資源簡介

廣東省深圳市南山區文理集團2024-2025學年上學期九年級期中考試數學試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個正確）
1．（2024九上·南山期中）下列說法錯誤的是(　　)
A．菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半
B．矩形的對角線相等
C．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形
D．對角線相等的菱形是正方形
2．（2024九上·南山期中）已知，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2024九上·南山期中）不解方程，判斷方程3x2﹣4x+1＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個相等的實根 B．有兩個不相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
4．（2024九上·南山期中）隨機抽檢一批毛衫的合格情況，得到如下的頻數表.下列說法錯誤的是（　?。?br/>抽取件數（件） 100 150 200 500 800 1000
合格頻數 a 141 190 475 764 950
合格頻率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95
A．抽取100件的合格頻數是90
B．抽取200件的合格頻率是0.95
C．任抽一件毛衫是合格品的概率為0.90
D．出售2000件毛衫，次品大約有100件
5．（2024九上·南山期中）如圖，在中，點D，E分別在邊，上，則不一定能判斷的是（　?。?br/>A． B． C． D．
6．（2024九上·南山期中）如圖，在菱形中，分別是上的點，且與相交于點O．若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·南山期中）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點分別在上，交于點N，則的長為（　?。?br/>A． B．2 C． D．3
8．（2024九上·南山期中）如圖，矩形中，，若上各取一點，使的值最小，求這個最小值（　?。?br/>A．5 B． C． D．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2024九上·南山期中）在不透明的盒子中裝有3個紅球，7個白球，它們除顏色外均相同，則從盒中子任意摸出一個球是白球的概率是　 ?。?br/>10．（2024九上·南山期中）如圖，，若，則等于　 ?。?br/>11．（2024九上·南山期中）設是一元二次方程的兩個根，則等于　 　．
12．（2024九上·南山期中）如圖，正方形的對角線交于點是邊上一點，連接，過點O作，交于點N．若四邊形的面積是，則的長為　 ?。?br/>13．（2024九上·南山期中）如圖，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，點恰落在邊上的點處；點在上，將沿折疊，點恰落在線段上的點處，有下列結論：①；②；③；④；其中正確的是　 ?。ㄌ顚懻_結論的序號）
三、解答題（本題共7小題，其中第14題6分，第15題6分，第16題8分，第17題8分，第18題9分，第19題12分，第20題12分，共61分）
14．（2024九上·南山期中）解下列方程：
（1）；
（2）
15．（2024九上·南山期中）在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為，
（1）以原點O為位似中心，在位似中心的異側畫出的一個位似圖形，使它與的位似比為；
（2）的上的一點M的坐標為，直接寫出點M在上的對應點的坐標為_______．
16．（2024九上·南山期中）某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發展．學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程？（要求必須選修一門且只能選修一門）”的隨機問卷調查，并根據調查數據繪制了如下兩幅不完整的統計圖：
請結合上述信息，解答下列問題：
（1）共有_______名學生參與了本次問卷調查；
（2）“編程”在扇形統計圖中所對應的圓心角是_______度；
（3）小剛和小明分別從“禮儀”“陶藝”“編程”“園藝”這四門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．
17．（2024九上·南山期中）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線與相交于點M，與相交于點O，與相交于N，連接
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求的長．
18．（2024九上·南山期中）在新冠疫情爆發初期，防護服極度匱乏，某市許多企業都積極地生產防護服以應對疫情，某工廠決定引進若干條防護服生產線．經調查發現：1條防護服生產線最大產能是780件/天，每增加1條生產線，每條生產線的最大產能將減少20件/天．設該工廠共引進x條生產線．
（1）每條生產線的最大產能是_______件/天（用含x的代數式表示）．
（2）若該工廠引進的生產線每天恰好能生產防護服6380件，為了盡量控制成本，該工廠引進了多少條生產線？
19．（2024九上·南山期中）閱讀材料，解答問題．材料：為解方程，我們可以將作為一個整體，然后設，則．原方程可化為：，解得：．
當時，，解得：；
當時，，解得：；
所以原方程的解為：．
（1）方程：的解為：_______
（2）解方程：；（寫出解題過程）
20．（2024九上·南山期中）【問題背景】（1）如圖1，，，．求證：；
【變式遷移】（2）如圖2，E為正方形ABCD外一點，，過點D作，垂足為F，連接CF．求的值；
【拓展創新】（3）如圖3，A是內一點，，，，，，直接寫出AB的長．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】菱形的性質；矩形的判定與性質；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、菱形的面積等于對角線乘積的一半，故正確，不符合題意；B、矩形的對角線相等，正確，不符合題意；
C、對角線平分且相等的平行四邊形是矩形，錯誤，符合題意；
D、對角線相等的菱形是正方形，正確，不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據菱形性質，矩形的判定及性質，正方形的判定逐項進行判斷即可求出答案.
