資源簡介

廣東省深圳市深圳外國語學校2024—2025學年八年級上學期期中考試數學試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1．（2024八上·深圳期中）如果電影票上的“3排1號”記作，那么表示（　　）
A．3排5號 B．5排3號 C．4排3號 D．3排4號
2．（2024八上·深圳期中）一個三角形，其中有兩個角分別是和，第三個角是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·深圳期中）若是關于、的方程的一個解，則的值是（　　）
A．4 B． C．8 D．
4．（2024八上·深圳期中）如圖，小手蓋住的點的坐標可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·深圳期中）下列命題中是假命題的是（　　）
A．平行于同一條直線的兩直線互相平行
B．對頂角相等
C．同角的補角相等
D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
6．（2024八上·深圳期中）光從空氣斜射入水中，傳播方向會發生變化．如圖，表示水面的直線與表示水底的直線平行，光線從空氣射入水中，改變方向后射到水底G處，是的延長線，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·深圳期中）關于一次函數，下列說法正確的是（　　）
A．圖象過點
B．其圖象可由的圖象向下平移2個單位長度得到
C．隨著的增大而增大
D．圖象經過第一、二、四象限
8．（2024八上·深圳期中）“五一節”期間，數學老師一家自駕游去了離家170千米的某地，下面是他們離家的距離y（千米）與汽車行駛時間x（小時）之間的函數圖象．他們出發2.2小時時，離目的地還有（　　）千米．
A．12 B．24 C．146 D．164
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2024八上·深圳期中）如圖，點在的邊的延長線上，若，，則的大小為　 　．
10．（2024八上·深圳期中）若函數是關于的一次函數，則　 　．
11．（2024八上·深圳期中）已知一次函數與（k是常數）的圖象的交點坐標是，則方程組的解是　 　．
12．（2024八上·深圳期中）用四張形狀、大小完全相同的小長方形紙片在平面直角坐標系中擺成如圖所示圖案，若點，則點的坐標是　 　．
13．（2024八上·深圳期中）定義：在平面直角坐標系中，如果直線上的點經過一次變換后得到點，那么稱這次變換為“逆倍分變換”．直線與軸、軸分別相交于點，，點為該直線上一點，若經過一次“逆倍分變換”后，得到的對應點使得和的面積相等，則點的坐標為　 　．
三、解答題（共7小題，其中第14題10分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題8分，第19題8分，第20題12分，共61分）
14．（2024八上·深圳期中）解下列方程（組）：
（1）（用代入消元法解）；
（2）（用加減消元法解）．
15．（2024八上·深圳期中）在下面的正方形網格圖中，標明了學校附近的一些地方，其中每一個小正方形網格的邊長代表1個單位長度．在圖中以正東和正北方向分別為軸，軸正方向，建立平面直角坐標系．若學校的坐標為，體育館的坐標為．
（1）坐標原點所在的位置為___________；
（2）請在圖中畫出這個平面直角坐標系；
（3）超市所在位置的坐標為___________．
16．（2024八上·深圳期中）如圖，中，D是上一點，過D作交于E點，F是上一點，連接．若．
（1）求證：．
（2）若，平分，求的度數．
17．（2024八上·深圳期中）為打造集休閑娛樂、健身運動、觀光旅游、體驗自然等于一體的多功能活動區域．深圳灣公園海濱步道現有一段長350米的河邊道路需整治，任務由，兩個工程隊先后接力完成，工程隊每天整治15米，工程隊每天整治10米，共用時30天．
根據題意，甲、乙兩位同學分別列出了如下不完整的方程組：
甲：乙：
從甲、乙兩位同學所列方程組中任選一組，補全以下解題過程，并利用此方程組求出，兩個工程隊分別整治河邊道路多少米．
解：選擇的方程組為____________（填“甲”或“乙”） 設為_______________________； 為_________________________．
18．（2024八上·深圳期中）綜合與實踐
　 生活中的數學：古代計時器“漏壺”
問題情境 某小組同學根據“漏壺”的原理制作了如圖1所示的液體漏壺，該漏壺是由一個圓錐和一個圓柱組成的，中間連通，液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，實驗開始時圓柱容器中已有一部分液體．
實驗觀察 下表是實驗記錄的圓柱容器液面高度（cm）與時間（h）的數據 時間（h）12345圓柱容器液面高度（cm）610141822
根據上述的實踐活動，解決以下問題：
（1）【探索發現】請你根據表中的數據在圖2中描點、連線，用所學過的一次函數的知識求出與之間的函數表達式；
