資源簡介

廣東省揭陽市榕城區2024年中考二模數學試題
一、選擇題：（本大題10小題，每小題3分，共30分）
1．（2024·榕城模擬）生產廠家檢測4個籃球的質量，結果如圖所示，超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數，其中最接近標準質量的籃球是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】絕對值的概念與意義
【解析】【解答】解：∵，
∴質量為－0.5的籃球最接近標準質量，
故答案為：B．
【分析】根據絕對值最小的最接近標準質量可得答案．
2．（2024·榕城模擬）下列運算中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】有理數的乘方法則；化簡含絕對值有理數；求算術平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、-（-2）2=-4，故A不符合題意；
B、|-2|=2，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、∵，
∴ ，故D符合題意；
故答案為：D.
【分析】利用負數的偶次方是正數，可對A作出判斷；再利用負數的絕對值等于它的相反數，可對B作出判斷；利用正數的算術平方根是正數，可對C作出判斷；然后根據立方根的性質，可對D作出判斷.
3．（2024·榕城模擬）右圖是我們生活中常用的“空心卷紙”，其主視圖為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：卷紙的主視圖應是：
，
故答案為：C．
【分析】根據簡單幾何體的三視圖即可求出答案.
4．（2024·榕城模擬）通過大量的擲圖釘試驗，發現釘尖朝上的頻率穩定在0.75附近，則可估計釘尖朝上的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：由題意可得：
釘尖朝上的概率為
故答案為：C
【分析】根據頻率估計概率即可求出答案.
5．（2024·榕城模擬）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點O，垂直平分于點E，則的長為（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【分析】根據矩形性質可得，，，再根據垂直平分線性質可得，則，再根據勾股定理即可求出答案.
6．（2024·榕城模擬）如果四點，和和在反比例函數的圖象上，那，，之間的大小關系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】反比例函數的性質
【解析】【解答】解：，和和在反比例函數的圖象上，
，
，，，
，
故答案為：A．
【分析】請根據反比例函數性質，求出各點縱坐標，再比較大小即可求出答案.
7．（2024·榕城模擬）某人把“抖空竹”的一個姿勢抽象成數學問題．如圖所示，已知，，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】平行線的性質；三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：延長交于點，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案為B；
【分析】延長交于點，根據得到，再根據三角形外角性質即可求出答案.
8．（2024·榕城模擬）2023年5月12日是我國第15個全國防災減災日，我校組織八年級部分同學進行了兩次地展應急演練，在優化撤離方案后，第二次平均每秒撤離的人數比第一次的多15，結果2000名同學全部撤離的時間比第一次節省了240秒，若設第一次平均每秒撤離x人，則x滿足的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】分式方程的實際應用
【解析】【解答】解：由題意得：，
故答案為：A．
【分析】根據第二次平均每秒撤離的人數比第一次的多15，結果2000名同學全部撤離的時間比第一次節省了240秒，列出分式方程即可．
9．（2024·榕城模擬）如圖，在扇形中，，半徑，點是上一點，連接，沿將扇形折疊，使得點落在的延長線上的點處，連接，則圖中陰影部分面積為（結果保留）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】勾股定理；扇形面積的計算；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：因為，且，
所以．
由折疊可知，
，
則．
設長為，
則，
在中，
，
解得，
所以．
又因為余下的陰影部分的面積與右上方的弓形面積相等，
則，
所以．
故答案為：C．
【分析】根據勾股定理可得AB，再根據折疊性質可得，則，設長為，則，根據勾股定理建立方程，解方程可得，再根據三角形面積即可求出答案.
10．（2024·榕城模擬）在平面直角坐標系中，點，在拋物線（）上，設拋物線的對稱軸為直線.若，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】二次函數圖象與系數的關系
【解析】【解答】解：（），對稱軸為，
∵m=a+b+c，n=9a+3b+c，，
∴a+b+c<9a+3b+c∴a+b<9a+3b<0.
∵a>0，
∴
∴
即
故答案為：A.
【分析】把兩個點坐標帶入拋物線的表達式，根據，得a+b+c<9a+3b+c0整理可得，即可得到t的取值范圍.
