資源簡介

廣東省珠海市城東中學2024—2025學年上學期九年級數學期中考試
一、選擇題（共10題，每題3分，共30分）每小題給出四個選項中只有一個是正確的，請把答題卡上對應題目所選的選項涂黑．
1．（2024九上·珠海期中）下列方程為一元二次方程的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2024九上·珠海期中）對于二次函數y=﹣x2﹣1的二次項系數a，一次項系數b，常數項c描述正確的是（　?。?br/>A．a=﹣1，b=﹣1，c=0 B．a=﹣1，b=0，c=1
C．a=﹣1，b=0，c=﹣1 D．a=1，b=0，c=﹣1
3．（2024九上·珠海期中）判斷方程的根的情況是（　?。?br/>A．有一個實根 B．有兩個相等實根
C．有兩個不等實根 D．沒有實根
4．（2024九上·珠海期中）下列運動形式屬于旋轉的是（　?。?br/>A．蕩秋千 B．飛馳的火車 C．傳送帶移動 D．電梯的運行
5．（2024九上·珠海期中）方程的解為（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024九上·珠海期中）把拋物線y=2x2先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的函數表達式為（　?。?br/>A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4
C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4
7．（2024九上·珠海期中）二次函數的圖象與軸的交點是（　?。?br/>A．和 B．和
C．和 D．和
8．（2024九上·珠海期中）我國的乒乓球“夢之隊”在年巴黎奧運賽場上大放異彩，奧運會乒乓球比賽的第一階段是團體賽，賽制為單循環賽（每兩隊之間都賽一場）．計劃分為4組，每組安排場比賽，設每組邀請個球隊參加比賽，可列方程得（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·珠海期中）根據下列表格中的對應值，判斷一元二次方程的一個解的取值范圍是（　　）
0 0.5 1 1.5 2
2 0.25
A． B． C． D．
10．（2024九上·珠海期中）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖，則下列說法正確的有（　?。?br/>①abc＞0；②2a-b=0；③a-b+c≥am2+bm+c；④當x＜1時，y＞0；⑤9a-3b+c=0
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
二、填空題（共5感，每題3分，共15分）
11．（2024九上·珠海期中）一元二次方程的一個解為，則　 ?。?br/>12．（2024九上·珠海期中）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉得到（分別與對應），則的度數為　 　度．
13．（2024九上·珠海期中）若一元二次方程經過配方，變形為的形式，則n的值為　 　．
14．（2024九上·珠海期中）已知二次函數的圖象如圖所示，則時，對應的的取值范圍為　 　．
15．（2024九上·珠海期中）已知拋物線的圖象如圖①所示，現將拋物線在軸下方的部分沿軸翻折，圖象其余部分不變，得到一個新圖象如圖②，當直線與圖象②恰有三個公共點時，則的值為　 　．
三、解答題（一）（共3題，每題7分，共21分）
16．（2024九上·珠海期中）解方程：
17．（2024九上·珠海期中）請將二次函數化為形式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標．
18．（2024九上·珠海期中）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，的頂點均在格點上，點A、B、C的坐標分別是、．
（1）將繞點逆時針旋轉后得到，請在圖中作出，則點的坐標是（______，______）；