（2）【結論應用】如果本次實驗記錄開始時間是上午7：00，當時間為下午13：00時，圓柱容器液面高度達到了多少厘米？
19．（2024八上·深圳期中）對于實數，定義兩種新運算“※”和“*”：，（其中為常數，且），若對于平面直角坐標系中的點，有點的坐標與之對應，則稱點的“衍生點”為點．例如：的“2衍生點”為，即．
（1）點的“3衍生點”的坐標為_______________；
（2）若點的“5的衍生點”的坐標為，求點的坐標；
（3）若點的“的衍生點”為點，且直線平行于軸，線段的長度與線段長度相等，求的值．
20．（2024八上·深圳期中）材料：如圖所示，、、三點在同一條直線上，，，，則有．
（1）【小試牛刀】如圖1，在平面直角坐標系中，且，，點、按順時針順序排列，則點坐標為_____________；
（2）【深入探究】如圖2，點，分別在軸、軸上，，點在軸負半軸上，連接，作且，連交軸于，請猜想線段與線段的數量關系并進行證明；
（3）【拓展提升】如圖3，，軸，在直線上有一動點，連接并在軸上方作且，連接點與點的線段平行于軸，連接交坐標軸于點，當時，直接寫出點的坐標．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】有序數對
【解析】【解答】解：“3排1號”記作，
表示4排3號．
故答案為：C．
【分析】
根據“3排1號”記作可知橫坐標表示排，縱坐標表示號，求解即可解答．
2．【答案】A
【知識點】角的運算；三角形內角和定理
【解析】【解答】解：∵一個三角形，其中有兩個角分別是和，
∴ 這個三角形的第三個角是，
故答案為：A．
【分析】
根據三角形的內角和定理“三角形三個內角的和等于”，計算即可解答．
3．【答案】A
【知識點】解一元一次方程；二元一次方程的解；已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：是關于、的方程的一個解，
，
解得：，
故答案為：A．
【分析】
根據二元一次方程的解，把代入，再解關于的方程即可解答．
4．【答案】C
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：小手在第一象限，第一象限內點的橫坐標大于0，縱坐標小于0，故小手蓋住的點的坐標可能是，
故答案為：C．
【分析】
根據點的坐標特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，結合小手在第一象限，即可解答．
5．【答案】D
【知識點】平行公理及推論；對頂角及其性質；同位角的概念；真命題與假命題
【解析】【解答】解：A中，平行于同一條直線的兩直線互相平行是真命題，故A不符合題意；
B中，對頂角相等是真命題，故該B不符合題意；
C中，同角的補角相等是真命題，故C不符合題意；
D中，兩條直線平行，同位角相等，故兩條直線被第三條直線所截，同位角相等是假命題，故D符合題意；
故選：D．
【分析】本題考查了命題的真假，根據平行線的性質，可判定A、D項；根據對頂角的定義，可判定B項 ；根據同角的補角相等，可判定C項，即可得到答案.
6．【答案】A
【知識點】角的運算；平行線的性質；補角；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案為：A．
【分析】
根據，得出，從而得出，即可解答．
7．【答案】D
【知識點】一次函數的圖象；一次函數的性質；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：A、∵當時，，∴圖象不經過點，此選項不符合題意；
B、∵的圖象向下平移2個單位長度，∴得到函數的解析式為，此選項不符合題意；
C、∵，∴隨的增大而減小，此選項不符合題意；
D、∵k=-3＜0，∴直線經過二、四象限，∵b=2＞0，∴直線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴直線圖象經過一、二、四象限，此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】A、由題意，把點（1，1）代入一次函數的解析式計算即可判斷求解；
B、根據直線平移的性質計算即可求解；
C、根據一次函數的性質“當k＜0時，y隨x的增大而減小”即可判斷求解；
D、根據一次函數的性質“當k＜0時，直線經過二、四象限，b＞0時，直線與y軸的交點在y軸的正半軸”即可判斷求解．
8．【答案】B
【知識點】解二元一次方程組；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：設段圖象的函數表達式為，
函數圖象經過點，，
，
解得，
，
當時，，
千米．
故答案為：B．
【分析】
設段圖象的函數表達式為，利用待定系數法把，代入計算求出函數表達式，再把代入進行計算求出行駛的路程，再用全程減去行駛的路程計算即可解答．
9．【答案】
【知識點】三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：，
又，，
，
故答案為：．
【分析】根據三角形外角的性質即可求出答案.
