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廣東省廣州市西關(guān)外國語學校2024-2025學年九年級上學期期中考試數(shù)學試題
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．（2024九上·廣州期中）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用中心對稱圖形的定義（把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形）逐項分析判斷即可.
2．（2024九上·廣州期中）已知二次函數(shù)，則其二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b，常數(shù)項c分別是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】二次函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，
∴，，．
故答案為：D．
【分析】先將函數(shù)化簡為一般式，再利用二次項（系數(shù)）的定義、一次項（系數(shù)）的定義及常數(shù)項的定義（ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項）分析求解即可.
3．（2024九上·廣州期中）二次函數(shù)的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象
【解析】【解答】解：∵，
∴開口向上，
∵當，
∴與軸負半軸交于，
∵對稱軸為直線，
∴對稱軸在軸左側(cè)，
故答案為：C．
【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系（①當a>0時，二次函數(shù)的圖象開口向上；②當a<0時，二次函數(shù)的圖象開口向下；③當二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)時，ab<0；④當二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)時，ab>0；⑤當c>0時，函數(shù)的圖象交在y軸的正半軸；⑥當c<0時，函數(shù)的圖象交在y軸的負半軸）和二次函數(shù)的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系（①當a>0時，二次函數(shù)的函數(shù)值在對稱軸的左邊隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊隨x的增大而增大；②當a<0時，二次函數(shù)的函數(shù)值在對稱軸的左邊隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊隨x的增大而減小）分析求解即可.
4．（2024九上·廣州期中）二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的圖象
【解析】【解答】解：二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是．
故答案為：A．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式直接求出其頂點坐標即可.
5．（2024九上·廣州期中）用配方法解一元二次方程時，此方程可化為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故答案為：C.
【分析】利用配方法的計算方法及步驟（①將方程化簡為一般式并將二次項的系數(shù)化為1，②將常數(shù)項移到方程的右邊，③方程的兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，④將方程寫成完全平方形式并直接開方法求解）分析求解即可.
6．（2024九上·廣州期中）點與點關(guān)于原點對稱，則的值為（　　）
A． B．1 C． D．2024
【答案】B
【知識點】關(guān)于原點對稱的點的坐標特征；求代數(shù)式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：點與點關(guān)于原點對稱，
，，
，
故答案為：B．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標互為相反數(shù)求出a、b的值，然后代入計算解題．
7．（2024九上·廣州期中）如果函數(shù) 是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么k的值是（　　）
A．1或2 B．0或2 C．2 D．0
【答案】D
【知識點】二次函數(shù)的定義
【解析】【解答】由題意得： ，解得k=0.故答案為：D.
【分析】形如y=ax2+bx+c （a，b，c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)就是二次函數(shù)，根據(jù)定義自變量的最高指數(shù)應(yīng)該是2，且二次項的系數(shù)不能為0，從而列出混合組，求解即可。
8．（2024九上·廣州期中）某商品原售價為元，連續(xù)兩次降價后售價為元，下面所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依題意得：，
故答案為：．
【分析】利用“現(xiàn)價=原價×（1±百分率）2”并結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)列出方程即可.
9．（2024九上·廣州期中）已知實數(shù)a，b分別滿足 ，且a≠b，則 的值是（　　）
A．7 B．－7 C．11 D．－11
【答案】A
【知識點】分式的化簡求值；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵a，b分別滿足 ，且a≠b，
∴a與b為方程x2﹣6x+4=0的兩根.
∴根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得a+b=6，ab=4.
∴則 .
故答案為：A.
【分析】觀察兩方程可知a與b為方程x2﹣6x+4=0的兩根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得到a+b=6，ab=4，然后將分式通分后整體代入求值.
10．（2024九上·廣州期中）y＝x2+（1﹣a）x+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，當x的取值范圍是1≤x≤3時，y在x＝1時取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)≤﹣5 B．a(chǎn)≥5 C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)≥3
【答案】B
【知識點】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：第一種情況：
當二次函數(shù)的對稱軸不在1≤x≤3內(nèi)時，此時，對稱軸一定在1≤x≤3的右邊，函數(shù)方能在這個區(qū)域取得最大值，
x＝，即a≥7，
第二種情況：
當對稱軸在1≤x≤3內(nèi)時，對稱軸一定是在區(qū)間1≤x≤3的中點的右邊，因為如果在中點的左邊的話，就是在x＝3的地方取得最大值，即： x＝，即a≥5（此處若a取5的話，函數(shù)就在1和3的地方都取得最大值）
綜合上所述a≥5．
故答案為：B．
【分析】分類討論：①當二次函數(shù)的對稱軸不在1≤x≤3內(nèi)時，②當對稱軸在1≤x≤3內(nèi)時，再分別列出不等式求出a的取值范圍即可.