（2）連接，則的面積為　 ?。?br/>四、解答題（二）（共3題，每題9分，共27分）
19．（2024九上·珠海期中）已知關于的一元二次方程．
（1）若方程有實數根，求實數的取值范圍；
（2）若方程兩實數根分別為，且滿足，求實數的值．
20．（2024九上·珠海期中）2022年北京冬季奧運會吉祥物“冰墩墩”憨態可掬，深受老百姓喜愛．
（1）據市場調研發現，某工廠今年二月份共生產個“冰墩墩”，為增大生產量，該工廠平均每月生產量增長率相同，四月份該工廠生產了個“冰墩墩”，求該工廠平均每月生產量增長率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售個，每個盈利元，調查發現：每下降元，每天可多售件．如果每天總盈利要達到最大值，則每個“冰墩墩”應降價多少元？
21．（2024九上·珠海期中）閱讀材料：二次函數的應用
小明在學習過程中遇到一個問題：下列兩個兩位數相乘的運算中（兩個乘數的十位上的數都是，個位上的數的和等于），猜想其中哪個積最大，并說明理由．
，，，……，，，
小明結合已學知識做了如下嘗試：
設兩個乘數的積為，其中一個乘數的個位上的數為，則另一個乘數個位上的數為，
根據題意得：
……
（1）問題解決：請幫助小明判斷以上問題中哪個積最大并求出這個最大的積；
（2）問題拓展：下列兩個三位數相乘的運算中（兩個乘數的百位上的數都是，十位上的數與個位上的數組成的數的和等于），用以上方法猜想其中哪個積最大，并說明理由．
，，，……，，，
五、解答題（三）（共2題，第22題13分，第23題14分，共27分）
22．（2024九上·珠海期中）某數學興趣小組的同學在學完一元二次方程后，發現配方法可以求二次三項式的最值：他們對最值問題產生了濃厚興趣，決定進行深入的研究．下面是該學習小組收集的素材，匯總如下．請根據素材幫助他完成相應任務：
關于最值問題的探究
素材1 “主元法”是指在有多個字母的代數式或方程中，選取其中一個字母為主元（未知數），將其它字母看成是常數，這樣可以把一些陌生的代數式或方程轉化為我們熟悉的代數式或方程．例如：當時，方程可以看作關于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常數，則原方程可化為：．這就是一個關于a的一元一次方程了．
素材2 對于一個關于x的二次三項式，除了可以利用配方法求該多項式的最值外，還有其他的方法，比如：令．然后移項可得：再利用根的判別式來確定y的取值范圍，這一方法稱為判別式法．
問題解決
任務1 感受新知：用判別式法求的最小值；
任務2 探索新知：若實數x、y滿足．求的最大值．對于這一問題，該小組的同學有大致的思路，請你幫助他們完成具體計算：首先令，則，將代入原式得________．若將新得到的等式看作關于字母x的一元二次方程，利用判別式可得的最大值為__________；
任務3 應用新知：如圖，在平行四邊形中，，．記，，當最大時，求此時b的值．
23．（2024九上·珠海期中）如圖1，二次函數的圖象交坐標軸于點，，點為軸上一動點．
（1）求二次函數的表達式；
（2）過點作軸分別交線段，拋物線于點，，連接．當時，求的面積；
（3）如圖2，將線段繞點逆時針旋轉90得到線段．
①當點在拋物線上時，求點的坐標；
②點在拋物線上，連接，當平分時，直接寫出點P的坐標．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A、含有兩個未知數，且未知數的最高次不是2，不是一元二次方程，故A不符合題意；
B、，是一元二次方程，故B符合題意；
C、未知數的最高次不是2，不是一元二次方程，故C不符合題意；
D、未知數的最高次不是2，不是一元二次方程，故D不符合題意；
故答案為：B．
【分析】根據一元二次方程的定義，分別進行識別即可。
2．【答案】C
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】對于二次函數y=-x2-1的二次項系數a=-1，一次項系數b=0，常數項c=-1，
故答案為：C．
【分析】二次函數的一般形式y=ax2-+bx+c（a≠0），其中a二次項系數，b一次項系數，c是常數項，據此解答即可.
