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廣東省佛山市順德區第一中學外國語學校2024-2025學年九年級上學期10月數學試題
一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（2025九上·順德月考）如圖，在菱形中，對角線AC、BD的長分別為8cm、6cm，則這個菱形的周長為（　　）
A．10cm B．14cm C．20cm D．28cm
【答案】C
【知識點】勾股定理；菱形的性質
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD對角線AC，BD相交于點O，且AC＝8cm，BD＝6cm，
∴∠AOB＝90°，AO＝4cm，BO＝3cm，
故AB＝＝＝5（cm），
故菱形的周長為：4×5=20（cm），
故答案為：C．
【分析】根據菱形的性質得出AO，BO的長，再根據勾股定理可得AB，再根據菱形周長即可求出答案.
2．（2025九上·順德月考）某公園的人工湖周邊修葺了三條湖畔小徑，如圖小徑MQ，NO恰好互相垂直，小徑MN的中點P與點O被湖隔開，若測得小徑MN的長為1km，則P，O兩點間距離為（　　）
A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km
【答案】A
【知識點】直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：連接OP
∵MO⊥NO
∴∠MON=90°
∵P是MN中點
∴
故答案為：A
【分析】連接OP，根據直角三角形斜邊上的中線性質即可求出答案.
3．（2025九上·順德月考）如圖，中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，若，則的面積為（　　）
A．6 B．12 C．9 D．8
【答案】B
【知識點】相似三角形的判定；三角形的中位線定理；相似三角形的性質-對應面積
【解析】【解答】解：∵點D，E分別是邊AB，AC的中點
∴DE∥BC，，即
∴△ADE∽△ABC
∴，即
∴
故答案為：B
【分析】根據三角形中位線定理可得DE∥BC，，即，再根據相似三角形判定定理可得△ADE∽△ABC，則，代值計算即可求出答案.
4．（2025九上·順德月考）方程 的根的情況是（　　）
A．有兩個相等實數根 B．有兩個不相等實數根
C．沒有實數根 D．無法判斷
【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5＞0，
所以方程有兩個不相等的實數根．
故答案為：B．
【分析】把a=1，b=-3，c=1代入△=b2-4ac進行計算，然后根據計算結果判斷方程根的情況．
5．（2025九上·順德月考）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點O，垂直平分于點E，則的長為（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【分析】根據矩形性質可得，，，再根據垂直平分線性質可得，則，再根據勾股定理即可求出答案.
6．（2025九上·順德月考）若關于的一元二次方程的一個根是，則代數式的值為（　　）
A． B．2023 C． D．2024
【答案】B
【知識點】一元二次方程的根；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵關于的一元二次方程的一個根是，
∴
原式=
故答案為：B.
【分析】將代入原方程得到將待求式化簡即可求解.
7．（2025九上·順德月考）如圖，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是（　　）
A．CA平分 B． C． D．
【答案】C
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC
A：CA平分，則ACD=∠ACB，即∽，A正確
B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正確
C：，不能判斷∽，C錯誤
D：，∽，D正確
故答案為：C
【分析】根據相似三角形判定定理逐項進行判斷即可求出答案.
8．（2025九上·順德月考）如圖，一只松鼠先經過第一道門(A，B或C)，再經過第二道門(D或E)出去，則松鼠走出籠子的路線是“先經過A門，再經過E門”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結果，先經過A門、再經過E門只有1種結果，
所以先經過A門、再經過E門的概率為.
故答案為：.
【分析】根據題意畫出樹狀圖，由圖可知：共有6種等可能的結果，先經過A門、再經過E門只有1種結果，從而根據概率公式即可算出答案.
9．（2025九上·順德月考）如圖，在矩形中，，，點從點出發沿AB以的速度向點移動，一直到達點為止；同時，點從點出發沿邊CD以的速度向點移動.設運動時間為，當時，（　　）
A． B．或4 C．或 D．4
【答案】C
【知識點】勾股定理；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：過點P作PE⊥CD于點E，則PE=BC=6
如圖所示，
當運動時間為t時，AP=3t，DQ=16-2t，EQ=|(16-2t)-3t|=|16-5t|
由題意可得：PQ2=PE2+EQ2
即102=62+(16-5t)2
解得：
故答案為：C
【分析】過點P作PE⊥CD于點E，則PE=BC=6，當運動時間為t時，AP=3t，DQ=16-2t，EQ=|(16-2t)-3t|=|16-5t|，再根據勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2025九上·順德月考）如圖，在中，，，分別以點A、C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線分別交、于點D、E，連接．以下結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；黃金分割；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：，
，
由作法可知，平分，
，，
，
，A選項結論正確；
，
，
，
，B選項結論正確；
是頂角為的等腰三角形，
是黃金三角形，
，
，C選項結論錯誤；
，，
，
，
，D選項結論正確，
故選：C．
【分析】根據等邊對等角及三角形內角和定理可得，再根據角平分線性質可得，，則，根據角之間的關系可判斷A，根據等角對等邊可得，則，可判斷B，根據黃金三角形定義可得，再根據邊之間的關系可判斷C，根據相似三角形判定定理可得，則，即可判定D.