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（2024九上·廣州期中）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，，則　 　．
【答案】1
【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程的兩個實數(shù)根為，，
，
故答案為：1．
【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）求解即可.
12．（2024九上·廣州期中）一元二次方程 的兩個實數(shù)根中較大的根是　 　．
【答案】6
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解 得： ，較大的根是6.
【分析】利用因式分解法求出方程的兩個解，即可求解.
13．（2024九上·廣州期中）如圖所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于點O，AOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與BOF重合，AB＝2，則四邊形BEOF面積是　 　．
【答案】1
【知識點】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵△AOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與△BOF重合，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四邊形BEOF面積＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1，
故答案為：1．
【分析】先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得S△AOE＝S△BOF，再求出四邊形BEOF面積＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1即可.
14．（2024九上·廣州期中）有支球隊要進行籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），共比賽了10場，則　 　．
【答案】5
【知識點】一元二次方程的其他應(yīng)用
【解析】【解答】解：由題意，得：，
解得：或（舍去）；
故答案為：5．
【分析】利用“總場數(shù)=總隊數(shù)×（總隊數(shù)-1）÷2”列出方程即可.
15．（2024九上·廣州期中）二次函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象解析式為　 　．
【答案】
【知識點】關(guān)于原點對稱的點的坐標特征；二次函數(shù)圖象的對稱變換
【解析】【解答】解：二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，開口向下．
與點關(guān)于原點對稱的點的坐標為，
新二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，開口向上．
新二次函數(shù)圖象的解析式為．
故答案為：．
【分析】先求出原函數(shù)的頂點坐標，再利用關(guān)于原點對稱的點坐標的特征求出其對稱點，再求出函數(shù)解析式即可.
16．（2024九上·廣州期中）拋物線的對稱軸為直線，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①；②；③；④若點均在拋物線上，則；⑤．其中正確的序號是　 　（填寫正確的序號）．
【答案】②③⑤
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-=-1，
∴b=2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b2-4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，拋物線與x軸的一個交點坐標為（1，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-3，0），
∴9a-3b+c=0，所以③正確；
∵點（-0.5，y1）到直線x=-1的距離比點（-2，y2）到直線x=-1的距離小，
而拋物線開口向上，
∴y1＜y2；所以④錯誤；
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正確，
故答案為：②③⑤．
【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系（①當a>0時，二次函數(shù)的圖象開口向上；②當a<0時，二次函數(shù)的圖象開口向下；③當二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)時，ab<0；④當二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)時，ab>0；⑤當c>0時，函數(shù)的圖象交在y軸的正半軸；⑥當c<0時，函數(shù)的圖象交在y軸的負半軸）和二次函數(shù)的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系（①當a>0時，二次函數(shù)的函數(shù)值在對稱軸的左邊隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊隨x的增大而增大；②當a<0時，二次函數(shù)的函數(shù)值在對稱軸的左邊隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊隨x的增大而減小）分析求解即可.
三、解答題（本題共9小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17．（2024九上·廣州期中）解方程：．
【答案】解：
∴或，
解得：，．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】利用十字相乘法（先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)）的計算方法及步驟分析求解即可.
18．（2024九上·廣州期中）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，求該二次函數(shù)的解析式．
【答案】解：把，代入中，
可得：，
解得：，
所求解析式：．
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；利用一般式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】將點坐標代入解析式，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可.
19．（2024九上·廣州期中）如圖，中，．
（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：四邊形是菱形．
【答案】（1）解：如圖所示，
（2）證明：逆時針旋轉(zhuǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形．
，
是菱形．
【知識點】菱形的判定；作圖﹣旋轉(zhuǎn)
【解析】【分析】（1）以點B為圓心，以為半徑畫弧，延長交弧于點．以點B為圓心，以為半徑畫弧，延長交弧于點，再連接即可；
（2）先證出四邊形是平行四邊形，再結(jié)合可證是菱形．
（1）解：如圖所示，
（2）證明：逆時針旋轉(zhuǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形．
，
是菱形．
20．（2024九上·廣州期中）已知關(guān)于x的方程.