3．【答案】D
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵，
∴這個一元二次方程沒有實數根．
故答案為：D．
【分析】通過計算得出根的判別式小于0，即可得出方程沒有實根。
4．【答案】A
【知識點】生活中的旋轉現象
【解析】【解答】解：A、蕩秋千，是屬于旋轉，則A符合題意；
B、飛馳的火車，是屬于平移，則B不符合題意；
C、傳送帶移動，是屬于平移，則C不符合題意；
D、電梯的運行，是屬于平移，則D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據旋轉的定義逐項進行判斷即可得出答案。
5．【答案】A
【知識點】直接開平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即或，
∴，．
故答案為：A．
【分析】根據直接開平方解方程即可得出答案。
6．【答案】A
【知識點】二次函數圖象的幾何變換
【解析】【解答】解：把拋物線y=2x2先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的函數解析式為y=2（x+3）2+4．
故選A．
【分析】拋物線y=2x2的頂點坐標為（0，0），則把它向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的頂點坐標為（﹣3，4），然后根據頂點式寫出解析式．
7．【答案】D
【知識點】因式分解法解一元二次方程；二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：在中，當時，解得或，
∴二次函數的圖象與軸的交點是和，
故答案為：D．
【分析】只需令y=0，求出x的值，即可得出答案。
8．【答案】D
【知識點】一元二次方程的其他應用
【解析】【解答】解：根據題意得，，
故答案為：D．
【分析】設每組邀請個球隊參加比賽，根據“每組安排場比賽”列出方程即可.
9．【答案】B
【知識點】利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根據表格中的對應值，
得時，，
得時，，
判斷一元二次方程的解的取值范圍是，
故答案為：B．
【分析】根據表格數據可知0.25對應0.5，-1對應1，即可得出答案。
10．【答案】C
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數的最值；二次函數與不等式（組）的綜合應用；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：①觀察圖象可知：a＜0，由圖象可知拋物線對稱軸為直線x=-1，即=-1，得b＜0，由圖象與y軸的交點可得c＞0，∴abc＞0，所以①正確；
②由圖象可知拋物線對稱軸為直線x=-1，即=-1，解得b=2a，即2a-b=0，所以②正確；
③由圖象可知x=-1時函數有最大值，因為x=-1時y=a-b+c，所以a-b+c≥am2+bm+c，③正確；
⑤∵由圖象可知拋物線y=ax2+bx+c經過點（1，0），且對稱軸為直線x=-1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（-3，0），
即當x=-3時，y=0，即9a-3b+c=0，所以⑤正確；
④由⑤知拋物線與x軸的兩個交點為（1，0）、（-3，0），
所以當-30；當x≤-3或x≥1時，y≥0，所以④錯誤；
所以①②③⑤正確，
故答案為：C．
【分析】首先根據拋物線的開口方向，可得出a＜0，再根據對稱軸的位置可得出b＜0，且b=2a，c=3，故而得出①正確；②正確；再由當x=-1時函數取最大值，可得出③正確；再根據對稱軸得出拋物線與y軸的另一個交點為（-3，0），可得出當-3＜x＜1時， y＞0； 可得出④不正確；且根據（-3，0）可得出⑤正確。故而可得出答案。
11．【答案】
【知識點】已知一元二次方程的根求參數
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的一個解為，
∴將代入方程，得，
解得：，
故答案為：．
【分析】根據題意直接將代入方程求解即可．
12．【答案】130
【知識點】旋轉的性質
【解析】【解答】解：由旋轉的性質可得，，
∴，
故答案為：．
【分析】根據旋轉角度和旋轉性質可求得答案。
13．【答案】10
【知識點】配方法的應用
【解析】【解答】解：由題意得 ：，
即：
即．
故．
故答案為：10．
【分析】根據配方法原方程可整理為：．即可得出n的值為：10.
