資源簡介

浙教版（2024) 數學八年級上冊2.5 逆命題和逆定理 同步分層練習
一、夯實基礎：
1．（2023八上·衢江期中）下列命題的逆命題是假命題的是（　?。?br/>A．兩直線平行，同位角相等；
B．對頂角相等；
C．如果，那么；
D．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
2．（2024八上·浙江期末）“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是（　　）
A．在同一個三角形中，等邊對等角
B．兩個角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形
D．如果一個三角形有兩條邊相等，那么這個三角形是等腰三角形
3．下列定理中有逆定理的是（　?。?br/>A．對頂角相等
B．全等三角形的對應角相等
C．同角的余角相等
D．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
4．（2022八上·鎮海區期中）已知命題“若，則”，下列說法正確的是（　?。?br/>A．它是一個真命題
B．它是一個假命題，反例
C．它是一個假命題，反例
D．它是一個假命題，反制
5．（2021八上·東陽期末）在△ABC紙片上有一點P，且PA＝PB，則P點一定（　?。?br/>A．是邊AB的中點 B．在邊AB的垂直平分線上
C．在邊AB的高線上 D．在邊AB的中線上
6．（2016八上·嵊州期末）命題“兩直線平行，同位角相等．”的逆命題是　 ?。?br/>7．（2024八上·路橋期中）如圖，一形狀為四邊形的風箏四邊形中，已知，，則此風箏的骨架與即四邊形的兩對角線有怎樣的關系？答：　 ?。?br/>8．（2024八上·黃浦期末）勾股定理的逆命題是（寫成“如果…那么”的形式）　 ?。?br/>9．（2024八上·余杭期中）"內錯角相等，兩直線平行"的逆命題是　 　，該命題是　 ?。ㄌ?真"或"假"）命題。
10．（2023八上·沭陽月考）如圖，與相交于點，，，．
求證：
（1）；
（2）垂直平分．
二、能力提升：
11．（2024八上·浙江期中）下列說法中不正確的是（　?。?br/>A．“三邊對應相等的兩個三角形全等”是基本事實，所以沒有逆命題
B．“若a＝b，則-2a＝-2b”的逆命題是“若-2a＝-2b，則a＝b”
C．“兩個全等三角形的周長相等”的逆命題是“周長相等的兩個三角形全等”
D．“全等三角形的對應角相等”的逆命題是“三角對應相等的兩個三角形全等”
12．（2024八上·諸暨月考）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中，，小明在探究箏形的性質時，連結了AC，BD，并設交點為O，得到了如下結論，其中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024八上·湖南期末）已知命題；若，則；若，則；兩個全等的三角形的面積相等；三條邊對應相等的兩個三角形全等上述命題的逆命題為真命題的個數是（　　）
A． B． C． D．
14．（2024八上·寧波競賽） 如圖， 中， ， ， ，則 　 　度.
15．（2024八上·海曙開學考）如圖所示，已知平分，于點E，，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有　 　（把正確結論的序號填寫在橫線上）．
16．說出“等腰三角形兩腰上的高線長相等”的逆命題.這個逆命題是真命題嗎 證明你的判斷.
17．如圖，△ABC是等邊三角形.
（1）若AD=BE=CF，求證：△DEF是等邊三角形.
（2）第(1)題的逆命題成立嗎 若成立，請證明；若不成立，請舉反例加以說明.
三、拓展創新：
18．（2022八上·順平期中）數學活動：利用全等三角形研究“箏形”的特征．
認識圖形：如圖，四邊形中，．像這樣，兩條鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．
（1）研究特征：琪琪猜想箏形的對角與相等，他的結論成立嗎？說明理由．
（2）嘉嘉連接箏形的對角線、后發現垂直平分，請你補全圖形，并幫她說明理由．
（3）拓展應用：在箏形中，對角線長為8，長為12，請直接寫出此箏形的面積．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】真命題與假命題；逆命題
【解析】【解答】解：A. 逆命題為：同位角相等，兩直線平行，是真命題，故選項A不符合題意；
B. 逆命題為：相等的角是對頂角，是假命題，故選項B符合題意；
C. 逆命題為：如果，那么，是真命題，故選項C不符合題意；
D. 到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，是真命題，故選項D不符合題意.
故答案為：B．
【分析】逐項寫出逆命題，然后判定真假即可．
2．【答案】C
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形 ”
故答案為：C.
