數(shù)量關系還成立嗎？請說明理由；
（3）拓展應用：如圖3，如果點C在射線上運動，且，當時，點D落在了射線的反向延長線上，若點P到的距離為3，，求的長（直接寫出答案）．
23．（2023八上·東西湖月考）以△ABC的AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE與BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．
（1）如圖1，若α＝40°，求∠EMB的度數(shù)；
（2）如圖2，若G、H分別是EC、BD的中點，求∠AHG的度數(shù)（用含α式子表示）；
（3）如圖3，連接AM，直接寫出∠AMC與α的數(shù)量關系是　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；角平分線的概念；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：根據(jù)作圖痕跡可知，是∠ABC的平分線，
∵，，
∴
∵是∠ABC的平分線，
∴
∴
故選：B．
【分析】根據(jù)作圖痕跡可知，是∠ABC的平分線，根據(jù)內角和定理可得∠ABC，再根據(jù)角平分線定義可得，再根據(jù)三角形外角性質即可求出答案.
2．【答案】D
【知識點】角平分線的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故答案為：D
【分析】因為 、，然后 根據(jù)角平分線的判定定理，可得平分，再根據(jù)的度數(shù)，最后再根據(jù)角平分線的定義，即可求解。
3．【答案】B
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】解：如圖：過D作垂足為F，
∵的面積為5，
∴，
∴，解得：，
∵平分交于點D，，，
∴．
故答案為：B．
【分析】根據(jù)三角形面積公式可得DF，再根據(jù)角平分線的性質即可解答．
4．【答案】C
【知識點】平行線的性質；三角形外角的概念及性質；角平分線的性質
5．【答案】2
【知識點】角平分線的性質；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作圖得平分，∵，
點到的距離等于的長，即點到的距離為，
∴的面積；
故答案為：2．
【分析】根據(jù)基本作圖步驟確定平分，利用角平分線的性質得到G點到的距離為，代入面積公式即可.
6．【答案】6
【知識點】角平分線的性質
7．【答案】（1）證明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義可得，再結合，即可證出；
（2）先利用“HL”證出，利用全等三角形的性質可得BF=CD=7，再利用線段的和差求出CE的長即可.
（1）證明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
8．【答案】（1）
（2）的值不發(fā)生變化，其值為 2
【知識點】坐標與圖形性質；角平分線的性質
9．【答案】
【知識點】角平分線的性質
10．【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的判定
11．【答案】B
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質
12．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的性質；角平分線的判定
【解析】【解答】解：過點P作于點M，作于點N，作于點H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故選項A的結論一定成立；
．故選項B的結論一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故選項D的結論一定成立．
根據(jù)題意無法證明選項C的結論一定成立．
故答案為：C.
【分析】過點P作于點M，作于點N，作于點H，利用角平分線的性質及判定判斷A選項；利用三角形的面積公式判斷B選項，利用三角形的內角和定理判斷D選項解題即可．
13．【答案】4：5：6
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】首先過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，由OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，根據(jù)角平分線的性質，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
【分析】根據(jù)角平分線的性質可知，角平分線上的點到角兩邊的距離相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
14．【答案】25
【知識點】角平分線的性質
15．【答案】4；72
【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形全等及其性質；三角形全等的判定；角平分線的性質
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵于E，于D，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∴，
設，則，
∴，解得：，
∴，
∴，，
∵等高，
∴，即，
∴，解得：；
如圖：過M作，
∴，即，解得：，
∴的面積為．
故答案為：4，12．
【分析】先證明可得，再證明可得、；設，則，則，即可求得；易得，根據(jù)等高模型可得，即，進而求得；如圖：過M作，運用三角面積公式可求得，最后運用三角形的面積公式求解即可．
16．【答案】（1） （2） 問題拓展：
【知識點】三角形全等及其性質；角平分線的性質
17．【答案】（1）探究2結論：∠BOC=；（2）探究3：結論∠BOC=90°－；（3）拓展：結論
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；角平分線的性質
18．【答案】（1）證明：∵和互為“兄弟三角形”，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴．
（2）證明：如圖，過點A作于G，于H，
∵和互為“兄弟三角形”，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴AM平分．
【知識點】角平分線的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用△ABC和△ADE是“兄弟三角形”，根據(jù)“兄弟三角形”的定義，可知∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，可推出∠CAE=∠BAD，利用SAS證明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的對應邊相等，可證得結論.