2．【答案】B
【知識點】分式的值；比例的性質
【解析】【解答】解： ，設
故答案為：
【分析】設，則，再將m、n代入計算即可.
3．【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：在方程3x2 4x+1=0中，△=( 4)2 4×3×1=4>0，
∴方程3x2 4x+1=0有兩個不相等的實數根.
故答案為：B.
【分析】利用一元二次方程根的判別式（①當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數根；③當△<0時，方程沒有實數根）分析求解即可.
4．【答案】C
【知識點】頻數與頻率；頻數（率）分布表；利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：A、抽取100件的合格頻數是90，
∵，
∴抽取100件的合格頻數是90正確；
B、抽取200件的合格頻率是0.95，
∵，
∴抽取200件的合格頻率是0.95正確；
C、任抽一件毛衫是合格品的概率為0.90，
∵當抽取件數很大時，頻率在0.95附近擺動，
∴任抽一件毛衫是合格品的概率為0.95，
∴任抽一件毛衫是合格品的概率為0.90錯誤；
D、出售2000件毛衫，次品大約有100件，
∵（件），
∴出售2000件毛衫，次品大約有100件正確.
故答案為：C.
【分析】根據表格提供的數據，由頻數=頻率×抽取的件數，即可判斷A、B、D；大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，據此可判斷D.
5．【答案】D
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，，，不符合題意；
B、，，，不符合題意；
C、，，，，不符合題意；
D、，，∴無法證明，符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三邊對應成比例的兩個三角形相似，②有兩組角對應相等的兩個三角形相似，③兩組邊對應成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似）逐項分析判斷即可.
6．【答案】B
【知識點】菱形的性質；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點是的中點，
又∵，
∴平分，，即，
在中，，
∴，
故選：B ．
【分析】先利用菱形的性質結合可證明，則點O是AC中點；由于菱形的對角互相垂直平分，且一條對角線平分一組對角，則可得與互余．
7．【答案】B
【知識點】矩形的判定與性質；正方形的性質；相似三角形的性質-對應邊；相似三角形的判定預備定理（利用平行）
【解析】【解答】解：設正方形的邊長，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴（相似三角形對應邊上的高的比等于相似比），
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：B．
【分析】設正方形的邊長，先證出，再利用相似三角形的性質（相似三角形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方）可得，求出x的值，最后求出AN的長即可.
8．【答案】C
【知識點】勾股定理；矩形的性質；軸對稱的性質；四邊形的綜合；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：如圖所示，過點關于的對稱點，連接交于點，連接，作于點，交于點，
∵對稱，
∴，
∴，
根據三角形三邊數量關系可得，，
根據點到直線垂線段最短可得，，
∴當點在垂線上，即點于點，點于點重合時，，此時值最小，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
故答案為：C．
【分析】過點關于的對稱點，連接交于點，連接，作于點，交于點，當點在垂線上，即點于點，點于點重合時，，此時值最小，利用，求出BF的長，再求出BB'的長，利用勾股定理求出AF的長，最后利用等面積法求出B'E的長即可.
9．【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：根據題意，從盒中子任意摸出一個球是白球的概率是，
故答案為： ．
【分析】先求出所有符合條件的情況數，再利用概率公式求解即可.
10．【答案】10
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】利用平行線分線段成比例的性質可得，再結合，求出EF的長，最后利用線段的和差求出DF的長即可.
11．【答案】
【知識點】分式的加減法；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：設是一元二次方程的兩個根，
∴，
∵，
∴原式，
故答案為： ．
【分析】設是一元二次方程的兩個根，先利用一元二次方程根與系數的關系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，再求解即可.