【分析】交換命題的題設和結論，寫出逆命題即可.
3．【答案】D
【知識點】逆定理
【解析】【解答】解：A、對頂角相等的逆命題為：相等的角是對頂角，該逆命題是假命題，故該選項定理沒有逆定理；
B、 全等三角形的對應角相等的逆命題為：對應角相等得兩個三角形全等，該逆命題是假命題，故該選項定理沒有逆定理；
C、同角的余角相等的逆命題為：相等的兩個角是同一個角的余角，該逆命題是假命題，故該選項定理沒有逆定理；
D、 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等的逆命題是：到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，該逆命題是真命題，故該選項定理有逆定理.
故答案為：D.
【分析】一個命題包括題設與結論兩部分，題設一般用如果領起，結論一般用那么領起，將一個命題的題設與結論互換位置即可得出該命題的逆命題，據此找出各個定理的逆命題，再判斷逆命題的真假，當一個定理的逆命題也正確，這個逆命題就是原定理的逆定理，據此逐個解答判斷即可得出答案.
4．【答案】B
【知識點】真命題與假命題；逆命題
【解析】【解答】解：A.若，則，說法錯誤，是一個假命題；
B.是一個假命題，反例：能確定原命題是個假命題，故正確；
C.是一個假命題，反例：不能確定原命題是個假命題，故錯誤；
D.是一個假命題，反例：不能確定原命題是個假命題，故錯誤；
故答案為：B.
【分析】利用特殊值進行判斷即可.
5．【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的判定
【解析】【解答】解：∵PA=PB，
∴P點一定在邊AB的垂直平分線上，
故答案為：B.
【分析】根據線段的垂直平分線的判定“到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”可判斷求解.
6．【答案】同位角相等，兩直線平行
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：∵原命題的條件為：兩直線平行，結論為：同位角相等．
∴其逆命題為：同位角相等，兩直線平行．
【分析】將原命題的條件與結論互換即得到其逆命題．
7．【答案】垂直平分
【知識點】線段垂直平分線的判定
【解析】【解答】解：垂直平分，理由如下：
，
∴點D在線段AC的垂直平分線上，
∵，
∴點B在線段AC的垂直平分線上，
垂直平分，
故答案為：垂直平分．
【分析】根據，，可得點D和E都在線段AC的垂直平分線上，繼而可得垂直平分．
8．【答案】如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個三角形為直角三角形
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：勾股定理的逆命題是：如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個三角形為直角三角形．
故答案為：如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個三角形為直角三角形．
【分析】利用命題的定義及逆命題的定義和書寫方法分析求解即可.
9．【答案】兩直線平行，內錯角相等；真
【知識點】真命題與假命題；逆命題
【解析】【解答】解："內錯角相等，兩直線平行"的逆命題是：兩直線平行，內錯角相等，該命題為真命題.
故答案為：兩直線平行，內錯角相等，真.
【分析】根據把一個命題的題設和結論交換位置得到的命題即為原命題的逆命題，據此即可求解.
10．【答案】（1）證明：在與中，
，
∴，
∴．
（2）證明：由（1）得，
∴，
∴點O在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點E在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分．
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；線段垂直平分線的判定
【解析】【分析】（1）根據全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
（2）根據全等三角形性質可得，再根據垂直平分線判定定理即可求出答案.
（1）證明：在與中，
，
∴，
∴．
（2）證明：由（1）得，
∴，
∴點O在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點E在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分．
11．【答案】A
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：A、“三邊對應相等的兩個三角形全等”逆命題為“兩個三角形全等，三邊對應相等”A錯誤；
BCD逆命題的說法均正確；
故答案為：A.
【分析】任何命題都有逆命題，把原命題的條件和結論互換，即可得到逆命題.