14．【答案】或
【知識點】二次函數與不等式（組）的綜合應用
【解析】【解答】解：觀察圖象可知，拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為（1，0）、（2，0），且開口向上，
∴當時，x的取值范圍為：或．
故答案為：或．
【分析】觀察函數圖象可知：在拋物線與x軸兩交點外側時，拋物線在x軸上方，即可得出答案。
15．【答案】或
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；二次函數與一次函數的綜合應用；二次函數與一元二次方程的綜合應用；二次函數圖象的對稱變換
【解析】【解答】解：將拋物線=x2-2x-3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，
則翻折上來的部分解析式為y=-x2+2x+3．
∵直線y=x+b平行于y=x，
∴當y=x+b經過點A或者y=x+b與y=-x2+2x+3相切時，直線y=x+b與新圖象恰好有三個不同的交點．
①當直線y=x+b經過點A（-1，0）時，0=-1+b，
∴b=1；
②當y=x+b與y=-x2+2x+3相切時，
只有一組公共解，
即方程x2-x+b-3=0中判別式等于0，
∴△=（-1）2-4（b-3）=0，
∴b=．
綜上，b=1或b=．
故答案為：或
【分析】首先根據題意得出翻折到x軸上方的解析式為：y=-x2+2x+3．然后根據當y=x+b經過點A或者y=x+b與y=-x2+2x+3相切時，直線y=x+b與新圖象恰好有三個不同的交點，可分別求得b的之即可。
16．【答案】解：
∵，
，
∴
解得：
【知識點】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先明確各項的系數，然后根據求根公式進行計算即可求解。
17．【答案】解：
，
∴二次函數的對稱軸為直線，頂點坐標為．
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的性質；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化
【解析】【分析】首先把一般式用配方法轉化成頂點式，即可得出 它的對稱軸和頂點坐標．
18．【答案】（1）解：如圖所示：
點的坐標是：（-4，1）；
（2）5
【知識點】三角形的面積；坐標與圖形變化﹣旋轉；作圖﹣旋轉；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解：（2）如圖，
則
【分析】（1）根據旋轉頂點，旋轉方向和旋轉角即可作出圖形，并根據網格得出點A1的坐標即可；
（2） 利用割補法求三角形的面積即可．
（1）解：如圖，即為所求
則，
故答案為：；
（2）解：如圖，
則
19．【答案】（1）解：由題意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵方程兩實數根分別為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【分析】（1）根據方程有實數根，可得，解不等式求解即可；
（2）利用根與系數的關系，可得出關于m的方程，解方程即可得出m的值。
（1）解：由題意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵方程兩實數根分別為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
20．【答案】（1）解：設該工廠平均每月生產量的增長率為，
依題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該工廠平均每月生產量的增長率為．

（2）解：設每個“冰墩墩”降價元，每天的總利潤為元，
∴每個盈利元，平均每天可多售出個，
依題意得：，
當時，
最大元，
答：每個冰墩墩降元時，每天總利潤最大為元．
【知識點】二次函數的最值；一元二次方程的實際應用-百分率問題；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設該工廠平均每月生產量的增長率為，根據二月份共生產個“冰墩墩”，四月份生產了個“冰墩墩”，可得方程，然后解方程即可解答；
（2）設每個“冰墩墩”降價元，每天的總利潤為元，根據總利潤=單個利潤×銷量，可得總利潤與每個“冰墩墩”降價之間的函數關系式，根據二次函數最值，即可解答．
（1）解：設該工廠平均每月生產量的增長率為，
依題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該工廠平均每月生產量的增長率為．
（2）解：設每個“冰墩墩”降價元，每天的總利潤為元，
∴每個盈利元，平均每天可多售出個，
依題意得：，
當時，
最大元，
答：每個冰墩墩降元時，每天總利潤最大為元．
21．【答案】解：（1） =-（x-5）2+7225
拋物線的對稱軸為：
而對稱軸在自變量取值范圍內（且為整數）
當時，，
所以：最大，最大積為7225．
（2）設兩個乘數的積為，其中一個乘數十位上的數與個位上的數組成的數為，則另一個乘數十位上的數與個位上的數組成的數為，依題意，
得：=-（x-50）5+562500
拋物線的對稱軸為：
而對稱軸在自變量取值范圍內（且為整數）
當時，的積最大．
【知識點】二次函數的最值；列二次函數關系式；二次函數的對稱性及應用
【解析】【分析】（1）由得出=-（x-5）2+7225，根據頂點式即可得出函數的最大值；
（2）設兩個乘數的積為，其中一個乘數十位上的數與個位上的數組成的數為，可得出，進而轉化成
頂點式w=-（x-50）5+562500，即可得出答案。
22．【答案】解：任務1：解：根據素材中的判別式法，令．整理得．
關于x的一元二次方程，，
解得：．故y的最小值為．
任務2：；．
任務3：如圖，過點B作，點E為垂足．
根據題意，，，．
在，，
在中，
即
整理得，，
令，則，代入上式得到一個關于b的一元二次方程：．
解不等式得，則k的最大值為26，即的最大值為26．
把代入得．
解方程得，，
故當最大時，．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：任務2：
令，則．
將代入，得．
把看作是關于x的一元二次方程，則，
解得
則
的最大值為．
故答案為：；．
【分析】任務1：直接利用素材2中的判別式法，令2x2+5x+3=y，然后整理得到關于r的一元二次方程，再利用根的判別△=b2-4ac≥0來確定y的最小值；
任務2：根據題意把4y =2x-2k代入x2—2x-4y =5，整理得到關于x的一元二次方程，再根據判別式法求出k的最大值，即可得出答案.