10．【答案】3
【知識點】一次函數的概念
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
【分析】根據一次函數的定義即可求出答案.
11．【答案】
【知識點】一次函數與二元一次方程（組）的關系
【解析】【解答】解：∵一次函數與（k是常數）的圖象的交點坐標是，
∴方程組的解是．
故答案為：．
【分析】根據一次函數與方程組的關系可得，兩一次函數圖象交點坐標就是兩一次函數解析式組成方程組的解，據此求解即可.
12．【答案】
【知識點】解二元一次方程；點的坐標；坐標與圖形性質；二元一次方程組的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設小長方形紙片的長為，寬為，
根據題意得：，
解得：，
，
點的坐標為．
故答案為：．
【分析】
設小長方形紙片的長為，寬為，根據點的坐標，可列出關于，的二元一次方程組，計算可得出，的值，再結合點的位置，即可求出點的坐標，解答即可．
13．【答案】或
【知識點】解一元一次方程；點的坐標；平行線之間的距離；一次函數的實際應用-幾何問題；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：如圖，和的面積相等，
在過且平行于的直線上或在上方平行于，且該直線到直線的距離等于直線到過點且平行于的直線的距離．
所在直線為或（根據平移到直線的方式與直線平移到直線的平移方式相同得到）．
故可設為或．
為或．
又∵在上，
或．
或．
或．
故答案為：或．
【分析】
根據題意，和的面積相等，畫出圖象可得在過且平行于的直線上或在上方4個單位且平行于，故所在直線為或，進而可設為為或，則為或．再由在上，建立方程求出即可解答．
14．【答案】（1）解：，
由②得③，
把③代入①得，
解得：，
把代入②得，
方程組的解為；
（2）解：，
②①得，
解得，
把代入②得，
解得，
方程組的解為．

【知識點】代入消元法解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】
（1）由得，將其代入即可得關于y的一元一次方程，進而可得，再將代入可得x，解答即可；
（2）將整體乘2，再減去即可消去x，解得y，再將y代入任一方程即可得x，解答即可．
（1）解：，
由②得③，
把③代入①得，
解得：，
把代入②得，
方程組的解為；
（2），
解：②①得，
解得，
把代入②得，
解得，
方程組的解為．
15．【答案】（1）醫院
（2）解：如圖所示：
（3）
【知識點】點的坐標；用坐標表示地理位置
【解析】【解答】解：（1）坐標原點所在的位置為醫院．
故答案為：醫院
（3）由坐標系可得出：超市所在位置的坐標為，
故答案為：．
【分析】
（1）根據學校的坐標為，體育館的坐標為即可確定坐標原點的位置，解答即可；
（2）根據坐標原點，建立平面直角坐標系即可解答；
（3）根據坐標系即可得出超市所在位置的坐標，解答即可．
（1）解：坐標原點所在的位置為醫院．
（2）解：如圖所示：
（3）解：由坐標系可得出：超市所在位置的坐標為，
故答案為：．
16．【答案】（1）證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，
∵，
∴．
答：的度數為．
【知識點】平行線的判定與性質；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【分析】
（1）根據，得出，又因為，等量代換得，最后根據同位角相等，兩直線平行即可解答；
（2）根據，得出，再根據平分，得出，最后在中利用三角形內角和等于即可解答．
（1）證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，
∵，
∴．
答：的度數為．
17．【答案】解：選擇的方程組為甲，
設為工程隊工作的天數；
為工程隊工作的天數．
根據提意得，
解此方程組得，
，，
答：，兩個工程隊分別整治河邊道路150米和200米；
選擇的方程組為乙，
設為工程隊整治河邊道路長度；
為工程隊整治河邊道路長度．
根據提意得，
解此方程組得，
答：，兩個工程隊分別整治河邊道路150米和200米；
【知識點】解二元一次方程；二元一次方程組的實際應用-工程問題
【解析】【分析】
設為工程隊工作的天數；為工程隊工作的天數．根據“兩個工程隊總共完成350米，共用時30天”分別列方程，計算即可解答．
18．【答案】（1）解：描出各點，再連線，如圖所示．
由圖象可知該函數是一次函數，設該函數的表達式為．
點，在該函數圖象上，
，
解得，
與之間的函數表達式為；
（2）解：從開始時間是上午7：00到下午13：00，經過，即，
∴，
答：當時間為下午13：00時，圓柱容器液面高度達到了26厘米．
【知識點】函數值；一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【分析】