12．【答案】D
【知識點】線段垂直平分線的性質；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴A，B正確；
∵，
∴，
∴C正確；
不能確定之間的關系，
∴D不正確．
故選：D．
【分析】先證明是的垂直平分線，可判斷A，B；再根據“SSS”證明C；能否確定三者之間的關系判斷D．
13．【答案】C
【知識點】真命題與假命題；逆命題
【解析】【解答】①∵命題“若，則”的逆命題是“若，則”是假命題，∴①不符合題意；
②∵命題“若，則”的逆命題是“若，則”是真命題，∴②符合題意；
③∵命題“兩個全等的三角形的面積相等”的逆命題是“如果兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形是全等三角形”是假命題，∴③不符合題意；
④∵三條邊對應相等的兩個三角形全等”的逆命題是“如果兩個三角形全等，則這兩個三角形的對應邊相等”是真命題，∴④符合題意；
綜上，符合題意是②④，共2個，
故答案為：C.
【分析】先求出每個命題的逆命題，再利用真命題的定義逐項分析判斷即可.
14．【答案】93
【知識點】線段垂直平分線的判定；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：在DC上截取DE= BD， 連接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直分線，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB=58°，
∵∠AEB是△ACE的一個外角，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=58°，
∵AB+BD=CD， DE+CE=CD，
∴AB=CE，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE=29°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=93°，
故答案為： 93.
【分析】在DC上截取DE=BD， 連接AE， 根據已知易得AD是BE的垂直分線， 從而可得AB= AE， 然后利用等腰三角形的性質可得∠B=∠AEB=58°， 再利用三角形的外角性質可得∠C+∠CAE=58°，最后根據已知和線段的和差關系可得AB=CE，從而可得AE=CE， 進而可得∠C=∠CAE=29°， 再利用三角形的內角和定理進行計算，即可解答.
15．【答案】①②③④
【知識點】線段垂直平分線的性質；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念
【解析】【解答】解：如圖，在上取點使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分線
∴
∴
∴③正確
∵
∴①正確
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正確
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正確
綜上：①②③④均正確
故答案為：①②③④．
【分析】，得出：在上取點使，根據SAS證明：，得出，，再根據，證明出CE是BF的垂直平分線，因而可以得到：，再根據等量代換，得出，再根據等量代換，可以得出：，
再由，結合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根據EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
16．【答案】解：逆命題：兩邊上的高線長相等的三角形是等腰三角形．是真命題．
已知：如圖，BD，CE是△ABC的兩條高線，且BD=CE．
求證：AB=AC．
證明：∵BD，CE是△ABC的兩條高線，
∴∠BDA=∠CEA=90°．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC．
【知識點】真命題與假命題；逆命題；舉反例判斷命題真假
【解析】【分析】根據兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等得出△ABD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等得出AB=AC，即可證明.
17．【答案】（1）證明：由△ABC是等邊三角形，知AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF，
∴△DEF是等邊三角形．
（2）解：成立．逆命題是：若△DEF是等邊三角形，則AD=BE=CF．
∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=EF=DF，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，可得∠ADF+∠AFD=120°．
又∵∠EFC+∠AFD=120°，∴∠ADF=∠EFC，∴△ADF≌△CFE（AAS），
∴AD=CF．同理可證，AD=BE．∴AD=BE=CF．
【知識點】等邊三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；逆命題
【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的三條邊和三個角都相等得出AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，推得BD=CE=AF，根據兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等得出△ADF≌△BED≌△CFE，根據全等三角形的對應邊相等得出DE=EF=DF，根據三條邊相等的三角形是等邊三角形即可證明；
（2）根據等邊三角形的三條邊和三個角都相等得出DE=EF=DF，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，推得∠ADF=∠EFC，根據兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等得出△ADF≌△CFE，根據全等三角形的對應邊相等得出AD=CF，同理得出AD=BE，即可證明.
18．【答案】（1）解：成立，理由：如圖，連接．
在與中，
∵
∴．
∴．
（2）解：補全圖形如圖，
理由：∵
∴點、在線段的垂直平分線上，
即垂直平分；
（3）箏形的面積為48
【知識點】三角形的面積；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】（3）解：面積為：．
故答案為：48
【分析】（1）連接，根據全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
（2）補全圖形，根據垂直平分線的判定定理即可求出答案.
（3）根據題意即可求出答案.