（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根．
【答案】解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3，
∴a的取值范圍是a＜3；
（2）設(shè)方程的另一根為x1，
則，
解得：，
∴a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣3．
【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）利用根的判別式，列出不等式求解；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，列出有關(guān)的方程組求解.
21．（2024九上·廣州期中）如圖所示，拋物線與直線相交于點，．
（1）直接寫出實數(shù)，的值，并求出點A，的坐標；
（2）若，請直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）解：，；
∵拋物線與直線相交于點，．
∴
∴
整理得
∴
則
結(jié)合圖象，得；
（2）．
【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與不等式（組）的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】解：（1）結(jié)合圖象，得出拋物線的頂點坐標為，直線與軸交于點，
∴，，
即，；
故答案為：，；
（2）解：∵，且，
∴由圖得．
故答案為：．
【分析】（1）先求出m、n的值，再聯(lián)立方程組求出點A、B的坐標即可；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，利用函數(shù)值大的圖象在上方的原則求解即可.
（1）解：結(jié)合圖象，得出拋物線的頂點坐標為，直線與軸交于點，
∴，，
即，；
∵拋物線與直線相交于點，．
∴
∴
整理得
∴
則
結(jié)合圖象，得；
（2）解：∵，且，
∴由圖得．
22．（2024九上·廣州期中）水果店王阿姨在水果批發(fā)市場以20元的價格購進一種水果，若這種水果的銷售量與銷售單價元滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．并在不虧錢的情況下直接寫出自變量的取值范圍；
（2）請你幫王阿姨拿個主意，將這種水果的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】（1）解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為，
由圖得：，
解得：，
一次函數(shù)的關(guān)系式為；
（2）解：設(shè)這種水果的利潤為元，
依題意：，
化簡、配方得：；
∵，
∴當時，w取得最大值，即最大值為1100；
答：這種水果定價30元時，可獲最大利潤1100元．
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題；一次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)這種水果的利潤為元，利用“總利潤=每件利潤×數(shù)量”列出函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.
（1）解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為，
由圖得：，
解得：，
一次函數(shù)的關(guān)系式為；
（2）解：設(shè)這種水果的利潤為元
依題意：，
化簡、配方得：；
∵，
∴當時，w取得最大值，即最大值為1100；
答：這種水果定價30元時，可獲最大利潤1100元．
23．（2024九上·廣州期中）如圖所示，拋物線經(jīng)過點，，，它的對稱軸為直線．
（1）求的面積；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點是該拋物線上的一個動點，過點作直線的垂線，垂足為點，點是直線上的點，若以點，，為頂點的三角形與全等，求滿足條件的點，點的坐標．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴可設(shè)所求解析式為：，
則，
解得：，
∴，
∴解析式為；
（3）解：∵拋物線：，
∴對稱軸直線，
∴直線為直線，
∵，，
∴等腰中，，
∵與全等，，
∴且點、在直線上，
設(shè)，則，
∴當時，，即；
∴當時，，即；
∵，，
∴，即
∵，點，在直線上，
∴，
∴，，
∴，，，．
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-面積問題；二次函數(shù)-特殊三角形存在性問題
【解析】【分析】（1）先求出AB和OC的長，再利用三角形的面積公式求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（3）設(shè)，則，再求出點P的坐標，再結(jié)合函數(shù)圖象及解析式求出點E的坐標即可.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴可設(shè)所求解析式為：，
則，解得：，
∴，
∴解析式為；
（3）解：∵拋物線：，
∴對稱軸直線，
∴直線為直線，
∵，，
∴等腰中，，
∵與全等，，
∴且點、在直線上，
設(shè)，則，
∴當時，，即；
∴當時，，即；
∵，，
∴，即
∵，點，在直線上，
∴，
∴，，
∴，，，．
24．（2024九上·廣州期中）如圖，中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點落在線段上，連接．
（1）求證：平分；
（2）試判斷線段與線段的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若，請你求出的度數(shù)．
【答案】（1）證明：繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
得，
平分；
（2）證明：，理由如下：
繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，，
，
，
中：，
即；
（3）解：設(shè)（由（1）、（2）得）
，
，
（由（2）得）
，
，
，
解得：
【知識點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再利用等量代換可得，從而可證出平分；
（2）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及角的運算和等量代換可得，再結(jié)合，即可得到即；
（3）設(shè)，根據(jù)，可得，最后求出x的值即可.