二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）
11．（2024·榕城模擬）若最簡二次根式與能夠合并，則　 　．
【答案】2
【知識點】同類二次根式
【解析】【解答】解：由題意可知：，
，
故答案為：2．
【分析】根據最簡二次根式以及同類二次根式定義即可求出答案．
12．（2024·榕城模擬）已知方程，用含代數式表示，則　 　．
【答案】
【知識點】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
【分析】把x看成已知數，用x表示出y即可．
13．（2024·榕城模擬）如圖，某同學利用鏡面反射的原理巧妙地測出了樹的高度，已知人的站位點，鏡子，樹底三點在同一水平線上，眼睛與地面的高度為米，米，米，則樹高為　 　米．
【答案】
【知識點】相似三角形的實際應用
【解析】【解答】解：點作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故答案為：．
【分析】點作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，則，由相似三角形的判定定理可得出，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出的長．
14．（2024·榕城模擬）如圖，與位于平面直角坐標系中，，，，若，反比例函數恰好經過點C，則　 　．
【答案】
【知識點】反比例函數的圖象；待定系數法求反比例函數解析式；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：過點C作軸于點D，如圖所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴點，
∴，
故答案為：．
【分析】過點C作軸于點D，根據含30°角的直角三角形性質可得，，根據勾股定理可得，，再根據含30°角的直角三角形性質即可求出答案.
15．（2024·榕城模擬）如圖是某學校全體教職工年齡的頻數分布直方圖（統計中采用“上限不在內”的原則，如年齡為36歲統計在小組，而不在小組），根據圖中提供的信息，有下列說法：
①該學校教職工總人數是50；
②年齡在小組的教職工人數占該學校全體教職工總人數的；
③教職工年齡的中位數一定落在這一組；
④教職工年齡的眾數一定在這一組．
其中正確的是 　 　．
【答案】①②③
【知識點】頻數（率）分布直方圖；中位數；眾數
【解析】【解答】解：①該學校教職工總人數為（人），故符合題意；
②在小組的教職工人數占該學校全體教職工總人數的比例為，故符合題意；
③由第25個，第26個數據落在這一組，可得教職工年齡的中位數一定落在這一組，符合題意；
④教職工年齡在的總人數最多，但教職工年齡的眾數在哪一組并不確定．不符合題意
故答案為：①②③．
【分析】根據直方圖，可得該學校教職工總人數為（人），即可判斷①； 在小組的教職工人數占該學校全體教職工總人數的比例為，即可判斷②； 根據中位數的定義，即可判斷③；教職工年齡在的總人數最多，但教職工年齡的眾數在哪一組并不確定，即可判斷④．
16．（2024·榕城模擬）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形繞點O順時針旋轉n個45°，得到正六邊形，當時，正六邊形的頂點的坐標是　 　．
【答案】
【知識點】圓內接正多邊形；旋轉的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；探索規律-圖形的循環規律
【解析】【解答】解：∵正六邊形，
∴每個內角的度數為，即，
∴正六邊形的一個外角為，即與軸正半軸的夾角為，
如圖所示，未旋轉時，連接，正六邊形的邊長為，，過點作于點，
∴，
∵
∴
∴
在中，根據勾股定理得，，
∴，
∴，
當正六邊形繞點順時針旋轉，
∴，即旋轉次，正六邊形回到起始位置，
∴當時，，即旋轉輪后，點回到了原位置，如圖所示，
∵，
∴，即當時，頂點的坐標是，
故答案為：．
【分析】根據正六邊形的特點分別求出每個內角，外角的度數，以及邊長的關系，再根據旋轉的特殊計算出旋轉規律，由此可知當時，點所在位置，由此即可求解．
三、解答題（本大題4小題，其中17-18題各4分，19-20題各6分，共20分）
17．（2024·榕城模擬）解不等式組．
【答案】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
則不等式組的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
18．（2024·榕城模擬）如圖，正方形網格中每個小正方形邊長都是1，小正方形的頂點稱為格點，在正方形網格中分別畫出下列圖形：
（1）長為的線段，其中、都在格點上
（2）面積為5的正方形，其中、、、都在格點上
【答案】（1）解：如圖，線段即為所求，
其中；
（2）解如圖，四邊形即為所求，
其中：，
連接，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為正方形，且面積為．
【知識點】勾股定理；正方形的判定與性質
【解析】【分析】（1）由勾股定理可知當直角邊為1和3時，則斜邊為，由此可得線段；
（2）由勾股定理可知當直角邊為1和2時，則斜邊為，把斜邊作為正方形的邊長即可得到面積為5的正方形．
19．（2024·榕城模擬）以下是某同學化簡分式的部分運算過程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
（1）上面第二步計算中，中括號里的變形的依據是________；
（2）上面的運算過程中第________步出現了錯誤；
（3）請你從出錯的那一步開始把解題過程補充完整．
【答案】（1）分式的基本性質
（2）三
（3）解：原式
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】解：（1）上面第二步計算中，中括號里的變形是通分，其依據是分式的基本性質，
故答案為：分式的基本性質；
（2）解：觀察可知，上面的運算過程中第三步出現錯誤，原因是計算減法的時候第二個分式的分子中的符號沒有變號，
故答案為：三；
【分析】（1）根據分式的基本性質即可求出答案.