12．【答案】6
【知識點】三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，對角線交于點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四邊形的面積是，即，
∴，
∴，且，
∴，
在等腰直角中，，
∴，
故答案為： ．
【分析】先利用“ASA”證出，利用全等三角形的性質可得，再求出，利用三角形的面積公式求出，利用勾股定理求出AD的長即可.
13．【答案】①③④
【知識點】勾股定理；矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：∵BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正確；
在RtABF中，AF==8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
設AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在RtGFH中，
∵，
∴，
解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以④正確；
∵BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴ABF∽DFE，
∴，
∴，
而，
∴，
∴DEF與ABG不相似；所以②錯誤．
∵=×6×3=9，=×3×4=6，
∴．所以③正確．
故答案為：①③④．
【分析】先利用折疊的性質及角的運算求出；再設AG=x，則GH=x，GF=8-x，利用勾股定理列出方程求出x的值，可得題干中的線段的長，再利用相似三角形的判定方法和三角形的面積公式計算并逐項分析判斷即可.
14．【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
則或，
解得：．
【知識點】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法的計算方法及步驟（①將方程化簡為一般式并將二次項的系數化為1，②將常數項移到方程的右邊，③方程的兩邊都加上一次項系數的一半的平方，④將方程寫成完全平方形式并直接開方法求解）分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式將多項式和的形式變成乘積的形式）的計算方法及步驟分析求解即可.
（1）解：，
配方得：，
即，
開平方得：，
解得：；
（2）解：，
移項得：，
因式分解得：，
即，
則或，
解得：．
15．【答案】（1）解：以原點O為位似中心，與的位似比為，作圖如下，
∵，，
∴，
∴即為所求圖形；
（2）
【知識點】作圖﹣位似變換；坐標與圖形變化﹣位似
【解析】【解答】（2）解：由（1）可知，與的位似比為，在第四象限，
∵，，
∴，
故答案為：．
【分析】（1）先利用位似圖形的性質及特征找出點A、B、C的對應點，再連接即可；
（2）利用位似圖形的性質分析求解即可.
（1）解：以原點O為位似中心，與的位似比為，作圖如下，
∵，，
∴，
∴即為所求圖形；
（2）解：由（1）可知，與的位似比為，在第四象限，
∵，，
∴，
故答案為：．
16．【答案】（1）
（2）
（3）解：分別用表示“禮儀”“陶藝”“編程”“園藝”這四門校本課程，所有等可能結果如圖所示，
共有種等可能結果，其中兩人恰好選到同一門課程的結果有種，
∴兩人恰好選到同一門課程的概率為．
【知識點】扇形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：禮儀的人，所占比例為，
∴（人），
∴共有名學生參與了本次問卷調查，
故答案為：；
（2）
解：編程的有人，共有人參與調查，
∴編程的圓心角的度數為，
故答案為：；
【分析】（1）利用“禮儀”的人數除以對應的百分比可得總人數；
（2）先求出“編程”的百分比，再乘以360°即可；
（3）先利用樹狀圖求出所有符合條件的情況數，再利用概率公式求解即可.
（1）解：禮儀的人，所占比例為，
∴（人），
∴共有名學生參與了本次問卷調查，
故答案為：；
（2）解：編程的有人，共有人參與調查，
∴編程的圓心角的度數為，
故答案為：；
（3）解：分別用表示“禮儀”“陶藝”“編程”“園藝”這四門校本課程，所有等可能結果如圖所示，
共有種等可能結果，其中兩人恰好選到同一門課程的結果有種，
∴兩人恰好選到同一門課程的概率為．
17．【答案】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形．
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴MB=MD，
設長為x，則，
在中，
即
解得：．
答：長為．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先證出四邊形是平行四邊形，再結合，即可證出平行四邊形是菱形；
（2）設長為x，則，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
18．【答案】（1）
（2）解：根據題意，可列出方程：，
整理得，
解得，
∵為了盡量控制成本，
∴，
答：該工廠引進了11條口罩生產線．
【知識點】一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】（1）解：∵每增加1條生產線，每條生產線的最大產能將減少20件/天，
∴引進x條生產線每條生產線的最大產能將減少件/天，
∴每條生產線的最大產能是件/天，
故答案為：；
【分析】（1）根據“ 每增加1條生產線，每條生產線的最大產能將減少20件/天 ”直接列出代數式即可；
（2）根據“ 該工廠引進的生產線每天恰好能生產防護服6380件 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：∵每增加1條生產線，每條生產線的最大產能將減少20件/天，
∴引進x條生產線每條生產線的最大產能將減少件/天，
∴每條生產線的最大產能是件/天，
故答案為：；
（2）解：根據題意，可列出方程：，
整理得，
解得，
∵為了盡量控制成本，
∴，
答：該工廠引進了11條口罩生產線．
19．【答案】（1）
（2）解：設，則，
∴原方程可以化為，
∴，
解得，
當時，，解得；
當時，，此時方程無解；
綜上所述，原方程的解為．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；換元法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：設，則，
∴原方程可以化為，
∴，
解得，
當時，，解得；
當時，，解得；
∴原方程的解為：；
故答案為：.