（1）繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
得，
平分；
（2），理由如下：
繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，，
，
，
中：，
即；
（3）設(shè)（由（1）、（2）得）
，
，
（由（2）得）
，
，
，
解得：
25．（2024九上·廣州期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．
（1）求a的值；
（2）將A，B的縱坐標分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？
（3）Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負值，在y軸的負半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點的坐標為，
點在拋物線上，
，
．
（2）解：直線與拋物線，分別交于點，，
，，
，
，
當時，的最大值為，
的最大值為4，
，解得，
，
．
（3）解：存在，理由如下：
設(shè)點的坐標為，則，
，
點在軸正半軸上，
且，
，
，，，．
如圖，過點作軸的垂線，分別過點，作軸的平行線，與分別交于，，
，，
，
，
，
，
，即．
，，，
解得．
．
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題；二次函數(shù)-角度的存在性問題
【解析】【分析】（1）先求出點P的坐標，再將其代入求出a的值即可；
（2）先求出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可；
（3）設(shè)點的坐標為，則，先求出，，，再過點作軸的垂線，分別過點，作軸的平行線，與分別交于，，證出，利用相似三角形的性質(zhì)可得，即，再將數(shù)據(jù)代入可得，求出，最后可得點G的坐標.
（1）解：由題意可知，拋物線的頂點的坐標為，
點在拋物線上，
，
．
（2）解：直線與拋物線，分別交于點，，
，，
，
，
當時，的最大值為，
的最大值為4，
，解得，
，
．
（3）解：存在，理由如下：
設(shè)點的坐標為，則，
，
點在軸正半軸上，
且，
，
，，，．
如圖，過點作軸的垂線，分別過點，作軸的平行線，與分別交于，，
，，
，
，
，
，
，即．
，，，
解得．
．
1 / 1廣東省廣州市西關(guān)外國語學校2024-2025學年九年級上學期期中考試數(shù)學試題
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．（2024九上·廣州期中）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·廣州期中）已知二次函數(shù)，則其二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b，常數(shù)項c分別是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·廣州期中）二次函數(shù)的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·廣州期中）二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·廣州期中）用配方法解一元二次方程時，此方程可化為（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·廣州期中）點與點關(guān)于原點對稱，則的值為（　　）
A． B．1 C． D．2024
7．（2024九上·廣州期中）如果函數(shù) 是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么k的值是（　　）
A．1或2 B．0或2 C．2 D．0
8．（2024九上·廣州期中）某商品原售價為元，連續(xù)兩次降價后售價為元，下面所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·廣州期中）已知實數(shù)a，b分別滿足 ，且a≠b，則 的值是（　　）
A．7 B．－7 C．11 D．－11
10．（2024九上·廣州期中）y＝x2+（1﹣a）x+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，當x的取值范圍是1≤x≤3時，y在x＝1時取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)≤﹣5 B．a(chǎn)≥5 C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)≥3
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（2024九上·廣州期中）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，，則　 　．
12．（2024九上·廣州期中）一元二次方程 的兩個實數(shù)根中較大的根是　 　．
13．（2024九上·廣州期中）如圖所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于點O，AOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與BOF重合，AB＝2，則四邊形BEOF面積是　 　．
14．（2024九上·廣州期中）有支球隊要進行籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），共比賽了10場，則　 　．
15．（2024九上·廣州期中）二次函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象解析式為　 　．
16．（2024九上·廣州期中）拋物線的對稱軸為直線，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①；②；③；④若點均在拋物線上，則；⑤．其中正確的序號是　 　（填寫正確的序號）．
三、解答題（本題共9小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17．（2024九上·廣州期中）解方程：．
18．（2024九上·廣州期中）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，求該二次函數(shù)的解析式．
19．（2024九上·廣州期中）如圖，中，．
（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：四邊形是菱形．
20．（2024九上·廣州期中）已知關(guān)于x的方程.