（1）結合表格畫一次函數圖象即可，再利用待定系數法求函數解析式，求解即可；
（2）將代入（1）所求解析式，求出y的值即可解答．
（1）解：描出各點，再連線，如圖所示．
由圖象可知該函數是一次函數，設該函數的表達式為．
點，在該函數圖象上，
，
解得，
與之間的函數表達式為；
（2）解：從開始時間是上午7：00到下午13：00，經過，即，
∴，
答：當時間為下午13：00時，圓柱容器液面高度達到了26厘米．
19．【答案】（1）
（2）解：設，
依題意，得方程組：
，
解得．
點；
（3）解：設，則的坐標為，
平行于軸，
，
即，
又，
，
點的坐標為，點的坐標為，
線段的長度為，
線段的長為，
根據題意，有，
．
．
的值為1和．
【知識點】解二元一次方程；點的坐標；坐標與圖形性質
【解析】【解答】解：（1）點的“3衍生點”的坐標為，即；
故答案為：
【分析】
（1）根據新定義求出結果即可解答；
（2）設，根據題意列出方程組，解方程組即可解答；
（3）設，則的坐標為，根據平行y軸的直線橫坐標相等，得出，求出，得出，從而得出點的坐標為，點的坐標為，根據，得出，求出即可解答．
（1）解：點的“3衍生點”的坐標為，即；
（2）解：設，
依題意，得方程組：
，
解得．
點；
（3）解：設，則的坐標為，
平行于軸，
，
即，
又，
，
點的坐標為，點的坐標為，
線段的長度為，
線段的長為，
根據題意，有，
．
．
的值為1和．
20．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
過點作于點，
同（1）可證：，
，，
，
，
，
又，，，
，
，
，
；
（3）或
【知識點】二次根式的混合運算；待定系數法求一次函數解析式；三角形全等的判定-ASA；同側一線三垂直全等模型；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：（1）過點作軸于，過作于點，
，，
∵，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，，
，即，
故答案為：；
（3）設與軸交于點，
∵連接點與點的線段平行于軸，
∴，，
∵，軸，設，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
①位于軸上，連接交坐標軸于點，，則，
∴，
∴，
設直線解析式為，
代入，，得，
解得，
∴；
同理②位于軸上，設，則，
∴，
∴，
設直線解析式為，
把，，代入解得，
∴，
綜上所述，或．
故答案為：或
【分析】
（1）過點作軸，則軸，過點作于點，證明，根據全等三角形的性質可得結論，解答即可；
（2）過點作于點，同（1）可證：，得到，，即可得到，再證明，得到，解答即可；
（3）設與軸交于點，，先證明，得到，再根據位于軸上，則，，得到，最后根據，，都在直線上求出，得到；同理位于軸上，求出另一個點，解答即可．
（1）解：過點作軸于，過作于點，
，，
∵，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，，
，即，
故答案為：；
（2）解：，理由如下：
過點作于點，
同（1）可證：，
，，
，
，
，
又，，，
，
，
，
；
（3）解：設與軸交于點，
∵連接點與點的線段平行于軸，
∴，，
∵，軸，設，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
①位于軸上，連接交坐標軸于點，，則，
∴，
∴，
設直線解析式為，
代入，，得，
解得，
∴；
同理②位于軸上，設，則，
∴，
∴，
設直線解析式為，
把，，代入解得，
∴，
綜上所述，或．
1 / 1廣東省深圳市深圳外國語學校2024—2025學年八年級上學期期中考試數學試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1．（2024八上·深圳期中）如果電影票上的“3排1號”記作，那么表示（　　）
A．3排5號 B．5排3號 C．4排3號 D．3排4號
【答案】C
【知識點】有序數對
【解析】【解答】解：“3排1號”記作，
表示4排3號．
故答案為：C．
【分析】
根據“3排1號”記作可知橫坐標表示排，縱坐標表示號，求解即可解答．
2．（2024八上·深圳期中）一個三角形，其中有兩個角分別是和，第三個角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】角的運算；三角形內角和定理
【解析】【解答】解：∵一個三角形，其中有兩個角分別是和，
∴ 這個三角形的第三個角是，
故答案為：A．
【分析】
根據三角形的內角和定理“三角形三個內角的和等于”，計算即可解答．
