資源簡介

廣東省江門市第八中學2024-2025學年八年級上學期期中考試數學試題
1．（2024八上·江門期中）下列各組數可能是一個三角形的邊長的是（　　）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
2．（2024八上·江門期中）如圖，在上網課時把平板放在三角形支架上用到的數學道理是（　　）
A．三角形的穩定性 B．對頂角相等
C．垂線段最短 D．兩點之間線段最短
3．（2024八上·江門期中）下列各式運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·江門期中）已知一個正多邊形的每個外角等于45°，則這個正多邊形是（　　）
A．正五邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形
5．（2024八上·江門期中）計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·江門期中）已知點A的坐標為 ，點A關于x軸的對稱點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·江門期中）如圖，，則的長是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024八上·江門期中）如圖，已知，那么添加下列一個條件后不能證明的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·江門期中）如圖，已知，，于點C，于點G，若，則長度是_______．
A．8 B．3 C．6 D．7
10．（2024八上·江門期中）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、于點M和點N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接并延長交于點D，下列結論：
①是的平分線；②；③分別連接、，則判定的依據是“”；④邊上任意一點到邊和邊上的距離都相等；其中正確的結論共有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
11．（2024八上·江門期中）計算：　 　．
12．（2024八上·江門期中）八邊形的內角和為　 　度．
13．（2024八上·江門期中）已知（m，n為正整數），則　 　．
14．（2024八上·江門期中）等腰三角形的兩邊長分別為4和10，則它的周長為　 　．
15．（2024八上·江門期中）如圖，的面積是1，是的中線，，，則的面積為　 　．
16．（2024八上·江門期中）先化簡后求值：，其中．
17．（2024八上·江門期中）如圖，點B，F，C，E在一條直線上，BF＝CE，，∠A＝∠D．求證：AC＝DF．
18．（2024八上·江門期中）如圖，在中，是高，，是角平分線，它們相交于點O，，．求和的度數．
19．（2024八上·江門期中）如圖，某市有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，規劃部門計劃將陰影部分進行綠化，中間將修建一座雕像．
（1）求綠化的面積是多少平方米？（用代數式表示）
（2）求出當，時的綠化面積．
20．（2024八上·江門期中）已知：如圖，在中，，．
（1）求作的平分線，交于點P．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，求的角度？
21．（2024八上·江門期中）如圖，已知，D是上一點，交于點E，若．
（1）求證：；
（2）連接，若，，求出線段長度的取值范圍．
22．（2024八上·江門期中）如圖，△ABC的邊AB與△EDC的邊ED相交于點F，連接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．
（1）求證：AB＝ED；
（2）求證：FC平分∠BFE．
23．（2024八上·江門期中）將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經過點B、C．
（1）如圖①，若∠A=40°時，點D在△ABC內，則∠ABC+∠ACB=　 　度，∠DBC+∠DCB=　 　度，∠ABD+∠ACD=　 　度；
（2）如圖②，改變直角三角板DEF的位置，使點D在△ABC內，請探究∠ABD+∠ACD與∠A之間存在怎樣的數量關系，并驗證你的結論．
（3）如圖③，改變直角三角板DEF的位置，使點D在△ABC外，且在AB邊的左側，直接寫出∠ABD、∠ACD、∠A三者之間存在的數量關系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【分析】看哪個選項中兩條較小的邊的和大于最大的邊即可．
【解答】A、因為1+2＜4，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤；
B、因為4+5=9，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤；
C、因為4+6＞8，所以本組數可以構成三角形．故本選項正確；
D、因為5+5＜11，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤；
故選C．
【點評】本題主要考查了三角形的三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊，只要滿足兩短邊的和大于最長的邊，就可以構成三角形．
2．【答案】A
【知識點】三角形的穩定性
【解析】【解答】解：把平板電腦放在一個支架上面，就可以非常方便的使用它上網課，這樣做的數學道理是三角形具有穩定性，
故答案為：A．
【分析】利用三角形的穩定性及生活常識分析求解即可.