（2）觀察可知，上面的運算過程中第三步計算減法的時候第二個分式的分子中的符號沒有變號；
（3）根據分式的運算法則，先乘除，后加減，有括號的先算括號內的．
20．（2024·榕城模擬）在某次物理實驗中，需要在圖中的1、2、3個位置處安裝3個元件形成電路，現有A、B、C三個元件，其中有一個元件在上一次實驗操作中被燒壞掉，現將三個元件分別任意安裝到1、2、3處；
（1）位置1處安裝被燒壞的元件概率為　 　；
（2）請用合適的方法分析并求出閉合開關后，小燈泡能亮的概率．
【答案】（1）
（2）解：根據并聯電路的特點可知，位置1處必須放完好的元件才能保證形成電路，假設A、B、C中燒壞的元件為A，列樹狀圖如下所示：
由樹狀圖可知一共有6種等可能性的結果數，其中小燈泡能亮的結果數有4種，
∴小燈泡能亮的概率為．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵燒壞的元件安裝到1、2、3處的概率一樣，
∴位置1處安裝被燒壞的元件概率為，
故答案為：；
【分析】（1）根據燒壞的元件安裝到1、2、3處的概率一樣即可得到答案；
（2）根據并聯電路的特點可知，位置1處必須放完好的元件才能保證形成電路，假設A、B、C中燒壞的元件為A，畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果，再求出小燈泡能亮的結果，再根據概率公式即可求出答案.
四、解答題（本大題3小題，其中21題8分，22-23各10分，共28分）
21．（2024·榕城模擬）某小區為了改善綠化環境，計劃購買、兩種樹苗共棵，其中 樹苗每棵 元， 樹苗每棵元． 經測算購買兩種樹苗一共需要元．
（1）計劃購買 兩種樹苗各多少棵？
（2）在實際購買中，小區與商家協商：兩種樹苗的售價均下降元（），且每降低 元，小區就多購買樹苗棵，樹苗棵．小區實際購買這兩種樹苗的費用比原計劃費用多了元，則該小區實際購買 樹苗共多少棵？
【答案】（1）解：設購買樹苗棵，樹苗棵，根據題意得，
答：計劃購買 樹苗棵，樹苗棵
（2）解：根據題意得，
整理得，
，（不符合題意，舍去）
，
答：該小區實際購買 樹苗共棵．
【知識點】一元二次方程的其他應用；二元一次方程組的實際應用-雞兔同籠問題
【解析】【分析】 (1)典型的二元一次方程的應用問題，和雞兔同籠問題的實質是一樣的；(2)單價是a的代數式，數量也是a的代數式，總價就可以用a的二次式來表示，根據題意找到等量關系就可以解一元二次方程。
22．（2024·榕城模擬）如圖，是的外接圓，是的直徑，點D在上，，連接，延長交過點C的切線于點E．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若的長為 ___________．
【答案】（1）證明： ∵，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：連接OC，如圖：
∵與相切于點C，
∴，
∵四邊形是圓內接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）
【知識點】圓周角定理；圓內接四邊形的性質；切線的性質
【解析】【解答】解：（3）∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根據等邊對等角可得，再根據角之間的關系即可求出答案.
（2）連接OC，根據切線性質可得，再根據圓內接四邊形性質可得，根據角之間的關系可得，根據等邊對等角可得，則，由直線平行判定定理可得，則，即，即可求出答案.
（3）根據圓周角定理可得，根據勾股定理可得AB=5，再根據相似三角形判定定理可得，則，代值計算可得，再根據勾股定理即可求出答案.
23．（2024·榕城模擬）三月是草長鶯飛的好時節，某高校組織學生春游，出發點位于點C處，集合點位于點E處，現有兩條路線可以選擇：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米處，且位于C的北偏西方向處．D位于A的正西方向米處，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（參考數據：，，，）
（1）求A與C之間的距離（結果保留整數）；
（2）已知路線①的步行速度為40米/分鐘，路線②的步行速度為75米/分鐘，請計算說明：走哪條線路用時更短？（結果保留一位小數）
【答案】（1）解：如圖，過點A作，交的延長線于點H，
則，
由題意可知，，，
∴（米），
∴（米），
即A與C之間的距離為500米；
（2）解：設與的交點為M，由題意可知，，
∴四邊形是矩形，
∴米，（米），
米，
由題意可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
∴路線①的步行的時間為（分鐘）
路線②的步行的時間為（分鐘）
∵，
∴走線路①用時更短．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣方向角問題
【解析】【分析】（1）過點A作，交的延長線于點H，利用銳角三角函數定義即可求出答案.