【分析】（1）設，則，再將原方程轉換為，求出t的值，最后求出x的值即可；
（2）設，則，再將原方程轉換為，求出m的值，最后求出x的值即可.
（1）解：設，則，
∴原方程可以化為，
∴，
解得，
當時，，解得；
當時，，解得；
∴原方程的解為：；
（2）解：設，則，
∴原方程可以化為，
∴，
解得，
當時，，解得；
當時，，此時方程無解；
綜上所述，原方程的解為．
20．【答案】解：（1）∵，，，
∴，且，，
∴，
∴，
∴；
（2）如圖2，連接BD，
∵，，
∴
在正方形ABCD中，，
∴，，
，
∴；
（3）.
【知識點】正方形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的實際應用；三角形的綜合
【解析】【解答】解：（3）如圖，過點作，交于點，連接，
又
即
，
故答案為：.
【分析】（1）先求出， 再證出， 最后利用相似三角形的性質可得答案；
（2） 連接BD， 先證出，再利用相似三角形的性質求出即可；
（3） 過點作，交于點，連接，先證出 ，可得，再求出 ，再利用相似三角形的性質可得，求出BH和BE的長，最后利用勾股定理及等量代換求出AB的長即可.
1 / 1廣東省深圳市南山區文理集團2024-2025學年上學期九年級期中考試數學試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個正確）
1．（2024九上·南山期中）下列說法錯誤的是(　　)
A．菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半
B．矩形的對角線相等
C．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形
D．對角線相等的菱形是正方形
【答案】C
【知識點】菱形的性質；矩形的判定與性質；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、菱形的面積等于對角線乘積的一半，故正確，不符合題意；B、矩形的對角線相等，正確，不符合題意；
C、對角線平分且相等的平行四邊形是矩形，錯誤，符合題意；
D、對角線相等的菱形是正方形，正確，不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據菱形性質，矩形的判定及性質，正方形的判定逐項進行判斷即可求出答案.
2．（2024九上·南山期中）已知，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式的值；比例的性質
【解析】【解答】解： ，設
故答案為：
【分析】設，則，再將m、n代入計算即可.
3．（2024九上·南山期中）不解方程，判斷方程3x2﹣4x+1＝0的根的情況是（　?。?br/>A．有兩個相等的實根 B．有兩個不相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：在方程3x2 4x+1=0中，△=( 4)2 4×3×1=4>0，
∴方程3x2 4x+1=0有兩個不相等的實數根.
故答案為：B.
【分析】利用一元二次方程根的判別式（①當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數根；③當△<0時，方程沒有實數根）分析求解即可.
4．（2024九上·南山期中）隨機抽檢一批毛衫的合格情況，得到如下的頻數表.下列說法錯誤的是（　?。?br/>抽取件數（件） 100 150 200 500 800 1000
合格頻數 a 141 190 475 764 950
合格頻率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95
A．抽取100件的合格頻數是90
B．抽取200件的合格頻率是0.95
C．任抽一件毛衫是合格品的概率為0.90
D．出售2000件毛衫，次品大約有100件
【答案】C
【知識點】頻數與頻率；頻數（率）分布表；利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：A、抽取100件的合格頻數是90，
∵，
∴抽取100件的合格頻數是90正確；
B、抽取200件的合格頻率是0.95，
∵，
∴抽取200件的合格頻率是0.95正確；
C、任抽一件毛衫是合格品的概率為0.90，
∵當抽取件數很大時，頻率在0.95附近擺動，
∴任抽一件毛衫是合格品的概率為0.95，
∴任抽一件毛衫是合格品的概率為0.90錯誤；
D、出售2000件毛衫，次品大約有100件，
∵（件），
∴出售2000件毛衫，次品大約有100件正確.