3．【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，與不是同類項，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是錯誤的；
C、，故該選項是正確的；
D、，故該選項是錯誤的；
故答案為：C
【分析】利用同底數冪的乘法（底數不變，指數相加）、合并同類項的計算方法及步驟（①有括號先去括號，②再找出所有同類項，③最后將同類項的系數相加減）、積的乘方（把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘）、冪的乘方（底數不變，指數相乘）的定義及計算方法逐項分析判斷即可.
4．【答案】D
【知識點】正多邊形的性質
【解析】【解答】解：正多邊形的邊數為：360°÷45°=8，
則這個多邊形是正八邊形.
故答案為：D.
【分析】根據正多邊形的邊數等于外角和除以一個外角的度數可得答案。
5．【答案】D
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：
．
故答案為：D．
【分析】利用多項式乘多項式的計算方法（先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式中的每一項，再把所得的積相加）分析求解即可.
6．【答案】D
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：因為點A的坐標為 ，
所以點A關于x軸的對稱點的坐標為 ，
故答案為：D.
【分析】根據關于x軸對稱的點的坐標特點：“橫坐標相等，縱坐標互為相反數”進行求解.
7．【答案】D
【知識點】三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：D．
【分析】利用全等三角形的性質及線段的和差可得，再將數據代入求出DE的長即可.
8．【答案】B
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
A、，，添加AB=AD，，故選項A不符合題意；
B、，不能判定，故選項B符合題意；
C、，能判定(HL)，故選項C不符合題意；
D、由，能判定（ASA），故選項D不符合題意；
故答案為：B．
【分析】全等三角形的判定定理有：ASA、AAS、SSS、SAS，直角三角形HL。根據三角形全等的判斷定理分別對各個選項進行判斷即可．
9．【答案】C
【知識點】三角形外角的概念及性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴是的角平分線，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案為：C．
【分析】先利用角平分線的性質可得，再求出，利用含30°角的直角三角形的性質可得，再結合，利用等角對等邊的性質可得，從而得解.
10．【答案】B
【知識點】三角形外角的概念及性質；角平分線的性質；三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：根據作圖判定是的平分線，故①正確；
因為，
所以，
所以，
所以，故②正確；
根據作圖可知：，，
因為，
所以，故③錯誤；
根據角平分線的性質可知：邊上任意一點到邊和邊上的距離都相等，故④正確；
綜上分析可知：正確的有3個．
故答案為：B．
【分析】根據作圖痕跡可得是的平分線，再利用“SSS”證出，最后利用全等三角形的性質及角的運算和等量代換逐項分析判斷即可.
11．【答案】
【知識點】積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：．
故答案為：．
【分析】利用積的乘方的運算方法（把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘）和冪的乘方的運算方法（底數不變，指數相乘）分析求解即可.
12．【答案】1080
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：八邊形的內角和=
故答案為：1080°.
【分析】根據n邊形的內角和為（n-2）×180°，將n=8代入計算。
13．【答案】30
【知識點】同底數冪乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案為：．
【分析】先將代數式變形為，再將代入計算即可.
14．【答案】24
【知識點】三角形三邊關系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①若4為腰長，10為底邊長，
由于，則三角形不存在；
②若10為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．
∴這個三角形的周長為．
故答案為：24．
【分析】分類討論：①若4為腰長，10為底邊長；②若10為腰長，再利用三角形三邊的關系及三角形的周長公式求解即可.
15．【答案】
【知識點】三角形的面積；三角形的中線
【解析】【解答】解：∵的面積是1，是的中線，
∴，
∵，即，
∴，
∵，即，
∴，
故答案為：．
【分析】利用三角形的中線平分三角形的面積可得，再結合，即，可得，最后結合，求出即可.