（1）解：成立，
理由：如圖，連接．
在與中，
∵
∴．
∴．
（2）解：補全圖形如圖，
理由：∵
∴點、在線段的垂直平分線上，
即垂直平分；
（3）解：面積為：．
1 / 1浙教版（2024) 數學八年級上冊2.5 逆命題和逆定理 同步分層練習
一、夯實基礎：
1．（2023八上·衢江期中）下列命題的逆命題是假命題的是（　　）
A．兩直線平行，同位角相等；
B．對頂角相等；
C．如果，那么；
D．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
【答案】B
【知識點】真命題與假命題；逆命題
【解析】【解答】解：A. 逆命題為：同位角相等，兩直線平行，是真命題，故選項A不符合題意；
B. 逆命題為：相等的角是對頂角，是假命題，故選項B符合題意；
C. 逆命題為：如果，那么，是真命題，故選項C不符合題意；
D. 到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，是真命題，故選項D不符合題意.
故答案為：B．
【分析】逐項寫出逆命題，然后判定真假即可．
2．（2024八上·浙江期末）“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是（　?。?br/>A．在同一個三角形中，等邊對等角
B．兩個角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形
D．如果一個三角形有兩條邊相等，那么這個三角形是等腰三角形
【答案】C
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形 ”
故答案為：C.
【分析】交換命題的題設和結論，寫出逆命題即可.
3．下列定理中有逆定理的是（　?。?br/>A．對頂角相等
B．全等三角形的對應角相等
C．同角的余角相等
D．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
【答案】D
【知識點】逆定理
【解析】【解答】解：A、對頂角相等的逆命題為：相等的角是對頂角，該逆命題是假命題，故該選項定理沒有逆定理；
B、 全等三角形的對應角相等的逆命題為：對應角相等得兩個三角形全等，該逆命題是假命題，故該選項定理沒有逆定理；
C、同角的余角相等的逆命題為：相等的兩個角是同一個角的余角，該逆命題是假命題，故該選項定理沒有逆定理；
D、 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等的逆命題是：到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，該逆命題是真命題，故該選項定理有逆定理.
故答案為：D.
【分析】一個命題包括題設與結論兩部分，題設一般用如果領起，結論一般用那么領起，將一個命題的題設與結論互換位置即可得出該命題的逆命題，據此找出各個定理的逆命題，再判斷逆命題的真假，當一個定理的逆命題也正確，這個逆命題就是原定理的逆定理，據此逐個解答判斷即可得出答案.
4．（2022八上·鎮海區期中）已知命題“若，則”，下列說法正確的是（　?。?br/>A．它是一個真命題
B．它是一個假命題，反例
C．它是一個假命題，反例
D．它是一個假命題，反制
【答案】B
【知識點】真命題與假命題；逆命題
【解析】【解答】解：A.若，則，說法錯誤，是一個假命題；
B.是一個假命題，反例：能確定原命題是個假命題，故正確；
C.是一個假命題，反例：不能確定原命題是個假命題，故錯誤；
D.是一個假命題，反例：不能確定原命題是個假命題，故錯誤；
故答案為：B.
【分析】利用特殊值進行判斷即可.
5．（2021八上·東陽期末）在△ABC紙片上有一點P，且PA＝PB，則P點一定（　　）
A．是邊AB的中點 B．在邊AB的垂直平分線上
C．在邊AB的高線上 D．在邊AB的中線上
【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的判定
【解析】【解答】解：∵PA=PB，
∴P點一定在邊AB的垂直平分線上，
故答案為：B.
【分析】根據線段的垂直平分線的判定“到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”可判斷求解.
6．（2016八上·嵊州期末）命題“兩直線平行，同位角相等．”的逆命題是　 ?。?br/>【答案】同位角相等，兩直線平行
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：∵原命題的條件為：兩直線平行，結論為：同位角相等．
∴其逆命題為：同位角相等，兩直線平行．
【分析】將原命題的條件與結論互換即得到其逆命題．
7．（2024八上·路橋期中）如圖，一形狀為四邊形的風箏四邊形中，已知，，則此風箏的骨架與即四邊形的兩對角線有怎樣的關系？答：　 ?。?br/>【答案】垂直平分
【知識點】線段垂直平分線的判定
【解析】【解答】解：垂直平分，理由如下：
，
∴點D在線段AC的垂直平分線上，
∵，
∴點B在線段AC的垂直平分線上，
垂直平分，
故答案為：垂直平分．
【分析】根據，，可得點D和E都在線段AC的垂直平分線上，繼而可得垂直平分．
8．（2024八上·黃浦期末）勾股定理的逆命題是（寫成“如果…那么”的形式）　 ?。?br/>【答案】如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個三角形為直角三角形
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：勾股定理的逆命題是：如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個三角形為直角三角形．
故答案為：如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個三角形為直角三角形．
【分析】利用命題的定義及逆命題的定義和書寫方法分析求解即可.