故答案為：C.
【分析】根據表格提供的數據，由頻數=頻率×抽取的件數，即可判斷A、B、D；大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，據此可判斷D.
5．（2024九上·南山期中）如圖，在中，點D，E分別在邊，上，則不一定能判斷的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，，，不符合題意；
B、，，，不符合題意；
C、，，，，不符合題意；
D、，，∴無法證明，符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三邊對應成比例的兩個三角形相似，②有兩組角對應相等的兩個三角形相似，③兩組邊對應成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似）逐項分析判斷即可.
6．（2024九上·南山期中）如圖，在菱形中，分別是上的點，且與相交于點O．若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】菱形的性質；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點是的中點，
又∵，
∴平分，，即，
在中，，
∴，
故選：B ．
【分析】先利用菱形的性質結合可證明，則點O是AC中點；由于菱形的對角互相垂直平分，且一條對角線平分一組對角，則可得與互余．
7．（2024九上·南山期中）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點分別在上，交于點N，則的長為（　?。?br/>A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知識點】矩形的判定與性質；正方形的性質；相似三角形的性質-對應邊；相似三角形的判定預備定理（利用平行）
【解析】【解答】解：設正方形的邊長，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴（相似三角形對應邊上的高的比等于相似比），
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：B．
【分析】設正方形的邊長，先證出，再利用相似三角形的性質（相似三角形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方）可得，求出x的值，最后求出AN的長即可.
8．（2024九上·南山期中）如圖，矩形中，，若上各取一點，使的值最小，求這個最小值（　?。?br/>A．5 B． C． D．
【答案】C
【知識點】勾股定理；矩形的性質；軸對稱的性質；四邊形的綜合；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：如圖所示，過點關于的對稱點，連接交于點，連接，作于點，交于點，
∵對稱，
∴，
∴，
根據三角形三邊數量關系可得，，
根據點到直線垂線段最短可得，，
∴當點在垂線上，即點于點，點于點重合時，，此時值最小，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
故答案為：C．
【分析】過點關于的對稱點，連接交于點，連接，作于點，交于點，當點在垂線上，即點于點，點于點重合時，，此時值最小，利用，求出BF的長，再求出BB'的長，利用勾股定理求出AF的長，最后利用等面積法求出B'E的長即可.
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2024九上·南山期中）在不透明的盒子中裝有3個紅球，7個白球，它們除顏色外均相同，則從盒中子任意摸出一個球是白球的概率是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：根據題意，從盒中子任意摸出一個球是白球的概率是，
故答案為： ．
【分析】先求出所有符合條件的情況數，再利用概率公式求解即可.
10．（2024九上·南山期中）如圖，，若，則等于　 ?。?br/>【答案】10
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】利用平行線分線段成比例的性質可得，再結合，求出EF的長，最后利用線段的和差求出DF的長即可.
11．（2024九上·南山期中）設是一元二次方程的兩個根，則等于　 ?。?br/>【答案】
【知識點】分式的加減法；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：設是一元二次方程的兩個根，
∴，
∵，
∴原式，
故答案為： ．
【分析】設是一元二次方程的兩個根，先利用一元二次方程根與系數的關系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，再求解即可.
12．（2024九上·南山期中）如圖，正方形的對角線交于點是邊上一點，連接，過點O作，交于點N．若四邊形的面積是，則的長為　 ?。?br/>【答案】6
【知識點】三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，對角線交于點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四邊形的面積是，即，
∴，
∴，且，
∴，
在等腰直角中，，
∴，
故答案為： ．
【分析】先利用“ASA”證出，利用全等三角形的性質可得，再求出，利用三角形的面積公式求出，利用勾股定理求出AD的長即可.