二、填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．（2025九上·順德月考）若，則的值為　 　．
【答案】
【知識點】比例的性質
【解析】【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴a＝1.5b，
∴＝＝，
故答案為．
【分析】本題主要考查比例的性質．已知，依據比例的性質可得2a＝3b，即a＝1.5b，代入式子可求出答案．
12．（2025九上·順德月考）方程的解為　 　．
【答案】，
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由題意得，
解得，，
故答案為：，
【分析】根據題意直接運用因式分解法解一元二次方程即可求解。
13．（2025九上·順德月考）如圖，在正方形的外側作等邊，則的度數為　 　.
【答案】45°
【知識點】三角形內角和定理；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°
∵△ABE為等邊三角形
∴AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°
∴
∴∠BED=∠AEB-∠AED=45°
故答案為：45°
【分析】根據正方形性質可得AB=AD，∠BAD=90°，再根據等邊三角形判定定理可得AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，根據等邊對等角及三角形內角和定理可得，再根據角之間的關系即可求出答案.
14．（2025九上·順德月考）在平面直角坐標系中，點P（m，n）是線段AB上一點，以原點O為位似中心把AOB放大到原來的2倍，則點P的對應點的坐標為　 　．
【答案】（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
【知識點】位似變換
【解析】【解答】解：點P（m，n）是線段AB上一點，以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，
則點P的對應點的坐標為（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故答案為：（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）．
【分析】根據位似圖形的性質求解即可。
15．（2025九上·順德月考）如圖，點E在正方形的對角線上，于點F，連接并延長，交邊于點M，交邊的延長線于點G，若，，則　 　 ．
【答案】
【知識點】勾股定理；正方形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：∵是正方形，，
∴，而，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵M為中點，
∴
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：．
故答案為：．
【分析】根據正方形性質可得，再根據相似三角形判定定理可得，則，即，，再根據相似三角形判定定理可得，則，即，再根據勾股定理即可求出答案.
三、解答題（共9小題，滿分75分）
16．（2025九上·順德月考）用合適的方法解下列方程：
（1）；
（2）關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，求的值.
【答案】（1）解：
移項可得，
∴(x-3)(x-1)=0
∴x-3=0或x-1=0
解得：x=3或x=1
（2）解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根
∴
解得：
【知識點】因式分解法解一元二次方程；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【分析】（1）移項，提公因式，再根據因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根據二次方程有兩個相等的實數根，則判別式，解方程即可求出答案.
17．（2025九上·順德月考）如圖，在中，，D是BC的中點，過點作，使，連接BE.求證：四邊形是矩形.
【答案】證明：∵，
∴四邊形AEBD是平行四邊形
∵，D是BC的中點
∴AD⊥BC
∴四邊形AEBD是矩形
【知識點】等腰三角形的性質；平行四邊形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根據平行四邊形判定定理可得四邊形AEBD是平行四邊形，再根據等腰三角形性質可得AD⊥BC，再根據矩形判定定理即可求出答案.
18．（2025九上·順德月考）學習相似三角形相關知識后，善于思考的小明和小穎兩位同學想通過所學計算橋AF的長.如圖，該橋兩側河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得.經測量，米，米，且點E到河岸BC的距離為60米.已知于點F，請你根據提供的數據，幫助他們計算橋AF的長度.
【答案】解：過點E作EG⊥BC于點G
∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
∴
∴
∵AF⊥BC，EG⊥BC
∴AF∥EG
∴△ACF∽△ECG
∴，即
解得：AF=90
∴橋AF的長度為90米
【知識點】平行線的判定與性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】過點E作EG⊥BC于點G，根據相似三角形判定定理可得△ABC∽△ADE，則，即，再根據直線平行判定定理可得AF∥EG，再根據相似三角形判定定理可得△ACF∽△ECG，則，代值計算即可求出答案.