（2）設與的交點為M；利用矩形的性質、解直角三角形可得米，米，根據等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，則米，米，米，再分別求出兩條線路的用時，比較后即可得到結論．
五、解答題（本大題2小題，每小題12分，共24分）
24．（2024·榕城模擬）定義：在平面直角坐標系中，當點在圖形的內部，或在圖形上，且點的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點為圖形的“夢之點”．
（1）如圖①，矩形的頂點坐標分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是 ；
（2）如圖②，已知點，是拋物線上的“夢之點”，點是拋物線的頂點．連接，，，求的面積；
（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一點，點為平面內一點，是否存在點、，使得以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），
（2）解：∵，是拋物線上的“夢之點”
∴點，是直線上的點，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴二次函數的頂點，二次函數的對稱軸為，
設拋物線的對稱軸交于，
∴，
∴
∴
．

（3）解：存在，理由如下：
設，
∵以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
當，，
∴點；
當，，
∴點；
綜上所述，點的坐標為：或者．
【知識點】坐標與圖形性質；待定系數法求二次函數解析式；一次函數的實際應用-幾何問題；二次函數-特殊四邊形存在性問題
【解析】【解答】解：∵矩形的頂點坐標分別是，，，，
∴設矩形的“夢之點”為，滿足，，
∴點，，中，是矩形“夢之點”為點，．
故答案為：，．
【分析】（1）根據“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形的內部或邊上；
（2）根據“夢之點”的定義和二次函數的解析式，求得，的坐標；根據二次函數的頂點式，求出拋物線的頂點的坐標，拋物線的對稱軸，根據，即可求出答案.
（3）設，由以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形可得，利用兩點間距離公式建立方程，解方程即可求出答案.
25．（2024·榕城模擬）在矩形中，點是射線上一動點，連接，過點作于點，交直線于點．
（1）當矩形是正方形時，以點為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．
①如圖1，若點在線段上，則線段與之間的數量關系是________，位置關系是________；
②如圖2，若點在線段的延長線上，①中的結論還成立嗎？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；
（2）如圖3，若點在線段上，以和為鄰邊作，是中點，連接，，．
①求面積的最大值；
②直接寫出的最小值是________．
【答案】（1）①相等，垂直；
解：②成立，理由是：
當點E在線段的延長線上時，
同理可得：，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴且，
∴，；
（2）解：①連接，
∵，
設，則，
同（1）可得：，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面積，
當時，的面積的最大值為；
②．
【知識點】二次函數的最值；圓內接四邊形的性質；四邊形的綜合
【解析】【解答】解：（1）①∵四邊形為正方形，
∴即，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴且，
∴，，
故答案為：相等；垂直；
（2）②∵，
∴C、E、G、F四點共圓，
∵四邊形是平行四邊形，M為中點，
∴M也是中點，
∴M是四邊形外接圓圓心，
則的最小值為圓M半徑的最小值，
∵，
設，
當時，y取最小值，
∴的最小值為，
故的最小值為．
故答案為：
【分析】（1）①根據正方形性質可得，再根據角之間的關系可得，根據全等三角形判定定理可得，則，再根據等腰直角三角形性質可得，則，由平行四邊形判定定理可得四邊形為平行四邊形，則且，即可求出答案.
②當點E在線段的延長線上時，同理可得：，則，根據等腰直角三角形性質可得，則，由平行四邊形判定定理可得四邊形為平行四邊形，則且，即可求出答案.
（2）①連接，設，則，同（1）可得：，根據相似三角形判定定理可得，則，代值計算可得，根據三角形面積可得的面積，根據二次函數性質可得當時，的面積的最大值為，即可求出答案.
②根據圓內接四邊形判定定理可得C、E、G、F四點共圓，由題意可得M是四邊形外接圓圓心，則的最小值為圓M半徑的最小值，根據勾股定理可得EF，設，結合二次函數性質即可求出答案.