任務3：過點B作DC的垂線交DC于點E，由60°角的三角函數易得BE和DE的長度關于b的表達式，然后在Rt中應用勾股定理即可得到BD2＝BE2+DE2，這樣就得到關于a、b的等式.根據任務2中的方法，令3a十b＝k，觀察題目所求為b的值，故消掉變量a，于是將a＝代入前面的等式，就可以得到一個關于b的一元二次方程，再由判別式法求出k的最大值，即可通過一元二次方程求出此時的b值.
23．【答案】解：（1）二次函數的圖象經過
解得
（2）由，令
解得
當時，
，則
；
（3）如圖，當點在軸下方時，過點作于點，
由，令，
解得
，
，
將線段繞點逆時針旋轉90得到線段，
，，
設，
點在拋物線上，
解得（舍）
當點在軸上方時，如圖，
過點作于點，設
同理可得
點在拋物線上，
解得（舍去），
綜上所述，或；
②當平方時，點的坐標為或．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；旋轉的性質；正切的概念；二次函數-面積問題
【解析】【解答】（3）②當不平行于軸時，過點作交于點，過點作于點，如圖，
平分，，
，
，
，
當不平行于軸時，重合，
，
當軸時，如圖，
此時
則
綜上所述，當平方時，點的坐標為或．
【分析】(1)把B (0， -2)代入y = a (c + 3) (m - 4)求出a，即可得到二次函數的表達式；
(2)求出Q，C的坐標，算出QC的長度，利用S=×QC x PA即可求得結果；
(3)①構造一線三等角的全等，建立方程求解；
②因為PE平分∠BPD，所以△BPE≌△DPE，得到EB=ED，建立方程求解.
1 / 1廣東省珠海市城東中學2024—2025學年上學期九年級數學期中考試
一、選擇題（共10題，每題3分，共30分）每小題給出四個選項中只有一個是正確的，請把答題卡上對應題目所選的選項涂黑．
1．（2024九上·珠海期中）下列方程為一元二次方程的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A、含有兩個未知數，且未知數的最高次不是2，不是一元二次方程，故A不符合題意；
B、，是一元二次方程，故B符合題意；
C、未知數的最高次不是2，不是一元二次方程，故C不符合題意；
D、未知數的最高次不是2，不是一元二次方程，故D不符合題意；
故答案為：B．
【分析】根據一元二次方程的定義，分別進行識別即可。
2．（2024九上·珠海期中）對于二次函數y=﹣x2﹣1的二次項系數a，一次項系數b，常數項c描述正確的是（　?。?br/>A．a=﹣1，b=﹣1，c=0 B．a=﹣1，b=0，c=1
C．a=﹣1，b=0，c=﹣1 D．a=1，b=0，c=﹣1
【答案】C
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】對于二次函數y=-x2-1的二次項系數a=-1，一次項系數b=0，常數項c=-1，
故答案為：C．
【分析】二次函數的一般形式y=ax2-+bx+c（a≠0），其中a二次項系數，b一次項系數，c是常數項，據此解答即可.