9．（2024八上·余杭期中）"內錯角相等，兩直線平行"的逆命題是　 　，該命題是　 ?。ㄌ?真"或"假"）命題。
【答案】兩直線平行，內錯角相等；真
【知識點】真命題與假命題；逆命題
【解析】【解答】解："內錯角相等，兩直線平行"的逆命題是：兩直線平行，內錯角相等，該命題為真命題.
故答案為：兩直線平行，內錯角相等，真.
【分析】根據把一個命題的題設和結論交換位置得到的命題即為原命題的逆命題，據此即可求解.
10．（2023八上·沭陽月考）如圖，與相交于點，，，．
求證：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）證明：在與中，
，
∴，
∴．
（2）證明：由（1）得，
∴，
∴點O在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點E在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分．
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；線段垂直平分線的判定
【解析】【分析】（1）根據全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
（2）根據全等三角形性質可得，再根據垂直平分線判定定理即可求出答案.
（1）證明：在與中，
，
∴，
∴．
（2）證明：由（1）得，
∴，
∴點O在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點E在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分．
二、能力提升：
11．（2024八上·浙江期中）下列說法中不正確的是（　?。?br/>A．“三邊對應相等的兩個三角形全等”是基本事實，所以沒有逆命題
B．“若a＝b，則-2a＝-2b”的逆命題是“若-2a＝-2b，則a＝b”
C．“兩個全等三角形的周長相等”的逆命題是“周長相等的兩個三角形全等”
D．“全等三角形的對應角相等”的逆命題是“三角對應相等的兩個三角形全等”
【答案】A
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：A、“三邊對應相等的兩個三角形全等”逆命題為“兩個三角形全等，三邊對應相等”A錯誤；
BCD逆命題的說法均正確；
故答案為：A.
【分析】任何命題都有逆命題，把原命題的條件和結論互換，即可得到逆命題.
12．（2024八上·諸暨月考）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中，，小明在探究箏形的性質時，連結了AC，BD，并設交點為O，得到了如下結論，其中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】線段垂直平分線的性質；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴A，B正確；
∵，
∴，
∴C正確；
不能確定之間的關系，
∴D不正確．
故選：D．
【分析】先證明是的垂直平分線，可判斷A，B；再根據“SSS”證明C；能否確定三者之間的關系判斷D．
13．（2024八上·湖南期末）已知命題；若，則；若，則；兩個全等的三角形的面積相等；三條邊對應相等的兩個三角形全等上述命題的逆命題為真命題的個數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】真命題與假命題；逆命題
【解析】【解答】①∵命題“若，則”的逆命題是“若，則”是假命題，∴①不符合題意；
②∵命題“若，則”的逆命題是“若，則”是真命題，∴②符合題意；
③∵命題“兩個全等的三角形的面積相等”的逆命題是“如果兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形是全等三角形”是假命題，∴③不符合題意；
④∵三條邊對應相等的兩個三角形全等”的逆命題是“如果兩個三角形全等，則這兩個三角形的對應邊相等”是真命題，∴④符合題意；
綜上，符合題意是②④，共2個，
故答案為：C.
【分析】先求出每個命題的逆命題，再利用真命題的定義逐項分析判斷即可.
14．（2024八上·寧波競賽） 如圖， 中， ， ， ，則 　 　度.
【答案】93
【知識點】線段垂直平分線的判定；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：在DC上截取DE= BD， 連接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直分線，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB=58°，
∵∠AEB是△ACE的一個外角，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=58°，
∵AB+BD=CD， DE+CE=CD，
∴AB=CE，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE=29°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=93°，
故答案為： 93.