3．（2024八上·深圳期中）若是關于、的方程的一個解，則的值是（　　）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【知識點】解一元一次方程；二元一次方程的解；已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：是關于、的方程的一個解，
，
解得：，
故答案為：A．
【分析】
根據二元一次方程的解，把代入，再解關于的方程即可解答．
4．（2024八上·深圳期中）如圖，小手蓋住的點的坐標可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：小手在第一象限，第一象限內點的橫坐標大于0，縱坐標小于0，故小手蓋住的點的坐標可能是，
故答案為：C．
【分析】
根據點的坐標特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，結合小手在第一象限，即可解答．
5．（2024八上·深圳期中）下列命題中是假命題的是（　　）
A．平行于同一條直線的兩直線互相平行
B．對頂角相等
C．同角的補角相等
D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
【答案】D
【知識點】平行公理及推論；對頂角及其性質；同位角的概念；真命題與假命題
【解析】【解答】解：A中，平行于同一條直線的兩直線互相平行是真命題，故A不符合題意；
B中，對頂角相等是真命題，故該B不符合題意；
C中，同角的補角相等是真命題，故C不符合題意；
D中，兩條直線平行，同位角相等，故兩條直線被第三條直線所截，同位角相等是假命題，故D符合題意；
故選：D．
【分析】本題考查了命題的真假，根據平行線的性質，可判定A、D項；根據對頂角的定義，可判定B項 ；根據同角的補角相等，可判定C項，即可得到答案.
6．（2024八上·深圳期中）光從空氣斜射入水中，傳播方向會發生變化．如圖，表示水面的直線與表示水底的直線平行，光線從空氣射入水中，改變方向后射到水底G處，是的延長線，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】角的運算；平行線的性質；補角；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案為：A．
【分析】
根據，得出，從而得出，即可解答．
7．（2024八上·深圳期中）關于一次函數，下列說法正確的是（　　）
A．圖象過點
B．其圖象可由的圖象向下平移2個單位長度得到
C．隨著的增大而增大
D．圖象經過第一、二、四象限
【答案】D
【知識點】一次函數的圖象；一次函數的性質；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：A、∵當時，，∴圖象不經過點，此選項不符合題意；
B、∵的圖象向下平移2個單位長度，∴得到函數的解析式為，此選項不符合題意；
C、∵，∴隨的增大而減小，此選項不符合題意；
D、∵k=-3＜0，∴直線經過二、四象限，∵b=2＞0，∴直線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴直線圖象經過一、二、四象限，此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】A、由題意，把點（1，1）代入一次函數的解析式計算即可判斷求解；
B、根據直線平移的性質計算即可求解；
C、根據一次函數的性質“當k＜0時，y隨x的增大而減小”即可判斷求解；
D、根據一次函數的性質“當k＜0時，直線經過二、四象限，b＞0時，直線與y軸的交點在y軸的正半軸”即可判斷求解．
8．（2024八上·深圳期中）“五一節”期間，數學老師一家自駕游去了離家170千米的某地，下面是他們離家的距離y（千米）與汽車行駛時間x（小時）之間的函數圖象．他們出發2.2小時時，離目的地還有（　　）千米．
A．12 B．24 C．146 D．164
【答案】B
【知識點】解二元一次方程組；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：設段圖象的函數表達式為，
函數圖象經過點，，
，
解得，
，
當時，，
千米．
故答案為：B．
【分析】
設段圖象的函數表達式為，利用待定系數法把，代入計算求出函數表達式，再把代入進行計算求出行駛的路程，再用全程減去行駛的路程計算即可解答．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
9．（2024八上·深圳期中）如圖，點在的邊的延長線上，若，，則的大小為　 　．
【答案】
【知識點】三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：，
又，，
，
故答案為：．
【分析】根據三角形外角的性質即可求出答案.