19．（2025九上·順德月考）王老師將1個黑球和若干個白球放入一個不透明的口袋并攪勻，讓若干學生進行摸球試驗，每次摸出一個球（有放回），下表是活動進行中的一組統計數據.
摸球的次數n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次數m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的頻率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 ____
（1）補全表中的有關數據，再根據上表數據估計從袋中摸出一個球是黑球的概率是　 　.（保留2位小數）；
（2）估計袋中白球的個數；
（3）在（2）的條件下，若小強同學有放回地連續兩次摸球，用畫樹狀圖或列表的方法計算他兩次都摸出白球的概率.
【答案】（1）0.25
（2）解：設袋子中白球的個數為x
由題意可得：
解得：x=3
∴袋中白球的個數為3
（3）解：畫出樹狀圖
∴共有16種等可能的結果，兩次都摸出白球的有9種
∴兩次都摸出白球的概率為
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：（1）由題意可得：
251÷1000≈0.25
∴從袋中摸出一個球是黑球的概率是0.25
故答案為：0.25
【分析】（1）根據表格公式即可求出答案.
（2）設袋子中白球的個數為x，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果，再求出兩次都摸出白球的結果，再根據概率公式即可求出答案.
20．（2025九上·順德月考）如圖，在中，，D，E分別是AB，BC的中點，，.
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）連接DF交BC于點M，連接CD，若，，求DM，CD的長.
【答案】（1）證明：∵，
∴四邊形BDEF為平行四邊形
∵，D，E分別是AB，BC的中點
∴
∴DE=BD
∴四邊形是菱形
（2）解：如圖
∵四邊形BDEF是菱形，BE=4
∴BE⊥DF，BM=ME=2
∵D，E分別是AB，BC的中點
∴
∴
∵BE=CE=4
∴MC=6
∴
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的判定與性質；三角形的中位線定理
【解析】【分析】（1）根據平行四邊形判定定理可得四邊形BDEF為平行四邊形，再跟據三角形中位線定理及線段中點可得，則DE=BD，再根據菱形判定定理即可求出答案.
（2）根據菱形性質可得BE⊥DF，BM=ME=2，再根據三角形中位線定理可得，根據勾股定理即可求出答案.
21．（2025九上·順德月考）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網格，圖中的點A、B、C、D均在格點上.
（1）在圖1中，　 　；
（2）利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.
①如圖2，在AB上找一點，使；
②如圖3，過點畫BC的平行線PG.
【答案】（1）1：2
（2）解：①如圖所示，點P即為所求
②如圖所示，PG即為所求
【知識點】相似三角形的判定；作圖-平行線；尺規作圖-線段的和差；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：由題意可得：
AB=2，CD=1，AB∥CD
∴△ABP∽△DCP
∴PC：PB=CD：AB=1：2
故答案為：1：2
【分析】（1）由題意可得：AB=2，CD=1，AB∥CD，根據相似三角形判定定理可得△ABP∽△DCP，則PC：PB=CD：AB=1：2，即可求出答案.
（2）①根據線段之間的關系作圖即可.
②根據直線平行性質作圖即可.
22．（2025九上·順德月考）根據以下素材，完成探索任務.
深索果園土地規劃和銷售利潤問題
素材1 某農戶承包了一塊長方形果園，圖1是果園的平面圖，其中米，米.準備在它的四周鋪設道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米，中間部分種植水果，出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度x不超過12米，且不小于5米.
素材2 該農戶發現某一種草莓銷售前景比較不錯，經市場調查，草莓培育一年可產果，若每平方米的草莓銷售平均利潤為100元，每月可銷售5000平方米的草莓；受天氣原因，農戶為了快速將草莓出手，決定降價，若每平方米草莓平均利潤下調4元，每月可多銷售500平方米草莓，果園每月的承包費為2萬元.
（1）【任務一：解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響.】
①請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍.
②若中間種植的面積是，則路面設置的寬度是否符合要求.
（2）【任務二：解決果園種植的預期利潤問題.（總利潤=銷售利潤-承包費）】若農戶預期一個月的總利潤為55.2萬元，則從讓利購買草莓的客戶角度考慮，每平方米草莓平均利潤應該降價多少元？
【答案】（1）解：①5≤x≤12
②由題意可得：
(300-2x)(200-2×2x)=44800
解得：x=10或x=190(舍去)
∵5≤x≤12
∴路面設置的寬度符合要求
（2）解：設每平方米草莓平均利潤下調y元
由題意可得：
解得：y=12或y=48
∵利購買草莓的客戶角度考慮
∴y=48
∴每平方米草莓平均利潤下調48元
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：（1）①由題意可得：5≤x≤12
故答案為：5≤x≤12
【分析】（1）①根據題意即可求出答案.