1 / 1廣東省揭陽市榕城區2024年中考二模數學試題
一、選擇題：（本大題10小題，每小題3分，共30分）
1．（2024·榕城模擬）生產廠家檢測4個籃球的質量，結果如圖所示，超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數，其中最接近標準質量的籃球是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·榕城模擬）下列運算中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·榕城模擬）右圖是我們生活中常用的“空心卷紙”，其主視圖為（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·榕城模擬）通過大量的擲圖釘試驗，發現釘尖朝上的頻率穩定在0.75附近，則可估計釘尖朝上的概率為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·榕城模擬）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點O，垂直平分于點E，則的長為（　　）
A． B． C．4 D．2
6．（2024·榕城模擬）如果四點，和和在反比例函數的圖象上，那，，之間的大小關系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·榕城模擬）某人把“抖空竹”的一個姿勢抽象成數學問題．如圖所示，已知，，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·榕城模擬）2023年5月12日是我國第15個全國防災減災日，我校組織八年級部分同學進行了兩次地展應急演練，在優化撤離方案后，第二次平均每秒撤離的人數比第一次的多15，結果2000名同學全部撤離的時間比第一次節省了240秒，若設第一次平均每秒撤離x人，則x滿足的方程為（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024·榕城模擬）如圖，在扇形中，，半徑，點是上一點，連接，沿將扇形折疊，使得點落在的延長線上的點處，連接，則圖中陰影部分面積為（結果保留）（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·榕城模擬）在平面直角坐標系中，點，在拋物線（）上，設拋物線的對稱軸為直線.若，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）
11．（2024·榕城模擬）若最簡二次根式與能夠合并，則　 　．
12．（2024·榕城模擬）已知方程，用含代數式表示，則　 　．
13．（2024·榕城模擬）如圖，某同學利用鏡面反射的原理巧妙地測出了樹的高度，已知人的站位點，鏡子，樹底三點在同一水平線上，眼睛與地面的高度為米，米，米，則樹高為　 　米．
14．（2024·榕城模擬）如圖，與位于平面直角坐標系中，，，，若，反比例函數恰好經過點C，則　 　．
15．（2024·榕城模擬）如圖是某學校全體教職工年齡的頻數分布直方圖（統計中采用“上限不在內”的原則，如年齡為36歲統計在小組，而不在小組），根據圖中提供的信息，有下列說法：
①該學校教職工總人數是50；
②年齡在小組的教職工人數占該學校全體教職工總人數的；
③教職工年齡的中位數一定落在這一組；
④教職工年齡的眾數一定在這一組．
其中正確的是 　 　．
16．（2024·榕城模擬）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形繞點O順時針旋轉n個45°，得到正六邊形，當時，正六邊形的頂點的坐標是　 　．
三、解答題（本大題4小題，其中17-18題各4分，19-20題各6分，共20分）
17．（2024·榕城模擬）解不等式組．
18．（2024·榕城模擬）如圖，正方形網格中每個小正方形邊長都是1，小正方形的頂點稱為格點，在正方形網格中分別畫出下列圖形：
（1）長為的線段，其中、都在格點上
（2）面積為5的正方形，其中、、、都在格點上
19．（2024·榕城模擬）以下是某同學化簡分式的部分運算過程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
（1）上面第二步計算中，中括號里的變形的依據是________；
（2）上面的運算過程中第________步出現了錯誤；
（3）請你從出錯的那一步開始把解題過程補充完整．
20．（2024·榕城模擬）在某次物理實驗中，需要在圖中的1、2、3個位置處安裝3個元件形成電路，現有A、B、C三個元件，其中有一個元件在上一次實驗操作中被燒壞掉，現將三個元件分別任意安裝到1、2、3處；
（1）位置1處安裝被燒壞的元件概率為　 　；
（2）請用合適的方法分析并求出閉合開關后，小燈泡能亮的概率．
四、解答題（本大題3小題，其中21題8分，22-23各10分，共28分）
21．（2024·榕城模擬）某小區為了改善綠化環境，計劃購買、兩種樹苗共棵，其中 樹苗每棵 元， 樹苗每棵元． 經測算購買兩種樹苗一共需要元．
（1）計劃購買 兩種樹苗各多少棵？
（2）在實際購買中，小區與商家協商：兩種樹苗的售價均下降元（），且每降低 元，小區就多購買樹苗棵，樹苗棵．小區實際購買這兩種樹苗的費用比原計劃費用多了元，則該小區實際購買 樹苗共多少棵？
22．（2024·榕城模擬）如圖，是的外接圓，是的直徑，點D在上，，連接，延長交過點C的切線于點E．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若的長為 ___________．