10．（2024八上·深圳期中）若函數是關于的一次函數，則　 　．
【答案】3
【知識點】一次函數的概念
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
【分析】根據一次函數的定義即可求出答案.
11．（2024八上·深圳期中）已知一次函數與（k是常數）的圖象的交點坐標是，則方程組的解是　 　．
【答案】
【知識點】一次函數與二元一次方程（組）的關系
【解析】【解答】解：∵一次函數與（k是常數）的圖象的交點坐標是，
∴方程組的解是．
故答案為：．
【分析】根據一次函數與方程組的關系可得，兩一次函數圖象交點坐標就是兩一次函數解析式組成方程組的解，據此求解即可.
12．（2024八上·深圳期中）用四張形狀、大小完全相同的小長方形紙片在平面直角坐標系中擺成如圖所示圖案，若點，則點的坐標是　 　．
【答案】
【知識點】解二元一次方程；點的坐標；坐標與圖形性質；二元一次方程組的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設小長方形紙片的長為，寬為，
根據題意得：，
解得：，
，
點的坐標為．
故答案為：．
【分析】
設小長方形紙片的長為，寬為，根據點的坐標，可列出關于，的二元一次方程組，計算可得出，的值，再結合點的位置，即可求出點的坐標，解答即可．
13．（2024八上·深圳期中）定義：在平面直角坐標系中，如果直線上的點經過一次變換后得到點，那么稱這次變換為“逆倍分變換”．直線與軸、軸分別相交于點，，點為該直線上一點，若經過一次“逆倍分變換”后，得到的對應點使得和的面積相等，則點的坐標為　 　．
【答案】或
【知識點】解一元一次方程；點的坐標；平行線之間的距離；一次函數的實際應用-幾何問題；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：如圖，和的面積相等，
在過且平行于的直線上或在上方平行于，且該直線到直線的距離等于直線到過點且平行于的直線的距離．
所在直線為或（根據平移到直線的方式與直線平移到直線的平移方式相同得到）．
故可設為或．
為或．
又∵在上，
或．
或．
或．
故答案為：或．
【分析】
根據題意，和的面積相等，畫出圖象可得在過且平行于的直線上或在上方4個單位且平行于，故所在直線為或，進而可設為為或，則為或．再由在上，建立方程求出即可解答．
三、解答題（共7小題，其中第14題10分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題8分，第19題8分，第20題12分，共61分）
14．（2024八上·深圳期中）解下列方程（組）：
（1）（用代入消元法解）；
（2）（用加減消元法解）．
【答案】（1）解：，
由②得③，
把③代入①得，
解得：，
把代入②得，
方程組的解為；
（2）解：，
②①得，
解得，
把代入②得，
解得，
方程組的解為．

【知識點】代入消元法解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】
（1）由得，將其代入即可得關于y的一元一次方程，進而可得，再將代入可得x，解答即可；
（2）將整體乘2，再減去即可消去x，解得y，再將y代入任一方程即可得x，解答即可．
（1）解：，
由②得③，
把③代入①得，
解得：，
把代入②得，
方程組的解為；
（2），
解：②①得，
解得，
把代入②得，
解得，
方程組的解為．
15．（2024八上·深圳期中）在下面的正方形網格圖中，標明了學校附近的一些地方，其中每一個小正方形網格的邊長代表1個單位長度．在圖中以正東和正北方向分別為軸，軸正方向，建立平面直角坐標系．若學校的坐標為，體育館的坐標為．
（1）坐標原點所在的位置為___________；
（2）請在圖中畫出這個平面直角坐標系；
（3）超市所在位置的坐標為___________．
【答案】（1）醫院
（2）解：如圖所示：
（3）
【知識點】點的坐標；用坐標表示地理位置
【解析】【解答】解：（1）坐標原點所在的位置為醫院．
故答案為：醫院
（3）由坐標系可得出：超市所在位置的坐標為，
故答案為：．
【分析】
（1）根據學校的坐標為，體育館的坐標為即可確定坐標原點的位置，解答即可；
（2）根據坐標原點，建立平面直角坐標系即可解答；