②根據題意建立方程，解方程，再比較大小即可求出答案.
（2）設每平方米草莓平均利潤下調y元，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025九上·順德月考）
（1）【發現】如圖1，正方形的邊長為4，點為BC中點.連接AE.將繞點順時針旋轉90°至，連接EF交AD于點.愛思考的小明做了這樣的輔助線，過點作，交AD于點……請沿著小明的思路思考下去，則　 　；
（2）【應用】如圖2，菱形的邊長為3，且，連接BD，點為BD上一點，連接AE.將繞點順時針旋轉60°至，連接EF交AD于點，若，求的值：
（3）【拓展】如圖3，在四邊形中，，且，，點為BC上一點，連接AE.將繞點順時針施轉120°至，連接EF交AD于點G，，請求BE的長.
【答案】（1）
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°
∴△BAD是等邊三角形，∠ADC=120°
∴∠ABD=∠ADF=60°
∵∠ADC+∠ADF=180°
∴F，D，C三點共線
過點E作EH∥AB，交AD于點H，連接AC交BD于點O
∴∠HED=60°，∠EHG=∠GDF，∠HEG=∠DFG
∴△DHE為等邊三角形，△HEG∽△DFG
∵BE=1，菱形ABCD的邊長為3
∴ED=EH=HD=2
∴
∴GH=2GD
∵HD=GH+GD
∴
∴
在Rt△ABO中，AB=3
∴
∴，
∴
∴
（3）解：過點E作EK∥AB，作EQ⊥AB，交AB延長線于點R，交CD于點Q
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EK
∴∠BAE=∠AEK，∠EFC=∠FEK
∵∠AEG=2∠BAE
∴∠BAE=∠AEK=∠FEK=∠EFC
∵∠ABC=120°
∴∠C=∠EBR=60°
設BE=2，則BR=x，，EC=2-2x，，QC=1-x
將繞點順時針旋轉120°至
∴DF=BE=2x
∵∠BAE=∠EFC
∴tan∠BAE=tan∠EFC，即
過點B作BP⊥CD，過點A作AO⊥CD
則PC=1，OD=1，OP=2
∴CD=4
∴QF=4-(1-x)=3x+3
∴
解得：
∴
【知識點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定；旋轉的性質；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴AD∥BC，∠ADC=∠B=90°
∵將繞點順時針旋轉90°至
∴∠ADF=∠B=90°，DF=BE=2
∴∠ADF+∠ADC=180°
∴點F，D，C三點共線
∵AD∥BX
∴△DFG∽△CFE
∴
∴
∴
∵
∴
故答案為：
【分析】（1）根據正方形性質可得AD∥BC，∠ADC=∠B=90°，再根據旋轉性質可得∠ADF=∠B=90°，DF=BE=2，則點F，D，C三點共線，再跟矩形相似三角形判定定理可得△DFG∽△CFE，則，根據邊之間的關系可得AG，再根據勾股定理可得AE，再根據邊之間的關系即可求出答案.
（2）根據菱形性質可得AB=AD，∠BAD=60°，∠ADC=120°，再根據等邊三角形判定定理可得△BAD是等邊三角形，則∠ABD=∠ADF=60°，再根據角之間的關系可得F，D，C三點共線，過點E作EH∥AB，交AD于點H，連接AC交BD于點O，根據等邊三角形判定定理可得△DHE為等邊三角形，再根據相似三角形判定定理可得△HEG∽△DFG，則ED=EH=HD=2，根據邊之間的關系可得AG，再根據勾股定理可得AO，AE，再根據邊之間的關系即可求出答案.
（3）過點E作EK∥AB，作EQ⊥AB，交AB延長線于點R，交CD于點Q，根據直線平行性質可得∠BAE=∠AEK，∠EFC=∠FEK，再根據角之間的關系可得∠C=∠EBR=60°，設BE=2，則BR=x，，EC=2-2x，，QC=1-x，根據旋轉性質可得DF=BE=2x，再根據正切定義可得，過點B作BP⊥CD，過點A作AO⊥CD，則則PC=1，OD=1，OP=2，再代入等式，解方程即可求出答案.