16．【答案】解：
，
當時，原式．
【知識點】單項式乘多項式；利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】先利用單項式乘單項式的計算方法（把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式）化簡，再將x=-1代入計算即可.
17．【答案】證明：∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
∴AC＝DF
【知識點】三角形全等的判定-AAS；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【分析】先利用平行線的性質可得∠B＝∠E，再利用“AAS”證出△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性質可得AC＝DF.
18．【答案】解：∵在中，是高，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，是角平分線，
∴，，
∴，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；角平分線的概念
【解析】【分析】先求出，再利用三角形的內角和求出；再利用角平分線的定義可得，，再利用三角形外角的性質求出∠AEB的度數，最后利用角的運算求出∠BOA的度數即可.
19．【答案】（1）解：
，
答：綠化的面積是平方米；
（2）解：當，時，原式，
答：綠化的面積是63平方米．
【知識點】整式的混合運算；用代數式表示幾何圖形的數量關系；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）用長方形面積減去中間小正方形面積，結合整式的混合運算法則計算即可求出答案.
（2）將，代入代數式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：以點為圓心，適當長為半徑畫弧交，于兩點，再分別以兩點為圓心，適當長為半徑畫弧交于一點，連接點與該點所在直線交于點P，如圖所示：即為所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵平分，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質；角平分線的概念；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）以點為圓心，適當長為半徑畫弧交，于兩點，再分別以兩點為圓心，適當長為半徑畫弧交于一點，連接點與該點所在直線交于點P，從而得解；
（2）先利用等腰三角形的性質及內角和求出，再求出∠ABC的度數，最后利用角平分線的定義可得．
（1）解：以點為圓心，適當長為半徑畫弧交，于兩點，再分別以兩點為圓心，適當長為半徑畫弧交于一點，連接點與該點所在直線交于點P，如圖所示：即為所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵平分，
∴．
21．【答案】（1）證明：，
，，
，，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）已證：，
，
，
∵在中，，，
，
解得：．
【知識點】三角形三邊關系；三角形全等的判定-ASA；倍長中線構造全等模型
【解析】【分析】（1）先利用平行線的性質可得，，再利用線段的和差及等量代換可得AD=CF，再利用“ASA”證出即可；
（2）利用全等三角形的性質可得，再利用三角形三邊的關系可得，再結合可得，最后求出EF的取值范圍即可.
（1）證明：，
，，
，，
，
在和中，，
．
（2）解：由（1）已證：，
，
，
∵在中，，，
，
解得．
22．【答案】證明：（1）∵∠BCD＝∠ACE，
∴∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC與△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝ED；
（2）過點C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分別為G，H，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠B＝∠D，
∵CG⊥AB，CH⊥DE，
∴∠BGC＝∠DHC＝90°，
在△BCG與△DCH中
，
∴△BCG≌△DCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴FC平分∠BFE．
【知識點】三角形全等及其性質；角平分線的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用角的運算和等量代換可得∠BCA＝∠DCE，再利用“SAS”證出△ABC≌△EDC，再利用全等三角形的性質可得AB＝ED；
（2）過點C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分別為G，H，先利用“AAS”證出△BCG≌△DCH，利用全等三角形的性質可得CG＝CH，再結合CG⊥AB，CH⊥DE，即可證出FC平分∠BFE．
23．【答案】解：（1）140，90，50．
（2）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數量關系為：∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．證明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣∠A﹣90°，∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．
（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】（1）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°．
故答案為：140，90，50．
（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．證明如下：
設線段DC和線段AB交于點O．