【分析】在DC上截取DE=BD， 連接AE， 根據已知易得AD是BE的垂直分線， 從而可得AB= AE， 然后利用等腰三角形的性質可得∠B=∠AEB=58°， 再利用三角形的外角性質可得∠C+∠CAE=58°，最后根據已知和線段的和差關系可得AB=CE，從而可得AE=CE， 進而可得∠C=∠CAE=29°， 再利用三角形的內角和定理進行計算，即可解答.
15．（2024八上·海曙開學考）如圖所示，已知平分，于點E，，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有　 　（把正確結論的序號填寫在橫線上）．
【答案】①②③④
【知識點】線段垂直平分線的性質；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念
【解析】【解答】解：如圖，在上取點使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分線
∴
∴
∴③正確
∵
∴①正確
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正確
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正確
綜上：①②③④均正確
故答案為：①②③④．
【分析】，得出：在上取點使，根據SAS證明：，得出，，再根據，證明出CE是BF的垂直平分線，因而可以得到：，再根據等量代換，得出，再根據等量代換，可以得出：，
再由，結合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根據EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
16．說出“等腰三角形兩腰上的高線長相等”的逆命題.這個逆命題是真命題嗎 證明你的判斷.
【答案】解：逆命題：兩邊上的高線長相等的三角形是等腰三角形．是真命題．
已知：如圖，BD，CE是△ABC的兩條高線，且BD=CE．
求證：AB=AC．
證明：∵BD，CE是△ABC的兩條高線，
∴∠BDA=∠CEA=90°．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC．
【知識點】真命題與假命題；逆命題；舉反例判斷命題真假
【解析】【分析】根據兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等得出△ABD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等得出AB=AC，即可證明.
17．如圖，△ABC是等邊三角形.
（1）若AD=BE=CF，求證：△DEF是等邊三角形.
（2）第(1)題的逆命題成立嗎 若成立，請證明；若不成立，請舉反例加以說明.
【答案】（1）證明：由△ABC是等邊三角形，知AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF，
∴△DEF是等邊三角形．
（2）解：成立．逆命題是：若△DEF是等邊三角形，則AD=BE=CF．
∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=EF=DF，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，可得∠ADF+∠AFD=120°．
又∵∠EFC+∠AFD=120°，∴∠ADF=∠EFC，∴△ADF≌△CFE（AAS），
∴AD=CF．同理可證，AD=BE．∴AD=BE=CF．
【知識點】等邊三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；逆命題
【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的三條邊和三個角都相等得出AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，推得BD=CE=AF，根據兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等得出△ADF≌△BED≌△CFE，根據全等三角形的對應邊相等得出DE=EF=DF，根據三條邊相等的三角形是等邊三角形即可證明；
（2）根據等邊三角形的三條邊和三個角都相等得出DE=EF=DF，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，推得∠ADF=∠EFC，根據兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等得出△ADF≌△CFE，根據全等三角形的對應邊相等得出AD=CF，同理得出AD=BE，即可證明.
三、拓展創新：
18．（2022八上·順平期中）數學活動：利用全等三角形研究“箏形”的特征．
認識圖形：如圖，四邊形中，．像這樣，兩條鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．
（1）研究特征：琪琪猜想箏形的對角與相等，他的結論成立嗎？說明理由．
（2）嘉嘉連接箏形的對角線、后發現垂直平分，請你補全圖形，并幫她說明理由．
（3）拓展應用：在箏形中，對角線長為8，長為12，請直接寫出此箏形的面積．
【答案】（1）解：成立，理由：如圖，連接．
在與中，
∵
∴．
∴．
（2）解：補全圖形如圖，
理由：∵
∴點、在線段的垂直平分線上，
即垂直平分；
（3）箏形的面積為48
【知識點】三角形的面積；線段垂直平分線的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】（3）解：面積為：．
故答案為：48
【分析】（1）連接，根據全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
（2）補全圖形，根據垂直平分線的判定定理即可求出答案.
（3）根據題意即可求出答案.
（1）解：成立，
理由：如圖，連接．
在與中，
∵
∴．
∴．
（2）解：補全圖形如圖，
理由：∵
∴點、在線段的垂直平分線上，
即垂直平分；
（3）解：面積為：．
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