（3）根據坐標系即可得出超市所在位置的坐標，解答即可．
（1）解：坐標原點所在的位置為醫院．
（2）解：如圖所示：
（3）解：由坐標系可得出：超市所在位置的坐標為，
故答案為：．
16．（2024八上·深圳期中）如圖，中，D是上一點，過D作交于E點，F是上一點，連接．若．
（1）求證：．
（2）若，平分，求的度數．
【答案】（1）證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，
∵，
∴．
答：的度數為．
【知識點】平行線的判定與性質；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【分析】
（1）根據，得出，又因為，等量代換得，最后根據同位角相等，兩直線平行即可解答；
（2）根據，得出，再根據平分，得出，最后在中利用三角形內角和等于即可解答．
（1）證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，
∵，
∴．
答：的度數為．
17．（2024八上·深圳期中）為打造集休閑娛樂、健身運動、觀光旅游、體驗自然等于一體的多功能活動區域．深圳灣公園海濱步道現有一段長350米的河邊道路需整治，任務由，兩個工程隊先后接力完成，工程隊每天整治15米，工程隊每天整治10米，共用時30天．
根據題意，甲、乙兩位同學分別列出了如下不完整的方程組：
甲：乙：
從甲、乙兩位同學所列方程組中任選一組，補全以下解題過程，并利用此方程組求出，兩個工程隊分別整治河邊道路多少米．
解：選擇的方程組為____________（填“甲”或“乙”） 設為_______________________； 為_________________________．
【答案】解：選擇的方程組為甲，
設為工程隊工作的天數；
為工程隊工作的天數．
根據提意得，
解此方程組得，
，，
答：，兩個工程隊分別整治河邊道路150米和200米；
選擇的方程組為乙，
設為工程隊整治河邊道路長度；
為工程隊整治河邊道路長度．
根據提意得，
解此方程組得，
答：，兩個工程隊分別整治河邊道路150米和200米；
【知識點】解二元一次方程；二元一次方程組的實際應用-工程問題
【解析】【分析】
設為工程隊工作的天數；為工程隊工作的天數．根據“兩個工程隊總共完成350米，共用時30天”分別列方程，計算即可解答．
18．（2024八上·深圳期中）綜合與實踐
　 生活中的數學：古代計時器“漏壺”
問題情境 某小組同學根據“漏壺”的原理制作了如圖1所示的液體漏壺，該漏壺是由一個圓錐和一個圓柱組成的，中間連通，液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，實驗開始時圓柱容器中已有一部分液體．
實驗觀察 下表是實驗記錄的圓柱容器液面高度（cm）與時間（h）的數據 時間（h）12345圓柱容器液面高度（cm）610141822
根據上述的實踐活動，解決以下問題：
（1）【探索發現】請你根據表中的數據在圖2中描點、連線，用所學過的一次函數的知識求出與之間的函數表達式；
（2）【結論應用】如果本次實驗記錄開始時間是上午7：00，當時間為下午13：00時，圓柱容器液面高度達到了多少厘米？
【答案】（1）解：描出各點，再連線，如圖所示．
由圖象可知該函數是一次函數，設該函數的表達式為．
點，在該函數圖象上，
，
解得，
與之間的函數表達式為；
（2）解：從開始時間是上午7：00到下午13：00，經過，即，
∴，
答：當時間為下午13：00時，圓柱容器液面高度達到了26厘米．
【知識點】函數值；一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【分析】
（1）結合表格畫一次函數圖象即可，再利用待定系數法求函數解析式，求解即可；
（2）將代入（1）所求解析式，求出y的值即可解答．
（1）解：描出各點，再連線，如圖所示．
由圖象可知該函數是一次函數，設該函數的表達式為．
點，在該函數圖象上，
，
解得，
與之間的函數表達式為；
（2）解：從開始時間是上午7：00到下午13：00，經過，即，
∴，
答：當時間為下午13：00時，圓柱容器液面高度達到了26厘米．