∵∠BOC=∠D+∠DBO=∠A+∠ACO，∴90°+∠ABD=∠A+∠ACD，∴∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．
【分析】（1）根據三角形內角和定理，得到∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，進而求得∠ABD+∠ACD的度數，即可得到答案；
（2）根據三角形內角和定義，結合90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，得到∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A，即可得到答案．
（3）設線段DC和線段AB交于點O，根據三角形外角的性質，得到∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A，即可得到答案．
1 / 1廣東省江門市第八中學2024-2025學年八年級上學期期中考試數學試題
1．（2024八上·江門期中）下列各組數可能是一個三角形的邊長的是（　　）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
【答案】C
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【分析】看哪個選項中兩條較小的邊的和大于最大的邊即可．
【解答】A、因為1+2＜4，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤；
B、因為4+5=9，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤；
C、因為4+6＞8，所以本組數可以構成三角形．故本選項正確；
D、因為5+5＜11，所以本組數不能構成三角形．故本選項錯誤；
故選C．
【點評】本題主要考查了三角形的三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊，只要滿足兩短邊的和大于最長的邊，就可以構成三角形．
2．（2024八上·江門期中）如圖，在上網課時把平板放在三角形支架上用到的數學道理是（　　）
A．三角形的穩定性 B．對頂角相等
C．垂線段最短 D．兩點之間線段最短
【答案】A
【知識點】三角形的穩定性
【解析】【解答】解：把平板電腦放在一個支架上面，就可以非常方便的使用它上網課，這樣做的數學道理是三角形具有穩定性，
故答案為：A．
【分析】利用三角形的穩定性及生活常識分析求解即可.
3．（2024八上·江門期中）下列各式運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，與不是同類項，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是錯誤的；
C、，故該選項是正確的；
D、，故該選項是錯誤的；
故答案為：C
【分析】利用同底數冪的乘法（底數不變，指數相加）、合并同類項的計算方法及步驟（①有括號先去括號，②再找出所有同類項，③最后將同類項的系數相加減）、積的乘方（把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘）、冪的乘方（底數不變，指數相乘）的定義及計算方法逐項分析判斷即可.
4．（2024八上·江門期中）已知一個正多邊形的每個外角等于45°，則這個正多邊形是（　　）
A．正五邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形
【答案】D
【知識點】正多邊形的性質
【解析】【解答】解：正多邊形的邊數為：360°÷45°=8，
則這個多邊形是正八邊形.
故答案為：D.
【分析】根據正多邊形的邊數等于外角和除以一個外角的度數可得答案。
5．（2024八上·江門期中）計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：
．
故答案為：D．
【分析】利用多項式乘多項式的計算方法（先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式中的每一項，再把所得的積相加）分析求解即可.
6．（2024八上·江門期中）已知點A的坐標為 ，點A關于x軸的對稱點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：因為點A的坐標為 ，
所以點A關于x軸的對稱點的坐標為 ，
故答案為：D.
【分析】根據關于x軸對稱的點的坐標特點：“橫坐標相等，縱坐標互為相反數”進行求解.
7．（2024八上·江門期中）如圖，，則的長是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知識點】三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：D．
【分析】利用全等三角形的性質及線段的和差可得，再將數據代入求出DE的長即可.
8．（2024八上·江門期中）如圖，已知，那么添加下列一個條件后不能證明的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
A、，，添加AB=AD，，故選項A不符合題意；
B、，不能判定，故選項B符合題意；
C、，能判定(HL)，故選項C不符合題意；
D、由，能判定（ASA），故選項D不符合題意；
故答案為：B．
【分析】全等三角形的判定定理有：ASA、AAS、SSS、SAS，直角三角形HL。根據三角形全等的判斷定理分別對各個選項進行判斷即可．
9．（2024八上·江門期中）如圖，已知，，于點C，于點G，若，則長度是_______．
A．8 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【知識點】三角形外角的概念及性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴是的角平分線，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案為：C．
【分析】先利用角平分線的性質可得，再求出，利用含30°角的直角三角形的性質可得，再結合，利用等角對等邊的性質可得，從而得解.