1 / 1廣東省佛山市順德區第一中學外國語學校2024-2025學年九年級上學期10月數學試題
一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（2025九上·順德月考）如圖，在菱形中，對角線AC、BD的長分別為8cm、6cm，則這個菱形的周長為（　　）
A．10cm B．14cm C．20cm D．28cm
2．（2025九上·順德月考）某公園的人工湖周邊修葺了三條湖畔小徑，如圖小徑MQ，NO恰好互相垂直，小徑MN的中點P與點O被湖隔開，若測得小徑MN的長為1km，則P，O兩點間距離為（　　）
A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km
3．（2025九上·順德月考）如圖，中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，若，則的面積為（　　）
A．6 B．12 C．9 D．8
4．（2025九上·順德月考）方程 的根的情況是（　　）
A．有兩個相等實數根 B．有兩個不相等實數根
C．沒有實數根 D．無法判斷
5．（2025九上·順德月考）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點O，垂直平分于點E，則的長為（　　）
A． B． C．4 D．2
6．（2025九上·順德月考）若關于的一元二次方程的一個根是，則代數式的值為（　　）
A． B．2023 C． D．2024
7．（2025九上·順德月考）如圖，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是（　　）
A．CA平分 B． C． D．
8．（2025九上·順德月考）如圖，一只松鼠先經過第一道門(A，B或C)，再經過第二道門(D或E)出去，則松鼠走出籠子的路線是“先經過A門，再經過E門”的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·順德月考）如圖，在矩形中，，，點從點出發沿AB以的速度向點移動，一直到達點為止；同時，點從點出發沿邊CD以的速度向點移動.設運動時間為，當時，（　　）
A． B．或4 C．或 D．4
10．（2025九上·順德月考）如圖，在中，，，分別以點A、C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線分別交、于點D、E，連接．以下結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．（2025九上·順德月考）若，則的值為　 　．
12．（2025九上·順德月考）方程的解為　 　．
13．（2025九上·順德月考）如圖，在正方形的外側作等邊，則的度數為　 　.
14．（2025九上·順德月考）在平面直角坐標系中，點P（m，n）是線段AB上一點，以原點O為位似中心把AOB放大到原來的2倍，則點P的對應點的坐標為　 　．
15．（2025九上·順德月考）如圖，點E在正方形的對角線上，于點F，連接并延長，交邊于點M，交邊的延長線于點G，若，，則　 　 ．
三、解答題（共9小題，滿分75分）
16．（2025九上·順德月考）用合適的方法解下列方程：
（1）；
（2）關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，求的值.
17．（2025九上·順德月考）如圖，在中，，D是BC的中點，過點作，使，連接BE.求證：四邊形是矩形.
18．（2025九上·順德月考）學習相似三角形相關知識后，善于思考的小明和小穎兩位同學想通過所學計算橋AF的長.如圖，該橋兩側河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得.經測量，米，米，且點E到河岸BC的距離為60米.已知于點F，請你根據提供的數據，幫助他們計算橋AF的長度.
19．（2025九上·順德月考）王老師將1個黑球和若干個白球放入一個不透明的口袋并攪勻，讓若干學生進行摸球試驗，每次摸出一個球（有放回），下表是活動進行中的一組統計數據.
摸球的次數n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次數m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的頻率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 ____
（1）補全表中的有關數據，再根據上表數據估計從袋中摸出一個球是黑球的概率是　 　.（保留2位小數）；
（2）估計袋中白球的個數；
（3）在（2）的條件下，若小強同學有放回地連續兩次摸球，用畫樹狀圖或列表的方法計算他兩次都摸出白球的概率.
20．（2025九上·順德月考）如圖，在中，，D，E分別是AB，BC的中點，，.
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）連接DF交BC于點M，連接CD，若，，求DM，CD的長.
21．（2025九上·順德月考）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網格，圖中的點A、B、C、D均在格點上.
（1）在圖1中，　 　；
（2）利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.
①如圖2，在AB上找一點，使；
②如圖3，過點畫BC的平行線PG.
22．（2025九上·順德月考）根據以下素材，完成探索任務.
深索果園土地規劃和銷售利潤問題
素材1 某農戶承包了一塊長方形果園，圖1是果園的平面圖，其中米，米.準備在它的四周鋪設道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米，中間部分種植水果，出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度x不超過12米，且不小于5米.