13．（2024九上·南山期中）如圖，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，點恰落在邊上的點處；點在上，將沿折疊，點恰落在線段上的點處，有下列結論：①；②；③；④；其中正確的是　 ?。ㄌ顚懻_結論的序號）
【答案】①③④
【知識點】勾股定理；矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：∵BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正確；
在RtABF中，AF==8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
設AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在RtGFH中，
∵，
∴，
解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以④正確；
∵BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴ABF∽DFE，
∴，
∴，
而，
∴，
∴DEF與ABG不相似；所以②錯誤．
∵=×6×3=9，=×3×4=6，
∴．所以③正確．
故答案為：①③④．
【分析】先利用折疊的性質及角的運算求出；再設AG=x，則GH=x，GF=8-x，利用勾股定理列出方程求出x的值，可得題干中的線段的長，再利用相似三角形的判定方法和三角形的面積公式計算并逐項分析判斷即可.
三、解答題（本題共7小題，其中第14題6分，第15題6分，第16題8分，第17題8分，第18題9分，第19題12分，第20題12分，共61分）
14．（2024九上·南山期中）解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
則或，
解得：．
【知識點】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法的計算方法及步驟（①將方程化簡為一般式并將二次項的系數化為1，②將常數項移到方程的右邊，③方程的兩邊都加上一次項系數的一半的平方，④將方程寫成完全平方形式并直接開方法求解）分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式將多項式和的形式變成乘積的形式）的計算方法及步驟分析求解即可.
（1）解：，
配方得：，
即，
開平方得：，
解得：；
（2）解：，
移項得：，
因式分解得：，
即，
則或，
解得：．
15．（2024九上·南山期中）在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為，
（1）以原點O為位似中心，在位似中心的異側畫出的一個位似圖形，使它與的位似比為；
（2）的上的一點M的坐標為，直接寫出點M在上的對應點的坐標為_______．
【答案】（1）解：以原點O為位似中心，與的位似比為，作圖如下，
∵，，
∴，
∴即為所求圖形；
（2）
【知識點】作圖﹣位似變換；坐標與圖形變化﹣位似
【解析】【解答】（2）解：由（1）可知，與的位似比為，在第四象限，
∵，，
∴，
故答案為：．
【分析】（1）先利用位似圖形的性質及特征找出點A、B、C的對應點，再連接即可；
（2）利用位似圖形的性質分析求解即可.
（1）解：以原點O為位似中心，與的位似比為，作圖如下，
∵，，
∴，
∴即為所求圖形；
（2）解：由（1）可知，與的位似比為，在第四象限，
∵，，
∴，
故答案為：．
16．（2024九上·南山期中）某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發展．學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程？（要求必須選修一門且只能選修一門）”的隨機問卷調查，并根據調查數據繪制了如下兩幅不完整的統計圖：
請結合上述信息，解答下列問題：
（1）共有_______名學生參與了本次問卷調查；
（2）“編程”在扇形統計圖中所對應的圓心角是_______度；
（3）小剛和小明分別從“禮儀”“陶藝”“編程”“園藝”這四門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）解：分別用表示“禮儀”“陶藝”“編程”“園藝”這四門校本課程，所有等可能結果如圖所示，
共有種等可能結果，其中兩人恰好選到同一門課程的結果有種，
∴兩人恰好選到同一門課程的概率為．
【知識點】扇形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：禮儀的人，所占比例為，
∴（人），
∴共有名學生參與了本次問卷調查，
故答案為：；
（2）
解：編程的有人，共有人參與調查，
∴編程的圓心角的度數為，
故答案為：；
【分析】（1）利用“禮儀”的人數除以對應的百分比可得總人數；
（2）先求出“編程”的百分比，再乘以360°即可；
（3）先利用樹狀圖求出所有符合條件的情況數，再利用概率公式求解即可.