3．（2024九上·珠海期中）判斷方程的根的情況是（　?。?br/>A．有一個實根 B．有兩個相等實根
C．有兩個不等實根 D．沒有實根
【答案】D
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵，
∴這個一元二次方程沒有實數根．
故答案為：D．
【分析】通過計算得出根的判別式小于0，即可得出方程沒有實根。
4．（2024九上·珠海期中）下列運動形式屬于旋轉的是（　　）
A．蕩秋千 B．飛馳的火車 C．傳送帶移動 D．電梯的運行
【答案】A
【知識點】生活中的旋轉現象
【解析】【解答】解：A、蕩秋千，是屬于旋轉，則A符合題意；
B、飛馳的火車，是屬于平移，則B不符合題意；
C、傳送帶移動，是屬于平移，則C不符合題意；
D、電梯的運行，是屬于平移，則D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據旋轉的定義逐項進行判斷即可得出答案。
5．（2024九上·珠海期中）方程的解為（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知識點】直接開平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即或，
∴，．
故答案為：A．
【分析】根據直接開平方解方程即可得出答案。
6．（2024九上·珠海期中）把拋物線y=2x2先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的函數表達式為（　　）
A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4
C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4
【答案】A
【知識點】二次函數圖象的幾何變換
【解析】【解答】解：把拋物線y=2x2先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的函數解析式為y=2（x+3）2+4．
故選A．
【分析】拋物線y=2x2的頂點坐標為（0，0），則把它向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的頂點坐標為（﹣3，4），然后根據頂點式寫出解析式．
7．（2024九上·珠海期中）二次函數的圖象與軸的交點是（　?。?br/>A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【知識點】因式分解法解一元二次方程；二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：在中，當時，解得或，
∴二次函數的圖象與軸的交點是和，
故答案為：D．
【分析】只需令y=0，求出x的值，即可得出答案。
8．（2024九上·珠海期中）我國的乒乓球“夢之隊”在年巴黎奧運賽場上大放異彩，奧運會乒乓球比賽的第一階段是團體賽，賽制為單循環賽（每兩隊之間都賽一場）．計劃分為4組，每組安排場比賽，設每組邀請個球隊參加比賽，可列方程得（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】一元二次方程的其他應用
【解析】【解答】解：根據題意得，，
故答案為：D．
【分析】設每組邀請個球隊參加比賽，根據“每組安排場比賽”列出方程即可.
9．（2024九上·珠海期中）根據下列表格中的對應值，判斷一元二次方程的一個解的取值范圍是（　?。?br/>0 0.5 1 1.5 2
2 0.25
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根據表格中的對應值，
得時，，
得時，，
判斷一元二次方程的解的取值范圍是，
故答案為：B．
【分析】根據表格數據可知0.25對應0.5，-1對應1，即可得出答案。
10．（2024九上·珠海期中）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖，則下列說法正確的有（　?。?br/>①abc＞0；②2a-b=0；③a-b+c≥am2+bm+c；④當x＜1時，y＞0；⑤9a-3b+c=0
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數的最值；二次函數與不等式（組）的綜合應用；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：①觀察圖象可知：a＜0，由圖象可知拋物線對稱軸為直線x=-1，即=-1，得b＜0，由圖象與y軸的交點可得c＞0，∴abc＞0，所以①正確；