（2）過點A作AG⊥BM于點G，AH⊥EM于點H，利用“兄弟三角形”的定義可知∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，可推出∠CAE=∠BAD；利用SAS證明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性質可證得∠ABG=∠ACH，利用垂直的定義可證得∠AGB=∠AHC=90°，利用SAS證明△BAG≌△CAH，利用全等三角形的對應邊相等，可證得AG=AH，然后利用到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，可證得結論.
19．【答案】B
【知識點】角平分線的性質
20．【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；角平分線的判定；角平分線的概念
【解析】【解答】解：如圖，過點P作PD⊥AC于點D，
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，
∴PM=PD=PN，
∴BP平分∠ABC；即①正確；
∵∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P，
∴∠PAC=，∠PCA=，
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°--=，
∴ ∠ABC+2∠APC =∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°；即②正確；
∵ BP平分∠ABC； CP平分∠ACF，
∴∠CBP=，∠ACP=，
∴∠CPB=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠CBP-(∠BCA+∠ACP)=180°--∠BCA-=90°--
∵∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=2（90°--）=2∠CPB；即③正確；
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.PD⊥AC于點D，
∴PM=PD=PN，
在Rt和Rt中：PM=PD，PA=PA，
∴Rt≌Rt，
∴AM=AD，
同理可證：CD=CN，
∴AC=AM+CN，
又∵S△PAC = 12×AC×PD ， S△MAP=12×AM×PM，S△NCP=12×CN×PN ， ∴即④正確。
故答案為：D.
【分析】如圖，過點P作PD⊥AC于點D，根據(jù)角平分線的性質定理及判定定理可得出①正確；根據(jù)三角形相鄰內外角之間的關系及角平分線的定義可得出∠PAC=，∠PCA=，進而根據(jù)內角和定理可得出∠APC=，進而根據(jù)三角形內角和定理可而出 ②∠ABC+2∠APC=180°；根據(jù)三角形內角和及角平分線的定義得∠CPB=90°--，再根據(jù)三角形內角和定理得出∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，進一步變形，即可得出 ③∠CAB=2∠CPB； 再根據(jù)HL判定Rt≌Rt，得出AM=AD，同理CD=CN，可得AC=AM+CN，在根據(jù)角平分線的性質定理，得出PM=PD=PN，進一步根據(jù)三角形面積計算公式可得出綜上即可得出答案。
21．【答案】
【知識點】角平分線的性質
22．【答案】（1）PC=PD
（2）解：還成立，理由如下：
過點P作，，垂足分別為E，F(xiàn)，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：過點P作，垂足分別為，
∴四邊形為矩形，
∵是的平分線，
∴，四邊形為正方形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】角平分線的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵是的平分線，，，
∴，
故答案為：；
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質可得；
（2）過點P作，，垂足分別為E，F(xiàn)，利用“ASA”證明，再利用全等三角形的性質可得；
（3）過點P作，垂足分別為，利用“ASA”證明，可得，再利用線段的和差及等量代換可得。
23．【答案】（1）解：∵∠EAB＝∠CAD，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAD．
在△ABE和△ACD中
AE＝AB，∠EAC＝∠BAE，AC＝AD，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC＝∠ABD．
∵∠AEC＋∠EAB＝∠ABD＋∠EMB．
∴∠EMB＝∠EAB＝40°．
（2）解：連接AG
∵△AEC≌△ABD，
∴EC＝BD；∠ACE＝∠ADB．
∵G、H分別是EC與BD的中點，
∴DH＝CG．
在△ACG和△ADH中
AC＝AD， ∠ACE＝∠ADB， CG＝DH，
∴△ACG≌△ADH（SAS），
∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，
∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG－∠CAH＝∠DAH－∠CAH，
∴∠GAH＝∠DAC．
∵∠DAC＝α，
∴∠GAH＝α．
∴∠GAH＋∠AHG＋∠AGH＝180°，
∴；
（3）
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）如圖3，連接AM，過點A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于P，
，
，，
，
，
又，，
，
．
故答案為：.