19．（2024八上·深圳期中）對于實數，定義兩種新運算“※”和“*”：，（其中為常數，且），若對于平面直角坐標系中的點，有點的坐標與之對應，則稱點的“衍生點”為點．例如：的“2衍生點”為，即．
（1）點的“3衍生點”的坐標為_______________；
（2）若點的“5的衍生點”的坐標為，求點的坐標；
（3）若點的“的衍生點”為點，且直線平行于軸，線段的長度與線段長度相等，求的值．
【答案】（1）
（2）解：設，
依題意，得方程組：
，
解得．
點；
（3）解：設，則的坐標為，
平行于軸，
，
即，
又，
，
點的坐標為，點的坐標為，
線段的長度為，
線段的長為，
根據題意，有，
．
．
的值為1和．
【知識點】解二元一次方程；點的坐標；坐標與圖形性質
【解析】【解答】解：（1）點的“3衍生點”的坐標為，即；
故答案為：
【分析】
（1）根據新定義求出結果即可解答；
（2）設，根據題意列出方程組，解方程組即可解答；
（3）設，則的坐標為，根據平行y軸的直線橫坐標相等，得出，求出，得出，從而得出點的坐標為，點的坐標為，根據，得出，求出即可解答．
（1）解：點的“3衍生點”的坐標為，即；
（2）解：設，
依題意，得方程組：
，
解得．
點；
（3）解：設，則的坐標為，
平行于軸，
，
即，
又，
，
點的坐標為，點的坐標為，
線段的長度為，
線段的長為，
根據題意，有，
．
．
的值為1和．
20．（2024八上·深圳期中）材料：如圖所示，、、三點在同一條直線上，，，，則有．
（1）【小試牛刀】如圖1，在平面直角坐標系中，且，，點、按順時針順序排列，則點坐標為_____________；
（2）【深入探究】如圖2，點，分別在軸、軸上，，點在軸負半軸上，連接，作且，連交軸于，請猜想線段與線段的數量關系并進行證明；
（3）【拓展提升】如圖3，，軸，在直線上有一動點，連接并在軸上方作且，連接點與點的線段平行于軸，連接交坐標軸于點，當時，直接寫出點的坐標．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
過點作于點，
同（1）可證：，
，，
，
，
，
又，，，
，
，
，
；
（3）或
【知識點】二次根式的混合運算；待定系數法求一次函數解析式；三角形全等的判定-ASA；同側一線三垂直全等模型；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：（1）過點作軸于，過作于點，
，，
∵，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，，
，即，
故答案為：；
（3）設與軸交于點，
∵連接點與點的線段平行于軸，
∴，，
∵，軸，設，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
①位于軸上，連接交坐標軸于點，，則，
∴，
∴，
設直線解析式為，
代入，，得，
解得，
∴；
同理②位于軸上，設，則，
∴，
∴，
設直線解析式為，
把，，代入解得，
∴，
綜上所述，或．
故答案為：或
【分析】
（1）過點作軸，則軸，過點作于點，證明，根據全等三角形的性質可得結論，解答即可；
（2）過點作于點，同（1）可證：，得到，，即可得到，再證明，得到，解答即可；
（3）設與軸交于點，，先證明，得到，再根據位于軸上，則，，得到，最后根據，，都在直線上求出，得到；同理位于軸上，求出另一個點，解答即可．
（1）解：過點作軸于，過作于點，
，，
∵，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，，
，即，
故答案為：；
（2）解：，理由如下：
過點作于點，
同（1）可證：，
，，
，
，
，
又，，，
，
，
，
；
（3）解：設與軸交于點，
∵連接點與點的線段平行于軸，
∴，，
∵，軸，設，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
①位于軸上，連接交坐標軸于點，，則，
∴，
∴，
設直線解析式為，
代入，，得，
解得，
∴；
同理②位于軸上，設，則，
∴，
∴，
設直線解析式為，
把，，代入解得，
∴，
綜上所述，或．
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