②由圖象可知拋物線對稱軸為直線x=-1，即=-1，解得b=2a，即2a-b=0，所以②正確；
③由圖象可知x=-1時函數有最大值，因為x=-1時y=a-b+c，所以a-b+c≥am2+bm+c，③正確；
⑤∵由圖象可知拋物線y=ax2+bx+c經過點（1，0），且對稱軸為直線x=-1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（-3，0），
即當x=-3時，y=0，即9a-3b+c=0，所以⑤正確；
④由⑤知拋物線與x軸的兩個交點為（1，0）、（-3，0），
所以當-30；當x≤-3或x≥1時，y≥0，所以④錯誤；
所以①②③⑤正確，
故答案為：C．
【分析】首先根據拋物線的開口方向，可得出a＜0，再根據對稱軸的位置可得出b＜0，且b=2a，c=3，故而得出①正確；②正確；再由當x=-1時函數取最大值，可得出③正確；再根據對稱軸得出拋物線與y軸的另一個交點為（-3，0），可得出當-3＜x＜1時， y＞0； 可得出④不正確；且根據（-3，0）可得出⑤正確。故而可得出答案。
二、填空題（共5感，每題3分，共15分）
11．（2024九上·珠海期中）一元二次方程的一個解為，則　 ?。?br/>【答案】
【知識點】已知一元二次方程的根求參數
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的一個解為，
∴將代入方程，得，
解得：，
故答案為：．
【分析】根據題意直接將代入方程求解即可．
12．（2024九上·珠海期中）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉得到（分別與對應），則的度數為　 　度．
【答案】130
【知識點】旋轉的性質
【解析】【解答】解：由旋轉的性質可得，，
∴，
故答案為：．
【分析】根據旋轉角度和旋轉性質可求得答案。
13．（2024九上·珠海期中）若一元二次方程經過配方，變形為的形式，則n的值為　 ?。?br/>【答案】10
【知識點】配方法的應用
【解析】【解答】解：由題意得 ：，
即：
即．
故．
故答案為：10．
【分析】根據配方法原方程可整理為：．即可得出n的值為：10.
14．（2024九上·珠海期中）已知二次函數的圖象如圖所示，則時，對應的的取值范圍為　 ?。?br/>【答案】或
【知識點】二次函數與不等式（組）的綜合應用
【解析】【解答】解：觀察圖象可知，拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為（1，0）、（2，0），且開口向上，
∴當時，x的取值范圍為：或．
故答案為：或．
【分析】觀察函數圖象可知：在拋物線與x軸兩交點外側時，拋物線在x軸上方，即可得出答案。
15．（2024九上·珠海期中）已知拋物線的圖象如圖①所示，現將拋物線在軸下方的部分沿軸翻折，圖象其余部分不變，得到一個新圖象如圖②，當直線與圖象②恰有三個公共點時，則的值為　 ?。?br/>【答案】或
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；二次函數與一次函數的綜合應用；二次函數與一元二次方程的綜合應用；二次函數圖象的對稱變換
【解析】【解答】解：將拋物線=x2-2x-3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，
則翻折上來的部分解析式為y=-x2+2x+3．
∵直線y=x+b平行于y=x，
∴當y=x+b經過點A或者y=x+b與y=-x2+2x+3相切時，直線y=x+b與新圖象恰好有三個不同的交點．
①當直線y=x+b經過點A（-1，0）時，0=-1+b，
∴b=1；
②當y=x+b與y=-x2+2x+3相切時，
只有一組公共解，
即方程x2-x+b-3=0中判別式等于0，
∴△=（-1）2-4（b-3）=0，
∴b=．
綜上，b=1或b=．
故答案為：或
【分析】首先根據題意得出翻折到x軸上方的解析式為：y=-x2+2x+3．然后根據當y=x+b經過點A或者y=x+b與y=-x2+2x+3相切時，直線y=x+b與新圖象恰好有三個不同的交點，可分別求得b的之即可。
三、解答題（一）（共3題，每題7分，共21分）
16．（2024九上·珠海期中）解方程：
【答案】解：
∵，
，
∴
解得：
【知識點】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先明確各項的系數，然后根據求根公式進行計算即可求解。
17．（2024九上·珠海期中）請將二次函數化為形式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標．
【答案】解：
，
∴二次函數的對稱軸為直線，頂點坐標為．