【分析】（1）用SAS證明△AEC≌△ABD，由全等三角形性質可得∠AEC＝∠ABD，進而根據(jù)“8”字形圖可得結論；
（2）用SAS證明△ACG≌△ADH，由全等三角形性質可得AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，結合三角形內角和定理，即可求解；
（3）連接AM，過點A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于P，由全等三角形的性質可得，，由三角形等面積法可求，由角平分線的性質可求，即可求解．
1 / 1人教版（2024）八年級上同步分層訓練14.3角的平分線
一、夯實基礎
1．（2024八上·蜀山期末）如圖，已知在中，，，嘉淇通過尺規(guī)作圖得到，交于點D，根據(jù)其作圖痕跡，可得的度數(shù)為（　　）
A．120° B．110° C．100° D．98°
【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；角平分線的概念；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：根據(jù)作圖痕跡可知，是∠ABC的平分線，
∵，，
∴
∵是∠ABC的平分線，
∴
∴
故選：B．
【分析】根據(jù)作圖痕跡可知，是∠ABC的平分線，根據(jù)內角和定理可得∠ABC，再根據(jù)角平分線定義可得，再根據(jù)三角形外角性質即可求出答案.
2．（2024八上·赤坎開學考）如圖，點是內一條射線上的一點，且于點于點，若，則的度數(shù)是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】角平分線的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故答案為：D
【分析】因為 、，然后 根據(jù)角平分線的判定定理，可得平分，再根據(jù)的度數(shù)，最后再根據(jù)角平分線的定義，即可求解。
3．（2025八上·瀘縣期末）如圖，在中，，平分交于點D，，垂足為E，的面積為5，則的長為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】解：如圖：過D作垂足為F，
∵的面積為5，
∴，
∴，解得：，
∵平分交于點D，，，
∴．
故答案為：B．
【分析】根據(jù)三角形面積公式可得DF，再根據(jù)角平分線的性質即可解答．
4．（2025八上·奉化期末）如圖，是的角平分線，，交于點．若，則的度數(shù)是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】平行線的性質；三角形外角的概念及性質；角平分線的性質
5．（2024八上·拱墅月考）如圖，在中，，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線交邊于點G，若，，則的面積為　 　
【答案】2
【知識點】角平分線的性質；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作圖得平分，∵，
點到的距離等于的長，即點到的距離為，
∴的面積；
故答案為：2．
【分析】根據(jù)基本作圖步驟確定平分，利用角平分線的性質得到G點到的距離為，代入面積公式即可.
6．（2025八上·荔灣期中）如圖，是的平分線，P是上一點，于點D，，則點P到邊的距離為　 ?。?br/>【答案】6
【知識點】角平分線的性質
7．（2024八上·東城期中）如圖，四邊形中，于點F，交于點E，連接，平分．
（1）求證：；
（2）若，求的長．
【答案】（1）證明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義可得，再結合，即可證出；
（2）先利用“HL”證出，利用全等三角形的性質可得BF=CD=7，再利用線段的和差求出CE的長即可.
（1）證明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
8．（2024八上·成都期中）如圖，已知點在第一象限的平分線上，且，點在軸上，點在軸上．
（1）求點P 的坐標；
（2）當繞點旋轉時，的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．
【答案】（1）
（2）的值不發(fā)生變化，其值為 2
【知識點】坐標與圖形性質；角平分線的性質
9．（2024八上·新會月考）如圖，，M是的中點，平分，且，求的度數(shù)
【答案】
【知識點】角平分線的性質
二、能力提升
10．（2022八上·蓮池期末）如圖，O是△ABC內一點，且O到三邊AB、AC、BC的距離OF=OE=OD，若∠BAC=70°，則∠BOC=（　　）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的判定
11．（2025八上·遵義期末）如圖，在中，的角平分線交于點于點．若，則的周長為（　　）
A．6 B．12 C．15 D．21
【答案】B
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質
12．（2025八上·濱江期末）如圖，在中，，分別平分和，，相交于點P，則下列結論不一定成立的是（　　）
A．
B．與的面積比等于邊與之比
C．
D．若，則
【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的性質；角平分線的判定
【解析】【解答】解：過點P作于點M，作于點N，作于點H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故選項A的結論一定成立；
．故選項B的結論一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故選項D的結論一定成立．
根據(jù)題意無法證明選項C的結論一定成立．
故答案為：C.