素材2 該農戶發現某一種草莓銷售前景比較不錯，經市場調查，草莓培育一年可產果，若每平方米的草莓銷售平均利潤為100元，每月可銷售5000平方米的草莓；受天氣原因，農戶為了快速將草莓出手，決定降價，若每平方米草莓平均利潤下調4元，每月可多銷售500平方米草莓，果園每月的承包費為2萬元.
（1）【任務一：解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響.】
①請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍.
②若中間種植的面積是，則路面設置的寬度是否符合要求.
（2）【任務二：解決果園種植的預期利潤問題.（總利潤=銷售利潤-承包費）】若農戶預期一個月的總利潤為55.2萬元，則從讓利購買草莓的客戶角度考慮，每平方米草莓平均利潤應該降價多少元？
23．（2025九上·順德月考）
（1）【發現】如圖1，正方形的邊長為4，點為BC中點.連接AE.將繞點順時針旋轉90°至，連接EF交AD于點.愛思考的小明做了這樣的輔助線，過點作，交AD于點……請沿著小明的思路思考下去，則　 　；
（2）【應用】如圖2，菱形的邊長為3，且，連接BD，點為BD上一點，連接AE.將繞點順時針旋轉60°至，連接EF交AD于點，若，求的值：
（3）【拓展】如圖3，在四邊形中，，且，，點為BC上一點，連接AE.將繞點順時針施轉120°至，連接EF交AD于點G，，請求BE的長.
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】勾股定理；菱形的性質
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD對角線AC，BD相交于點O，且AC＝8cm，BD＝6cm，
∴∠AOB＝90°，AO＝4cm，BO＝3cm，
故AB＝＝＝5（cm），
故菱形的周長為：4×5=20（cm），
故答案為：C．
【分析】根據菱形的性質得出AO，BO的長，再根據勾股定理可得AB，再根據菱形周長即可求出答案.
2．【答案】A
【知識點】直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：連接OP
∵MO⊥NO
∴∠MON=90°
∵P是MN中點
∴
故答案為：A
【分析】連接OP，根據直角三角形斜邊上的中線性質即可求出答案.
3．【答案】B
【知識點】相似三角形的判定；三角形的中位線定理；相似三角形的性質-對應面積
【解析】【解答】解：∵點D，E分別是邊AB，AC的中點
∴DE∥BC，，即
∴△ADE∽△ABC
∴，即
∴
故答案為：B
【分析】根據三角形中位線定理可得DE∥BC，，即，再根據相似三角形判定定理可得△ADE∽△ABC，則，代值計算即可求出答案.
4．【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5＞0，
所以方程有兩個不相等的實數根．
故答案為：B．
【分析】把a=1，b=-3，c=1代入△=b2-4ac進行計算，然后根據計算結果判斷方程根的情況．
5．【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【分析】根據矩形性質可得，，，再根據垂直平分線性質可得，則，再根據勾股定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知識點】一元二次方程的根；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵關于的一元二次方程的一個根是，
∴
原式=
故答案為：B.
【分析】將代入原方程得到將待求式化簡即可求解.
7．【答案】C
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC
A：CA平分，則ACD=∠ACB，即∽，A正確
B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正確
C：，不能判斷∽，C錯誤
D：，∽，D正確
故答案為：C
【分析】根據相似三角形判定定理逐項進行判斷即可求出答案.
8．【答案】D
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結果，先經過A門、再經過E門只有1種結果，
所以先經過A門、再經過E門的概率為.
故答案為：.
【分析】根據題意畫出樹狀圖，由圖可知：共有6種等可能的結果，先經過A門、再經過E門只有1種結果，從而根據概率公式即可算出答案.
9．【答案】C
【知識點】勾股定理；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：過點P作PE⊥CD于點E，則PE=BC=6
如圖所示，
當運動時間為t時，AP=3t，DQ=16-2t，EQ=|(16-2t)-3t|=|16-5t|
由題意可得：PQ2=PE2+EQ2
即102=62+(16-5t)2
解得：
故答案為：C
【分析】過點P作PE⊥CD于點E，則PE=BC=6，當運動時間為t時，AP=3t，DQ=16-2t，EQ=|(16-2t)-3t|=|16-5t|，再根據勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；黃金分割；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：，
，
由作法可知，平分，
，，
，
，A選項結論正確；
，
，
，
，B選項結論正確；
是頂角為的等腰三角形，
是黃金三角形，
，
，C選項結論錯誤；
，，
，
，
，D選項結論正確，
故選：C．
【分析】根據等邊對等角及三角形內角和定理可得，再根據角平分線性質可得，，則，根據角之間的關系可判斷A，根據等角對等邊可得，則，可判斷B，根據黃金三角形定義可得，再根據邊之間的關系可判斷C，根據相似三角形判定定理可得，則，即可判定D.