10．（2024八上·江門期中）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、于點M和點N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接并延長交于點D，下列結論：
①是的平分線；②；③分別連接、，則判定的依據是“”；④邊上任意一點到邊和邊上的距離都相等；其中正確的結論共有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【知識點】三角形外角的概念及性質；角平分線的性質；三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：根據作圖判定是的平分線，故①正確；
因為，
所以，
所以，
所以，故②正確；
根據作圖可知：，，
因為，
所以，故③錯誤；
根據角平分線的性質可知：邊上任意一點到邊和邊上的距離都相等，故④正確；
綜上分析可知：正確的有3個．
故答案為：B．
【分析】根據作圖痕跡可得是的平分線，再利用“SSS”證出，最后利用全等三角形的性質及角的運算和等量代換逐項分析判斷即可.
11．（2024八上·江門期中）計算：　 　．
【答案】
【知識點】積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：．
故答案為：．
【分析】利用積的乘方的運算方法（把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘）和冪的乘方的運算方法（底數不變，指數相乘）分析求解即可.
12．（2024八上·江門期中）八邊形的內角和為　 　度．
【答案】1080
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：八邊形的內角和=
故答案為：1080°.
【分析】根據n邊形的內角和為（n-2）×180°，將n=8代入計算。
13．（2024八上·江門期中）已知（m，n為正整數），則　 　．
【答案】30
【知識點】同底數冪乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案為：．
【分析】先將代數式變形為，再將代入計算即可.
14．（2024八上·江門期中）等腰三角形的兩邊長分別為4和10，則它的周長為　 　．
【答案】24
【知識點】三角形三邊關系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①若4為腰長，10為底邊長，
由于，則三角形不存在；
②若10為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．
∴這個三角形的周長為．
故答案為：24．
【分析】分類討論：①若4為腰長，10為底邊長；②若10為腰長，再利用三角形三邊的關系及三角形的周長公式求解即可.
15．（2024八上·江門期中）如圖，的面積是1，是的中線，，，則的面積為　 　．
【答案】
【知識點】三角形的面積；三角形的中線
【解析】【解答】解：∵的面積是1，是的中線，
∴，
∵，即，
∴，
∵，即，
∴，
故答案為：．
【分析】利用三角形的中線平分三角形的面積可得，再結合，即，可得，最后結合，求出即可.
16．（2024八上·江門期中）先化簡后求值：，其中．
【答案】解：
，
當時，原式．
【知識點】單項式乘多項式；利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】先利用單項式乘單項式的計算方法（把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式）化簡，再將x=-1代入計算即可.
17．（2024八上·江門期中）如圖，點B，F，C，E在一條直線上，BF＝CE，，∠A＝∠D．求證：AC＝DF．
【答案】證明：∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
∴AC＝DF
【知識點】三角形全等的判定-AAS；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【分析】先利用平行線的性質可得∠B＝∠E，再利用“AAS”證出△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性質可得AC＝DF.
18．（2024八上·江門期中）如圖，在中，是高，，是角平分線，它們相交于點O，，．求和的度數．
【答案】解：∵在中，是高，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，是角平分線，
∴，，
∴，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；角平分線的概念
【解析】【分析】先求出，再利用三角形的內角和求出；再利用角平分線的定義可得，，再利用三角形外角的性質求出∠AEB的度數，最后利用角的運算求出∠BOA的度數即可.
19．（2024八上·江門期中）如圖，某市有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，規劃部門計劃將陰影部分進行綠化，中間將修建一座雕像．
（1）求綠化的面積是多少平方米？（用代數式表示）
（2）求出當，時的綠化面積．
【答案】（1）解：
，
答：綠化的面積是平方米；
（2）解：當，時，原式，
答：綠化的面積是63平方米．
【知識點】整式的混合運算；用代數式表示幾何圖形的數量關系；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）用長方形面積減去中間小正方形面積，結合整式的混合運算法則計算即可求出答案.
（2）將，代入代數式即可求出答案.