【分析】過點P作于點M，作于點N，作于點H，利用角平分線的性質及判定判斷A選項；利用三角形的面積公式判斷B選項，利用三角形的內角和定理判斷D選項解題即可．
13．（2016八上·禹州期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 ?。?br/>【答案】4：5：6
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】首先過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，由OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，根據(jù)角平分線的性質，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
【分析】根據(jù)角平分線的性質可知，角平分線上的點到角兩邊的距離相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
14．（2024八上·高唐期末）如圖，在中，平分，，的面積為45，的面積為20，則的面積等于　 ?。?br/>【答案】25
【知識點】角平分線的性質
15．（2024八上·巴南月考）如圖，在中，于點于點，交于，平分交延長線于，連接，．若，，，則　 　，的面積為　 ?。?br/>【答案】4；72
【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形全等及其性質；三角形全等的判定；角平分線的性質
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵于E，于D，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∴，
設，則，
∴，解得：，
∴，
∴，，
∵等高，
∴，即，
∴，解得：；
如圖：過M作，
∴，即，解得：，
∴的面積為．
故答案為：4，12．
【分析】先證明可得，再證明可得、；設，則，則，即可求得；易得，根據(jù)等高模型可得，即，進而求得；如圖：過M作，運用三角面積公式可求得，最后運用三角形的面積公式求解即可．
16．（2024八上·武漢月考）問題提出：如圖（1），在四邊形中，平分，，，，，探究與的數(shù)量關系．
問題探究：（1）先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大??；
（2）再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關系．
問題拓展：如圖（3），平分，，，若，求．
【答案】（1） （2） 問題拓展：
【知識點】三角形全等及其性質；角平分線的性質
17．（2023八上·永興月考）認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.
探究1：如圖l，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線
∴∠1=∠ABC， ∠2=∠ACB
∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A
∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A
(1)探究2；如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．
(2)探究3：如圖3中， O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（直接寫出結論）
(3)拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關系？（直接寫出結論）
【答案】（1）探究2結論：∠BOC=；（2）探究3：結論∠BOC=90°－；（3）拓展：結論
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；角平分線的性質
18．（2022八上·如皋月考）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．
（1）如圖1，和互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點．求證：．
（2）如圖2，和互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點，點D、E均在外，連接BD、CE交于點M，連接AM，求證：AM平分．
【答案】（1）證明：∵和互為“兄弟三角形”，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴．
（2）證明：如圖，過點A作于G，于H，
∵和互為“兄弟三角形”，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴AM平分．
【知識點】角平分線的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用△ABC和△ADE是“兄弟三角形”，根據(jù)“兄弟三角形”的定義，可知∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，可推出∠CAE=∠BAD，利用SAS證明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的對應邊相等，可證得結論.
（2）過點A作AG⊥BM于點G，AH⊥EM于點H，利用“兄弟三角形”的定義可知∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，可推出∠CAE=∠BAD；利用SAS證明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性質可證得∠ABG=∠ACH，利用垂直的定義可證得∠AGB=∠AHC=90°，利用SAS證明△BAG≌△CAH，利用全等三角形的對應邊相等，可證得AG=AH，然后利用到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，可證得結論.
三、拓展創(chuàng)新
19．（2025八上·旺蒼期末）如圖， 在中，平分， 點E在上， 若 的面積為64，則的面積為（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知識點】角平分線的性質
20．（2024八上·廣州月考）如圖，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.則下列結論中正確的個數(shù)(　　)
①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠CAB=2∠CPB；
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；角平分線的判定；角平分線的概念
【解析】【解答】解：如圖，過點P作PD⊥AC于點D，
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，
∴PM=PD=PN，
∴BP平分∠ABC；即①正確；
∵∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P，
∴∠PAC=，∠PCA=，
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°--=，
∴ ∠ABC+2∠APC =∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°；即②正確；
∵ BP平分∠ABC； CP平分∠ACF，
∴∠CBP=，∠ACP=，
∴∠CPB=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠CBP-(∠BCA+∠ACP)=180°--∠BCA-=90°--
∵∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=2（90°--）=2∠CPB；即③正確；
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.PD⊥AC于點D，
∴PM=PD=PN，
在Rt和Rt中：PM=PD，PA=PA，
∴Rt≌Rt，
∴AM=AD，
同理可證：CD=CN，
∴AC=AM+CN，
又∵S△PAC = 12×AC×PD ， S△MAP=12×AM×PM，S△NCP=12×CN×PN ， ∴即④正確。
故答案為：D.