23．（2024·榕城模擬）三月是草長鶯飛的好時節，某高校組織學生春游，出發點位于點C處，集合點位于點E處，現有兩條路線可以選擇：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米處，且位于C的北偏西方向處．D位于A的正西方向米處，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（參考數據：，，，）
（1）求A與C之間的距離（結果保留整數）；
（2）已知路線①的步行速度為40米/分鐘，路線②的步行速度為75米/分鐘，請計算說明：走哪條線路用時更短？（結果保留一位小數）
五、解答題（本大題2小題，每小題12分，共24分）
24．（2024·榕城模擬）定義：在平面直角坐標系中，當點在圖形的內部，或在圖形上，且點的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點為圖形的“夢之點”．
（1）如圖①，矩形的頂點坐標分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是 ；
（2）如圖②，已知點，是拋物線上的“夢之點”，點是拋物線的頂點．連接，，，求的面積；
（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一點，點為平面內一點，是否存在點、，使得以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．
25．（2024·榕城模擬）在矩形中，點是射線上一動點，連接，過點作于點，交直線于點．
（1）當矩形是正方形時，以點為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．
①如圖1，若點在線段上，則線段與之間的數量關系是________，位置關系是________；
②如圖2，若點在線段的延長線上，①中的結論還成立嗎？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；
（2）如圖3，若點在線段上，以和為鄰邊作，是中點，連接，，．
①求面積的最大值；
②直接寫出的最小值是________．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】絕對值的概念與意義
【解析】【解答】解：∵，
∴質量為－0.5的籃球最接近標準質量，
故答案為：B．
【分析】根據絕對值最小的最接近標準質量可得答案．
2．【答案】D
【知識點】有理數的乘方法則；化簡含絕對值有理數；求算術平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、-（-2）2=-4，故A不符合題意；
B、|-2|=2，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、∵，
∴ ，故D符合題意；
故答案為：D.
【分析】利用負數的偶次方是正數，可對A作出判斷；再利用負數的絕對值等于它的相反數，可對B作出判斷；利用正數的算術平方根是正數，可對C作出判斷；然后根據立方根的性質，可對D作出判斷.
3．【答案】C
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：卷紙的主視圖應是：
，
故答案為：C．
【分析】根據簡單幾何體的三視圖即可求出答案.
4．【答案】C
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：由題意可得：
釘尖朝上的概率為
故答案為：C
【分析】根據頻率估計概率即可求出答案.
5．【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【分析】根據矩形性質可得，，，再根據垂直平分線性質可得，則，再根據勾股定理即可求出答案.
6．【答案】A
【知識點】反比例函數的性質
【解析】【解答】解：，和和在反比例函數的圖象上，
，
，，，
，
故答案為：A．
【分析】請根據反比例函數性質，求出各點縱坐標，再比較大小即可求出答案.
7．【答案】B
【知識點】平行線的性質；三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：延長交于點，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案為B；
【分析】延長交于點，根據得到，再根據三角形外角性質即可求出答案.
8．【答案】A
【知識點】分式方程的實際應用
【解析】【解答】解：由題意得：，
故答案為：A．
【分析】根據第二次平均每秒撤離的人數比第一次的多15，結果2000名同學全部撤離的時間比第一次節省了240秒，列出分式方程即可．
9．【答案】C
【知識點】勾股定理；扇形面積的計算；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：因為，且，
所以．
由折疊可知，
，
則．
設長為，
則，
在中，
，
解得，
所以．
又因為余下的陰影部分的面積與右上方的弓形面積相等，
則，
所以．
故答案為：C．
【分析】根據勾股定理可得AB，再根據折疊性質可得，則，設長為，則，根據勾股定理建立方程，解方程可得，再根據三角形面積即可求出答案.
10．【答案】A
【知識點】二次函數圖象與系數的關系
【解析】【解答】解：（），對稱軸為，
∵m=a+b+c，n=9a+3b+c，，
∴a+b+c<9a+3b+c∴a+b<9a+3b<0.
∵a>0，
∴
∴
即
故答案為：A.
【分析】把兩個點坐標帶入拋物線的表達式，根據，得a+b+c<9a+3b+c0整理可得，即可得到t的取值范圍.