（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根．
21．（2024九上·廣州期中）如圖所示，拋物線與直線相交于點，．
（1）直接寫出實數(shù)，的值，并求出點A，的坐標；
（2）若，請直接寫出的取值范圍．
22．（2024九上·廣州期中）水果店王阿姨在水果批發(fā)市場以20元的價格購進一種水果，若這種水果的銷售量與銷售單價元滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．并在不虧錢的情況下直接寫出自變量的取值范圍；
（2）請你幫王阿姨拿個主意，將這種水果的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
23．（2024九上·廣州期中）如圖所示，拋物線經(jīng)過點，，，它的對稱軸為直線．
（1）求的面積；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點是該拋物線上的一個動點，過點作直線的垂線，垂足為點，點是直線上的點，若以點，，為頂點的三角形與全等，求滿足條件的點，點的坐標．
24．（2024九上·廣州期中）如圖，中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點落在線段上，連接．
（1）求證：平分；
（2）試判斷線段與線段的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若，請你求出的度數(shù)．
25．（2024九上·廣州期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．
（1）求a的值；
（2）將A，B的縱坐標分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？
（3）Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負值，在y軸的負半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用中心對稱圖形的定義（把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形）逐項分析判斷即可.
2．【答案】D
【知識點】二次函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，
∴，，．
故答案為：D．
【分析】先將函數(shù)化簡為一般式，再利用二次項（系數(shù)）的定義、一次項（系數(shù)）的定義及常數(shù)項的定義（ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項）分析求解即可.
3．【答案】C
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象
【解析】【解答】解：∵，
∴開口向上，
∵當，
∴與軸負半軸交于，
∵對稱軸為直線，
∴對稱軸在軸左側(cè)，
故答案為：C．
【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系（①當a>0時，二次函數(shù)的圖象開口向上；②當a<0時，二次函數(shù)的圖象開口向下；③當二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)時，ab<0；④當二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)時，ab>0；⑤當c>0時，函數(shù)的圖象交在y軸的正半軸；⑥當c<0時，函數(shù)的圖象交在y軸的負半軸）和二次函數(shù)的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系（①當a>0時，二次函數(shù)的函數(shù)值在對稱軸的左邊隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊隨x的增大而增大；②當a<0時，二次函數(shù)的函數(shù)值在對稱軸的左邊隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊隨x的增大而減小）分析求解即可.
4．【答案】A
【知識點】二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的圖象
【解析】【解答】解：二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是．
故答案為：A．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式直接求出其頂點坐標即可.
5．【答案】C
【知識點】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故答案為：C.
【分析】利用配方法的計算方法及步驟（①將方程化簡為一般式并將二次項的系數(shù)化為1，②將常數(shù)項移到方程的右邊，③方程的兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，④將方程寫成完全平方形式并直接開方法求解）分析求解即可.
6．【答案】B
【知識點】關(guān)于原點對稱的點的坐標特征；求代數(shù)式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：點與點關(guān)于原點對稱，
，，
，
故答案為：B．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標互為相反數(shù)求出a、b的值，然后代入計算解題．
7．【答案】D
【知識點】二次函數(shù)的定義
【解析】【解答】由題意得： ，解得k=0.故答案為：D.
【分析】形如y=ax2+bx+c （a，b，c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)就是二次函數(shù)，根據(jù)定義自變量的最高指數(shù)應(yīng)該是2，且二次項的系數(shù)不能為0，從而列出混合組，求解即可。
8．【答案】B
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依題意得：，
故答案為：．
【分析】利用“現(xiàn)價=原價×（1±百分率）2”并結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)列出方程即可.
9．【答案】A
【知識點】分式的化簡求值；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵a，b分別滿足 ，且a≠b，
∴a與b為方程x2﹣6x+4=0的兩根.
∴根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得a+b=6，ab=4.
∴則 .
故答案為：A.
【分析】觀察兩方程可知a與b為方程x2﹣6x+4=0的兩根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得到a+b=6，ab=4，然后將分式通分后整體代入求值.
10．【答案】B
【知識點】二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：第一種情況：
當二次函數(shù)的對稱軸不在1≤x≤3內(nèi)時，此時，對稱軸一定在1≤x≤3的右邊，函數(shù)方能在這個區(qū)域取得最大值，
x＝，即a≥7，
第二種情況：
當對稱軸在1≤x≤3內(nèi)時，對稱軸一定是在區(qū)間1≤x≤3的中點的右邊，因為如果在中點的左邊的話，就是在x＝3的地方取得最大值，即： x＝，即a≥5（此處若a取5的話，函數(shù)就在1和3的地方都取得最大值）
綜合上所述a≥5．
故答案為：B．
【分析】分類討論：①當二次函數(shù)的對稱軸不在1≤x≤3內(nèi)時，②當對稱軸在1≤x≤3內(nèi)時，再分別列出不等式求出a的取值范圍即可.