11．【答案】
【知識點】比例的性質
【解析】【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴a＝1.5b，
∴＝＝，
故答案為．
【分析】本題主要考查比例的性質．已知，依據比例的性質可得2a＝3b，即a＝1.5b，代入式子可求出答案．
12．【答案】，
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由題意得，
解得，，
故答案為：，
【分析】根據題意直接運用因式分解法解一元二次方程即可求解。
13．【答案】45°
【知識點】三角形內角和定理；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°
∵△ABE為等邊三角形
∴AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°
∴
∴∠BED=∠AEB-∠AED=45°
故答案為：45°
【分析】根據正方形性質可得AB=AD，∠BAD=90°，再根據等邊三角形判定定理可得AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，根據等邊對等角及三角形內角和定理可得，再根據角之間的關系即可求出答案.
14．【答案】（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
【知識點】位似變換
【解析】【解答】解：點P（m，n）是線段AB上一點，以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，
則點P的對應點的坐標為（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故答案為：（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）．
【分析】根據位似圖形的性質求解即可。
15．【答案】
【知識點】勾股定理；正方形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：∵是正方形，，
∴，而，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵M為中點，
∴
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：．
故答案為：．
【分析】根據正方形性質可得，再根據相似三角形判定定理可得，則，即，，再根據相似三角形判定定理可得，則，即，再根據勾股定理即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
移項可得，
∴(x-3)(x-1)=0
∴x-3=0或x-1=0
解得：x=3或x=1
（2）解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根
∴
解得：
【知識點】因式分解法解一元二次方程；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【分析】（1）移項，提公因式，再根據因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根據二次方程有兩個相等的實數根，則判別式，解方程即可求出答案.
17．【答案】證明：∵，
∴四邊形AEBD是平行四邊形
∵，D是BC的中點
∴AD⊥BC
∴四邊形AEBD是矩形
【知識點】等腰三角形的性質；平行四邊形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根據平行四邊形判定定理可得四邊形AEBD是平行四邊形，再根據等腰三角形性質可得AD⊥BC，再根據矩形判定定理即可求出答案.
18．【答案】解：過點E作EG⊥BC于點G
∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
∴
∴
∵AF⊥BC，EG⊥BC
∴AF∥EG
∴△ACF∽△ECG
∴，即
解得：AF=90
∴橋AF的長度為90米
【知識點】平行線的判定與性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】過點E作EG⊥BC于點G，根據相似三角形判定定理可得△ABC∽△ADE，則，即，再根據直線平行判定定理可得AF∥EG，再根據相似三角形判定定理可得△ACF∽△ECG，則，代值計算即可求出答案.
19．【答案】（1）0.25
（2）解：設袋子中白球的個數為x
由題意可得：
解得：x=3
∴袋中白球的個數為3
（3）解：畫出樹狀圖
∴共有16種等可能的結果，兩次都摸出白球的有9種
∴兩次都摸出白球的概率為
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：（1）由題意可得：
251÷1000≈0.25
∴從袋中摸出一個球是黑球的概率是0.25
故答案為：0.25
【分析】（1）根據表格公式即可求出答案.
（2）設袋子中白球的個數為x，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果，再求出兩次都摸出白球的結果，再根據概率公式即可求出答案.
20．【答案】（1）證明：∵，
∴四邊形BDEF為平行四邊形
∵，D，E分別是AB，BC的中點
∴
∴DE=BD
∴四邊形是菱形
（2）解：如圖
∵四邊形BDEF是菱形，BE=4
∴BE⊥DF，BM=ME=2
∵D，E分別是AB，BC的中點
∴
∴
∵BE=CE=4
∴MC=6
∴
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的判定與性質；三角形的中位線定理
【解析】【分析】（1）根據平行四邊形判定定理可得四邊形BDEF為平行四邊形，再跟據三角形中位線定理及線段中點可得，則DE=BD，再根據菱形判定定理即可求出答案.