11．【答案】2
【知識點】同類二次根式
【解析】【解答】解：由題意可知：，
，
故答案為：2．
【分析】根據最簡二次根式以及同類二次根式定義即可求出答案．
12．【答案】
【知識點】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
【分析】把x看成已知數，用x表示出y即可．
13．【答案】
【知識點】相似三角形的實際應用
【解析】【解答】解：點作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故答案為：．
【分析】點作鏡面的法線，由入射角等于反射角可知，則，由相似三角形的判定定理可得出，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出的長．
14．【答案】
【知識點】反比例函數的圖象；待定系數法求反比例函數解析式；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：過點C作軸于點D，如圖所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴點，
∴，
故答案為：．
【分析】過點C作軸于點D，根據含30°角的直角三角形性質可得，，根據勾股定理可得，，再根據含30°角的直角三角形性質即可求出答案.
15．【答案】①②③
【知識點】頻數（率）分布直方圖；中位數；眾數
【解析】【解答】解：①該學校教職工總人數為（人），故符合題意；
②在小組的教職工人數占該學校全體教職工總人數的比例為，故符合題意；
③由第25個，第26個數據落在這一組，可得教職工年齡的中位數一定落在這一組，符合題意；
④教職工年齡在的總人數最多，但教職工年齡的眾數在哪一組并不確定．不符合題意
故答案為：①②③．
【分析】根據直方圖，可得該學校教職工總人數為（人），即可判斷①； 在小組的教職工人數占該學校全體教職工總人數的比例為，即可判斷②； 根據中位數的定義，即可判斷③；教職工年齡在的總人數最多，但教職工年齡的眾數在哪一組并不確定，即可判斷④．
16．【答案】
【知識點】圓內接正多邊形；旋轉的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；探索規律-圖形的循環規律
【解析】【解答】解：∵正六邊形，
∴每個內角的度數為，即，
∴正六邊形的一個外角為，即與軸正半軸的夾角為，
如圖所示，未旋轉時，連接，正六邊形的邊長為，，過點作于點，
∴，
∵
∴
∴
在中，根據勾股定理得，，
∴，
∴，
當正六邊形繞點順時針旋轉，
∴，即旋轉次，正六邊形回到起始位置，
∴當時，，即旋轉輪后，點回到了原位置，如圖所示，
∵，
∴，即當時，頂點的坐標是，
故答案為：．
【分析】根據正六邊形的特點分別求出每個內角，外角的度數，以及邊長的關系，再根據旋轉的特殊計算出旋轉規律，由此可知當時，點所在位置，由此即可求解．
17．【答案】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
則不等式組的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
18．【答案】（1）解：如圖，線段即為所求，
其中；
（2）解如圖，四邊形即為所求，
其中：，
連接，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為正方形，且面積為．
【知識點】勾股定理；正方形的判定與性質
【解析】【分析】（1）由勾股定理可知當直角邊為1和3時，則斜邊為，由此可得線段；
（2）由勾股定理可知當直角邊為1和2時，則斜邊為，把斜邊作為正方形的邊長即可得到面積為5的正方形．
19．【答案】（1）分式的基本性質
（2）三
（3）解：原式
【知識點】分式的加減法
【解析】【解答】解：（1）上面第二步計算中，中括號里的變形是通分，其依據是分式的基本性質，
故答案為：分式的基本性質；
（2）解：觀察可知，上面的運算過程中第三步出現錯誤，原因是計算減法的時候第二個分式的分子中的符號沒有變號，
故答案為：三；
【分析】（1）根據分式的基本性質即可求出答案.
（2）觀察可知，上面的運算過程中第三步計算減法的時候第二個分式的分子中的符號沒有變號；
（3）根據分式的運算法則，先乘除，后加減，有括號的先算括號內的．
20．【答案】（1）
（2）解：根據并聯電路的特點可知，位置1處必須放完好的元件才能保證形成電路，假設A、B、C中燒壞的元件為A，列樹狀圖如下所示：
由樹狀圖可知一共有6種等可能性的結果數，其中小燈泡能亮的結果數有4種，
∴小燈泡能亮的概率為．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵燒壞的元件安裝到1、2、3處的概率一樣，
∴位置1處安裝被燒壞的元件概率為，
故答案為：；
【分析】（1）根據燒壞的元件安裝到1、2、3處的概率一樣即可得到答案；
（2）根據并聯電路的特點可知，位置1處必須放完好的元件才能保證形成電路，假設A、B、C中燒壞的元件為A，畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果，再求出小燈泡能亮的結果，再根據概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）解：設購買樹苗棵，樹苗棵，根據題意得，
答：計劃購買 樹苗棵，樹苗棵
（2）解：根據題意得，
整理得，
，（不符合題意，舍去）
，
答：該小區實際購買 樹苗共棵．
【知識點】一元二次方程的其他應用；二元一次方程組的實際應用-雞兔同籠問題
【解析】【分析】 (1)典型的二元一次方程的應用問題，和雞兔同籠問題的實質是一樣的；(2)單價是a的代數式，數量也是a的代數式，總價就可以用a的二次式來表示，根據題意找到等量關系就可以解一元二次方程。
22．【答案】（1）證明： ∵，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：連接OC，如圖：
∵與相切于點C，
∴，
∵四邊形是圓內接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）
【知識點】圓周角定理；圓內接四邊形的性質；切線的性質
【解析】【解答】解：（3）∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根據等邊對等角可得，再根據角之間的關系即可求出答案.