20．（2024八上·江門期中）已知：如圖，在中，，．
（1）求作的平分線，交于點P．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，求的角度？
【答案】（1）解：以點為圓心，適當長為半徑畫弧交，于兩點，再分別以兩點為圓心，適當長為半徑畫弧交于一點，連接點與該點所在直線交于點P，如圖所示：即為所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵平分，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質；角平分線的概念；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）以點為圓心，適當長為半徑畫弧交，于兩點，再分別以兩點為圓心，適當長為半徑畫弧交于一點，連接點與該點所在直線交于點P，從而得解；
（2）先利用等腰三角形的性質及內角和求出，再求出∠ABC的度數，最后利用角平分線的定義可得．
（1）解：以點為圓心，適當長為半徑畫弧交，于兩點，再分別以兩點為圓心，適當長為半徑畫弧交于一點，連接點與該點所在直線交于點P，如圖所示：即為所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵平分，
∴．
21．（2024八上·江門期中）如圖，已知，D是上一點，交于點E，若．
（1）求證：；
（2）連接，若，，求出線段長度的取值范圍．
【答案】（1）證明：，
，，
，，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）已證：，
，
，
∵在中，，，
，
解得：．
【知識點】三角形三邊關系；三角形全等的判定-ASA；倍長中線構造全等模型
【解析】【分析】（1）先利用平行線的性質可得，，再利用線段的和差及等量代換可得AD=CF，再利用“ASA”證出即可；
（2）利用全等三角形的性質可得，再利用三角形三邊的關系可得，再結合可得，最后求出EF的取值范圍即可.
（1）證明：，
，，
，，
，
在和中，，
．
（2）解：由（1）已證：，
，
，
∵在中，，，
，
解得．
22．（2024八上·江門期中）如圖，△ABC的邊AB與△EDC的邊ED相交于點F，連接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．
（1）求證：AB＝ED；
（2）求證：FC平分∠BFE．
【答案】證明：（1）∵∠BCD＝∠ACE，
∴∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC與△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝ED；
（2）過點C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分別為G，H，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠B＝∠D，
∵CG⊥AB，CH⊥DE，
∴∠BGC＝∠DHC＝90°，
在△BCG與△DCH中
，
∴△BCG≌△DCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴FC平分∠BFE．
【知識點】三角形全等及其性質；角平分線的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用角的運算和等量代換可得∠BCA＝∠DCE，再利用“SAS”證出△ABC≌△EDC，再利用全等三角形的性質可得AB＝ED；
（2）過點C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分別為G，H，先利用“AAS”證出△BCG≌△DCH，利用全等三角形的性質可得CG＝CH，再結合CG⊥AB，CH⊥DE，即可證出FC平分∠BFE．
23．（2024八上·江門期中）將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經過點B、C．
（1）如圖①，若∠A=40°時，點D在△ABC內，則∠ABC+∠ACB=　 　度，∠DBC+∠DCB=　 　度，∠ABD+∠ACD=　 　度；
（2）如圖②，改變直角三角板DEF的位置，使點D在△ABC內，請探究∠ABD+∠ACD與∠A之間存在怎樣的數量關系，并驗證你的結論．
（3）如圖③，改變直角三角板DEF的位置，使點D在△ABC外，且在AB邊的左側，直接寫出∠ABD、∠ACD、∠A三者之間存在的數量關系．
【答案】解：（1）140，90，50．
（2）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數量關系為：∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．證明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣∠A﹣90°，∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．
（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】（1）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°．
故答案為：140，90，50．
（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．證明如下：
設線段DC和線段AB交于點O．
∵∠BOC=∠D+∠DBO=∠A+∠ACO，∴90°+∠ABD=∠A+∠ACD，∴∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．
【分析】（1）根據三角形內角和定理，得到∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，進而求得∠ABD+∠ACD的度數，即可得到答案；
（2）根據三角形內角和定義，結合90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，得到∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A，即可得到答案．
（3）設線段DC和線段AB交于點O，根據三角形外角的性質，得到∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A，即可得到答案．
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