（2）根據菱形性質可得BE⊥DF，BM=ME=2，再根據三角形中位線定理可得，根據勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）1：2
（2）解：①如圖所示，點P即為所求
②如圖所示，PG即為所求
【知識點】相似三角形的判定；作圖-平行線；尺規作圖-線段的和差；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：由題意可得：
AB=2，CD=1，AB∥CD
∴△ABP∽△DCP
∴PC：PB=CD：AB=1：2
故答案為：1：2
【分析】（1）由題意可得：AB=2，CD=1，AB∥CD，根據相似三角形判定定理可得△ABP∽△DCP，則PC：PB=CD：AB=1：2，即可求出答案.
（2）①根據線段之間的關系作圖即可.
②根據直線平行性質作圖即可.
22．【答案】（1）解：①5≤x≤12
②由題意可得：
(300-2x)(200-2×2x)=44800
解得：x=10或x=190(舍去)
∵5≤x≤12
∴路面設置的寬度符合要求
（2）解：設每平方米草莓平均利潤下調y元
由題意可得：
解得：y=12或y=48
∵利購買草莓的客戶角度考慮
∴y=48
∴每平方米草莓平均利潤下調48元
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：（1）①由題意可得：5≤x≤12
故答案為：5≤x≤12
【分析】（1）①根據題意即可求出答案.
②根據題意建立方程，解方程，再比較大小即可求出答案.
（2）設每平方米草莓平均利潤下調y元，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°
∴△BAD是等邊三角形，∠ADC=120°
∴∠ABD=∠ADF=60°
∵∠ADC+∠ADF=180°
∴F，D，C三點共線
過點E作EH∥AB，交AD于點H，連接AC交BD于點O
∴∠HED=60°，∠EHG=∠GDF，∠HEG=∠DFG
∴△DHE為等邊三角形，△HEG∽△DFG
∵BE=1，菱形ABCD的邊長為3
∴ED=EH=HD=2
∴
∴GH=2GD
∵HD=GH+GD
∴
∴
在Rt△ABO中，AB=3
∴
∴，
∴
∴
（3）解：過點E作EK∥AB，作EQ⊥AB，交AB延長線于點R，交CD于點Q
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EK
∴∠BAE=∠AEK，∠EFC=∠FEK
∵∠AEG=2∠BAE
∴∠BAE=∠AEK=∠FEK=∠EFC
∵∠ABC=120°
∴∠C=∠EBR=60°
設BE=2，則BR=x，，EC=2-2x，，QC=1-x
將繞點順時針旋轉120°至
∴DF=BE=2x
∵∠BAE=∠EFC
∴tan∠BAE=tan∠EFC，即
過點B作BP⊥CD，過點A作AO⊥CD
則PC=1，OD=1，OP=2
∴CD=4
∴QF=4-(1-x)=3x+3
∴
解得：
∴
【知識點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定；旋轉的性質；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴AD∥BC，∠ADC=∠B=90°
∵將繞點順時針旋轉90°至
∴∠ADF=∠B=90°，DF=BE=2
∴∠ADF+∠ADC=180°
∴點F，D，C三點共線
∵AD∥BX
∴△DFG∽△CFE
∴
∴
∴
∵
∴
故答案為：
【分析】（1）根據正方形性質可得AD∥BC，∠ADC=∠B=90°，再根據旋轉性質可得∠ADF=∠B=90°，DF=BE=2，則點F，D，C三點共線，再跟矩形相似三角形判定定理可得△DFG∽△CFE，則，根據邊之間的關系可得AG，再根據勾股定理可得AE，再根據邊之間的關系即可求出答案.
（2）根據菱形性質可得AB=AD，∠BAD=60°，∠ADC=120°，再根據等邊三角形判定定理可得△BAD是等邊三角形，則∠ABD=∠ADF=60°，再根據角之間的關系可得F，D，C三點共線，過點E作EH∥AB，交AD于點H，連接AC交BD于點O，根據等邊三角形判定定理可得△DHE為等邊三角形，再根據相似三角形判定定理可得△HEG∽△DFG，則ED=EH=HD=2，根據邊之間的關系可得AG，再根據勾股定理可得AO，AE，再根據邊之間的關系即可求出答案.
（3）過點E作EK∥AB，作EQ⊥AB，交AB延長線于點R，交CD于點Q，根據直線平行性質可得∠BAE=∠AEK，∠EFC=∠FEK，再根據角之間的關系可得∠C=∠EBR=60°，設BE=2，則BR=x，，EC=2-2x，，QC=1-x，根據旋轉性質可得DF=BE=2x，再根據正切定義可得，過點B作BP⊥CD，過點A作AO⊥CD，則則PC=1，OD=1，OP=2，再代入等式，解方程即可求出答案.
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