（2）連接OC，根據切線性質可得，再根據圓內接四邊形性質可得，根據角之間的關系可得，根據等邊對等角可得，則，由直線平行判定定理可得，則，即，即可求出答案.
（3）根據圓周角定理可得，根據勾股定理可得AB=5，再根據相似三角形判定定理可得，則，代值計算可得，再根據勾股定理即可求出答案.
23．【答案】（1）解：如圖，過點A作，交的延長線于點H，
則，
由題意可知，，，
∴（米），
∴（米），
即A與C之間的距離為500米；
（2）解：設與的交點為M，由題意可知，，
∴四邊形是矩形，
∴米，（米），
米，
由題意可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
∴路線①的步行的時間為（分鐘）
路線②的步行的時間為（分鐘）
∵，
∴走線路①用時更短．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣方向角問題
【解析】【分析】（1）過點A作，交的延長線于點H，利用銳角三角函數定義即可求出答案.
（2）設與的交點為M；利用矩形的性質、解直角三角形可得米，米，根據等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，則米，米，米，再分別求出兩條線路的用時，比較后即可得到結論．
24．【答案】（1），
（2）解：∵，是拋物線上的“夢之點”
∴點，是直線上的點，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴二次函數的頂點，二次函數的對稱軸為，
設拋物線的對稱軸交于，
∴，
∴
∴
．

（3）解：存在，理由如下：
設，
∵以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
當，，
∴點；
當，，
∴點；
綜上所述，點的坐標為：或者．
【知識點】坐標與圖形性質；待定系數法求二次函數解析式；一次函數的實際應用-幾何問題；二次函數-特殊四邊形存在性問題
【解析】【解答】解：∵矩形的頂點坐標分別是，，，，
∴設矩形的“夢之點”為，滿足，，
∴點，，中，是矩形“夢之點”為點，．
故答案為：，．
【分析】（1）根據“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形的內部或邊上；
（2）根據“夢之點”的定義和二次函數的解析式，求得，的坐標；根據二次函數的頂點式，求出拋物線的頂點的坐標，拋物線的對稱軸，根據，即可求出答案.
（3）設，由以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形可得，利用兩點間距離公式建立方程，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）①相等，垂直；
解：②成立，理由是：
當點E在線段的延長線上時，
同理可得：，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴且，
∴，；
（2）解：①連接，
∵，
設，則，
同（1）可得：，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面積，
當時，的面積的最大值為；
②．
【知識點】二次函數的最值；圓內接四邊形的性質；四邊形的綜合
【解析】【解答】解：（1）①∵四邊形為正方形，
∴即，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴且，
∴，，
故答案為：相等；垂直；
（2）②∵，
∴C、E、G、F四點共圓，
∵四邊形是平行四邊形，M為中點，
∴M也是中點，
∴M是四邊形外接圓圓心，
則的最小值為圓M半徑的最小值，
∵，
設，
當時，y取最小值，
∴的最小值為，
故的最小值為．
故答案為：
【分析】（1）①根據正方形性質可得，再根據角之間的關系可得，根據全等三角形判定定理可得，則，再根據等腰直角三角形性質可得，則，由平行四邊形判定定理可得四邊形為平行四邊形，則且，即可求出答案.
②當點E在線段的延長線上時，同理可得：，則，根據等腰直角三角形性質可得，則，由平行四邊形判定定理可得四邊形為平行四邊形，則且，即可求出答案.
（2）①連接，設，則，同（1）可得：，根據相似三角形判定定理可得，則，代值計算可得，根據三角形面積可得的面積，根據二次函數性質可得當時，的面積的最大值為，即可求出答案.
②根據圓內接四邊形判定定理可得C、E、G、F四點共圓，由題意可得M是四邊形外接圓圓心，則的最小值為圓M半徑的最小值，根據勾股定理可得EF，設，結合二次函數性質即可求出答案.
1 / 1

展開更多......

收起↑