11．【答案】1
【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程的兩個實數(shù)根為，，
，
故答案為：1．
【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）求解即可.
12．【答案】6
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解 得： ，較大的根是6.
【分析】利用因式分解法求出方程的兩個解，即可求解.
13．【答案】1
【知識點】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵△AOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與△BOF重合，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四邊形BEOF面積＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1，
故答案為：1．
【分析】先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得S△AOE＝S△BOF，再求出四邊形BEOF面積＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1即可.
14．【答案】5
【知識點】一元二次方程的其他應(yīng)用
【解析】【解答】解：由題意，得：，
解得：或（舍去）；
故答案為：5．
【分析】利用“總場數(shù)=總隊數(shù)×（總隊數(shù)-1）÷2”列出方程即可.
15．【答案】
【知識點】關(guān)于原點對稱的點的坐標特征；二次函數(shù)圖象的對稱變換
【解析】【解答】解：二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，開口向下．
與點關(guān)于原點對稱的點的坐標為，
新二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，開口向上．
新二次函數(shù)圖象的解析式為．
故答案為：．
【分析】先求出原函數(shù)的頂點坐標，再利用關(guān)于原點對稱的點坐標的特征求出其對稱點，再求出函數(shù)解析式即可.
16．【答案】②③⑤
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-=-1，
∴b=2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b2-4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，拋物線與x軸的一個交點坐標為（1，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-3，0），
∴9a-3b+c=0，所以③正確；
∵點（-0.5，y1）到直線x=-1的距離比點（-2，y2）到直線x=-1的距離小，
而拋物線開口向上，
∴y1＜y2；所以④錯誤；
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正確，
故答案為：②③⑤．
【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系（①當a>0時，二次函數(shù)的圖象開口向上；②當a<0時，二次函數(shù)的圖象開口向下；③當二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)時，ab<0；④當二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)時，ab>0；⑤當c>0時，函數(shù)的圖象交在y軸的正半軸；⑥當c<0時，函數(shù)的圖象交在y軸的負半軸）和二次函數(shù)的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系（①當a>0時，二次函數(shù)的函數(shù)值在對稱軸的左邊隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊隨x的增大而增大；②當a<0時，二次函數(shù)的函數(shù)值在對稱軸的左邊隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊隨x的增大而減小）分析求解即可.
17．【答案】解：
∴或，
解得：，．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】利用十字相乘法（先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)）的計算方法及步驟分析求解即可.
18．【答案】解：把，代入中，
可得：，
解得：，
所求解析式：．
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；利用一般式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】將點坐標代入解析式，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可.
19．【答案】（1）解：如圖所示，
（2）證明：逆時針旋轉(zhuǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形．
，
是菱形．
【知識點】菱形的判定；作圖﹣旋轉(zhuǎn)
【解析】【分析】（1）以點B為圓心，以為半徑畫弧，延長交弧于點．以點B為圓心，以為半徑畫弧，延長交弧于點，再連接即可；
（2）先證出四邊形是平行四邊形，再結(jié)合可證是菱形．
（1）解：如圖所示，
（2）證明：逆時針旋轉(zhuǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形．
，
是菱形．
20．【答案】解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3，
∴a的取值范圍是a＜3；
（2）設(shè)方程的另一根為x1，
則，
解得：，
∴a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣3．
【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）利用根的判別式，列出不等式求解；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，列出有關(guān)的方程組求解.
21．【答案】（1）解：，；
∵拋物線與直線相交于點，．
∴
∴
整理得
∴
則
結(jié)合圖象，得；
（2）．
【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與不等式（組）的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】解：（1）結(jié)合圖象，得出拋物線的頂點坐標為，直線與軸交于點，
∴，，
即，；
故答案為：，；
（2）解：∵，且，
∴由圖得．
故答案為：．
【分析】（1）先求出m、n的值，再聯(lián)立方程組求出點A、B的坐標即可；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，利用函數(shù)值大的圖象在上方的原則求解即可.