【分析】如圖，過點P作PD⊥AC于點D，根據(jù)角平分線的性質定理及判定定理可得出①正確；根據(jù)三角形相鄰內外角之間的關系及角平分線的定義可得出∠PAC=，∠PCA=，進而根據(jù)內角和定理可得出∠APC=，進而根據(jù)三角形內角和定理可而出 ②∠ABC+2∠APC=180°；根據(jù)三角形內角和及角平分線的定義得∠CPB=90°--，再根據(jù)三角形內角和定理得出∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，進一步變形，即可得出 ③∠CAB=2∠CPB； 再根據(jù)HL判定Rt≌Rt，得出AM=AD，同理CD=CN，可得AC=AM+CN，在根據(jù)角平分線的性質定理，得出PM=PD=PN，進一步根據(jù)三角形面積計算公式可得出綜上即可得出答案。
21．（2025八上·遵義期末）如圖，在Rt中，，點是線段上一點，連接平分交于點于點．若，則　 　．
【答案】
【知識點】角平分線的性質
22．（2022八上·交城期中）綜合與實踐：
問題情境：已知是的平分線，P是射線上的一點，點C，D分別在射線，上，連接．
（1）初步探究：如圖1，當，時，與的數(shù)量關系是　 　；
（2）深入探究：如圖2，點C，D分別在射線，上運動，且，當時，與在（1）中的數(shù)量關系還成立嗎？請說明理由；
（3）拓展應用：如圖3，如果點C在射線上運動，且，當時，點D落在了射線的反向延長線上，若點P到的距離為3，，求的長（直接寫出答案）．
【答案】（1）PC=PD
（2）解：還成立，理由如下：
過點P作，，垂足分別為E，F(xiàn)，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：過點P作，垂足分別為，
∴四邊形為矩形，
∵是的平分線，
∴，四邊形為正方形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】角平分線的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵是的平分線，，，
∴，
故答案為：；
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質可得；
（2）過點P作，，垂足分別為E，F(xiàn)，利用“ASA”證明，再利用全等三角形的性質可得；
（3）過點P作，垂足分別為，利用“ASA”證明，可得，再利用線段的和差及等量代換可得。
23．（2023八上·東西湖月考）以△ABC的AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE與BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．
（1）如圖1，若α＝40°，求∠EMB的度數(shù)；
（2）如圖2，若G、H分別是EC、BD的中點，求∠AHG的度數(shù)（用含α式子表示）；
（3）如圖3，連接AM，直接寫出∠AMC與α的數(shù)量關系是　 ?。?br/>【答案】（1）解：∵∠EAB＝∠CAD，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAD．
在△ABE和△ACD中
AE＝AB，∠EAC＝∠BAE，AC＝AD，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC＝∠ABD．
∵∠AEC＋∠EAB＝∠ABD＋∠EMB．
∴∠EMB＝∠EAB＝40°．
（2）解：連接AG
∵△AEC≌△ABD，
∴EC＝BD；∠ACE＝∠ADB．
∵G、H分別是EC與BD的中點，
∴DH＝CG．
在△ACG和△ADH中
AC＝AD， ∠ACE＝∠ADB， CG＝DH，
∴△ACG≌△ADH（SAS），
∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，
∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG－∠CAH＝∠DAH－∠CAH，
∴∠GAH＝∠DAC．
∵∠DAC＝α，
∴∠GAH＝α．
∴∠GAH＋∠AHG＋∠AGH＝180°，
∴；
（3）
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）如圖3，連接AM，過點A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于P，
，
，，
，
，
又，，
，
．
故答案為：.
【分析】（1）用SAS證明△AEC≌△ABD，由全等三角形性質可得∠AEC＝∠ABD，進而根據(jù)“8”字形圖可得結論；
（2）用SAS證明△ACG≌△ADH，由全等三角形性質可得AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，結合三角形內角和定理，即可求解；
（3）連接AM，過點A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于P，由全等三角形的性質可得，，由三角形等面積法可求，由角平分線的性質可求，即可求解．
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