（1）解：禮儀的人，所占比例為，
∴（人），
∴共有名學生參與了本次問卷調查，
故答案為：；
（2）解：編程的有人，共有人參與調查，
∴編程的圓心角的度數為，
故答案為：；
（3）解：分別用表示“禮儀”“陶藝”“編程”“園藝”這四門校本課程，所有等可能結果如圖所示，
共有種等可能結果，其中兩人恰好選到同一門課程的結果有種，
∴兩人恰好選到同一門課程的概率為．
17．（2024九上·南山期中）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線與相交于點M，與相交于點O，與相交于N，連接
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求的長．
【答案】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形．
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴MB=MD，
設長為x，則，
在中，
即
解得：．
答：長為．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先證出四邊形是平行四邊形，再結合，即可證出平行四邊形是菱形；
（2）設長為x，則，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
18．（2024九上·南山期中）在新冠疫情爆發初期，防護服極度匱乏，某市許多企業都積極地生產防護服以應對疫情，某工廠決定引進若干條防護服生產線．經調查發現：1條防護服生產線最大產能是780件/天，每增加1條生產線，每條生產線的最大產能將減少20件/天．設該工廠共引進x條生產線．
（1）每條生產線的最大產能是_______件/天（用含x的代數式表示）．
（2）若該工廠引進的生產線每天恰好能生產防護服6380件，為了盡量控制成本，該工廠引進了多少條生產線？
【答案】（1）
（2）解：根據題意，可列出方程：，
整理得，
解得，
∵為了盡量控制成本，
∴，
答：該工廠引進了11條口罩生產線．
【知識點】一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】（1）解：∵每增加1條生產線，每條生產線的最大產能將減少20件/天，
∴引進x條生產線每條生產線的最大產能將減少件/天，
∴每條生產線的最大產能是件/天，
故答案為：；
【分析】（1）根據“ 每增加1條生產線，每條生產線的最大產能將減少20件/天 ”直接列出代數式即可；
（2）根據“ 該工廠引進的生產線每天恰好能生產防護服6380件 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：∵每增加1條生產線，每條生產線的最大產能將減少20件/天，
∴引進x條生產線每條生產線的最大產能將減少件/天，
∴每條生產線的最大產能是件/天，
故答案為：；
（2）解：根據題意，可列出方程：，
整理得，
解得，
∵為了盡量控制成本，
∴，
答：該工廠引進了11條口罩生產線．
19．（2024九上·南山期中）閱讀材料，解答問題．材料：為解方程，我們可以將作為一個整體，然后設，則．原方程可化為：，解得：．
當時，，解得：；
當時，，解得：；
所以原方程的解為：．
（1）方程：的解為：_______
（2）解方程：；（寫出解題過程）
【答案】（1）
（2）解：設，則，
∴原方程可以化為，
∴，
解得，
當時，，解得；
當時，，此時方程無解；
綜上所述，原方程的解為．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；換元法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：設，則，
∴原方程可以化為，
∴，
解得，
當時，，解得；
當時，，解得；
∴原方程的解為：；
故答案為：.
【分析】（1）設，則，再將原方程轉換為，求出t的值，最后求出x的值即可；
（2）設，則，再將原方程轉換為，求出m的值，最后求出x的值即可.
（1）解：設，則，
∴原方程可以化為，
∴，
解得，
當時，，解得；
當時，，解得；
∴原方程的解為：；
（2）解：設，則，
∴原方程可以化為，
∴，
解得，
當時，，解得；
當時，，此時方程無解；
綜上所述，原方程的解為．
20．（2024九上·南山期中）【問題背景】（1）如圖1，，，．求證：；
【變式遷移】（2）如圖2，E為正方形ABCD外一點，，過點D作，垂足為F，連接CF．求的值；
【拓展創新】（3）如圖3，A是內一點，，，，，，直接寫出AB的長．
【答案】解：（1）∵，，，
∴，且，，
∴，
∴，
∴；
（2）如圖2，連接BD，
∵，，
∴
在正方形ABCD中，，
∴，，
，
∴；
（3）.
【知識點】正方形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的實際應用；三角形的綜合
【解析】【解答】解：（3）如圖，過點作，交于點，連接，
又
即
，
故答案為：.
【分析】（1）先求出， 再證出， 最后利用相似三角形的性質可得答案；
（2） 連接BD， 先證出，再利用相似三角形的性質求出即可；
（3） 過點作，交于點，連接，先證出 ，可得，再求出 ，再利用相似三角形的性質可得，求出BH和BE的長，最后利用勾股定理及等量代換求出AB的長即可.
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