（1）解：結(jié)合圖象，得出拋物線的頂點坐標為，直線與軸交于點，
∴，，
即，；
∵拋物線與直線相交于點，．
∴
∴
整理得
∴
則
結(jié)合圖象，得；
（2）解：∵，且，
∴由圖得．
22．【答案】（1）解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為，
由圖得：，
解得：，
一次函數(shù)的關(guān)系式為；
（2）解：設(shè)這種水果的利潤為元，
依題意：，
化簡、配方得：；
∵，
∴當時，w取得最大值，即最大值為1100；
答：這種水果定價30元時，可獲最大利潤1100元．
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題；一次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)這種水果的利潤為元，利用“總利潤=每件利潤×數(shù)量”列出函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.
（1）解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為，
由圖得：，
解得：，
一次函數(shù)的關(guān)系式為；
（2）解：設(shè)這種水果的利潤為元
依題意：，
化簡、配方得：；
∵，
∴當時，w取得最大值，即最大值為1100；
答：這種水果定價30元時，可獲最大利潤1100元．
23．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴可設(shè)所求解析式為：，
則，
解得：，
∴，
∴解析式為；
（3）解：∵拋物線：，
∴對稱軸直線，
∴直線為直線，
∵，，
∴等腰中，，
∵與全等，，
∴且點、在直線上，
設(shè)，則，
∴當時，，即；
∴當時，，即；
∵，，
∴，即
∵，點，在直線上，
∴，
∴，，
∴，，，．
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-面積問題；二次函數(shù)-特殊三角形存在性問題
【解析】【分析】（1）先求出AB和OC的長，再利用三角形的面積公式求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（3）設(shè)，則，再求出點P的坐標，再結(jié)合函數(shù)圖象及解析式求出點E的坐標即可.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴可設(shè)所求解析式為：，
則，解得：，
∴，
∴解析式為；
（3）解：∵拋物線：，
∴對稱軸直線，
∴直線為直線，
∵，，
∴等腰中，，
∵與全等，，
∴且點、在直線上，
設(shè)，則，
∴當時，，即；
∴當時，，即；
∵，，
∴，即
∵，點，在直線上，
∴，
∴，，
∴，，，．
24．【答案】（1）證明：繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
得，
平分；
（2）證明：，理由如下：
繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，，
，
，
中：，
即；
（3）解：設(shè)（由（1）、（2）得）
，
，
（由（2）得）
，
，
，
解得：
【知識點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再利用等量代換可得，從而可證出平分；
（2）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及角的運算和等量代換可得，再結(jié)合，即可得到即；
（3）設(shè)，根據(jù)，可得，最后求出x的值即可.
（1）繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
得，
平分；
（2），理由如下：
繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，，
，
，
中：，
即；
（3）設(shè)（由（1）、（2）得）
，
，
（由（2）得）
，
，
，
解得：
25．【答案】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點的坐標為，
點在拋物線上，
，
．
（2）解：直線與拋物線，分別交于點，，
，，
，
，
當時，的最大值為，
的最大值為4，
，解得，
，
．
（3）解：存在，理由如下：
設(shè)點的坐標為，則，
，
點在軸正半軸上，
且，
，
，，，．
如圖，過點作軸的垂線，分別過點，作軸的平行線，與分別交于，，
，，
，
，
，
，
，即．
，，，
解得．
．
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題；二次函數(shù)-角度的存在性問題
【解析】【分析】（1）先求出點P的坐標，再將其代入求出a的值即可；
（2）先求出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可；
（3）設(shè)點的坐標為，則，先求出，，，再過點作軸的垂線，分別過點，作軸的平行線，與分別交于，，證出，利用相似三角形的性質(zhì)可得，即，再將數(shù)據(jù)代入可得，求出，最后可得點G的坐標.
（1）解：由題意可知，拋物線的頂點的坐標為，
點在拋物線上，
，
．
（2）解：直線與拋物線，分別交于點，，
，，
，
，
當時，的最大值為，
的最大值為4，
，解得，
，
．
（3）解：存在，理由如下：
設(shè)點的坐標為，則，
，
點在軸正半軸上，
且，
，
，，，．
如圖，過點作軸的垂線，分別過點，作軸的平行線，與分別交于，，
，，
，
，
，
，
，即．
，，，
解得．
．
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