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的性質；二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化
【解析】【分析】首先把一般式用配方法轉化成頂點式，即可得出 它的對稱軸和頂點坐標．
18．（2024九上·珠海期中）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，的頂點均在格點上，點A、B、C的坐標分別是、．
（1）將繞點逆時針旋轉后得到，請在圖中作出，則點的坐標是（______，______）；
（2）連接，則的面積為　 ?。?br/>【答案】（1）解：如圖所示：
點的坐標是：（-4，1）；
（2）5
【知識點】三角形的面積；坐標與圖形變化﹣旋轉；作圖﹣旋轉；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解：（2）如圖，
則
【分析】（1）根據旋轉頂點，旋轉方向和旋轉角即可作出圖形，并根據網格得出點A1的坐標即可；
（2） 利用割補法求三角形的面積即可．
（1）解：如圖，即為所求
則，
故答案為：；
（2）解：如圖，
則
四、解答題（二）（共3題，每題9分，共27分）
19．（2024九上·珠海期中）已知關于的一元二次方程．
（1）若方程有實數根，求實數的取值范圍；
（2）若方程兩實數根分別為，且滿足，求實數的值．
【答案】（1）解：由題意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵方程兩實數根分別為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；根據一元二次方程的根的情況求參數
【解析】【分析】（1）根據方程有實數根，可得，解不等式求解即可；
（2）利用根與系數的關系，可得出關于m的方程，解方程即可得出m的值。
（1）解：由題意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵方程兩實數根分別為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
20．（2024九上·珠海期中）2022年北京冬季奧運會吉祥物“冰墩墩”憨態可掬，深受老百姓喜愛．
（1）據市場調研發現，某工廠今年二月份共生產個“冰墩墩”，為增大生產量，該工廠平均每月生產量增長率相同，四月份該工廠生產了個“冰墩墩”，求該工廠平均每月生產量增長率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售個，每個盈利元，調查發現：每下降元，每天可多售件．如果每天總盈利要達到最大值，則每個“冰墩墩”應降價多少元？
【答案】（1）解：設該工廠平均每月生產量的增長率為，
依題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該工廠平均每月生產量的增長率為．

（2）解：設每個“冰墩墩”降價元，每天的總利潤為元，
∴每個盈利元，平均每天可多售出個，
依題意得：，
當時，
最大元，
答：每個冰墩墩降元時，每天總利潤最大為元．
【知識點】二次函數的最值；一元二次方程的實際應用-百分率問題；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設該工廠平均每月生產量的增長率為，根據二月份共生產個“冰墩墩”，四月份生產了個“冰墩墩”，可得方程，然后解方程即可解答；
（2）設每個“冰墩墩”降價元，每天的總利潤為元，根據總利潤=單個利潤×銷量，可得總利潤與每個“冰墩墩”降價之間的函數關系式，根據二次函數最值，即可解答．
（1）解：設該工廠平均每月生產量的增長率為，
依題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該工廠平均每月生產量的增長率為．
（2）解：設每個“冰墩墩”降價元，每天的總利潤為元，
∴每個盈利元，平均每天可多售出個，
依題意得：，
當時，
最大元，
答：每個冰墩墩降元時，每天總利潤最大為元．
21．（2024九上·珠海期中）閱讀材料：二次函數的應用
小明在學習過程中遇到一個問題：下列兩個兩位數相乘的運算中（兩個乘數的十位上的數都是，個位上的數的和等于），猜想其中哪個積最大，并說明理由．
，，，……，，，
小明結合已學知識做了如下嘗試：
設兩個乘數的積為，其中一個乘數的個位上的數為，則另一個乘數個位上的數為，
根據題意得：
……
（1）問題解決：請幫助小明判斷以上問題中哪個積最大并求出這個最大的積；
（2）問題拓展：下列兩個三位數相乘的運算中（兩個乘數的百位上的數都是，十位上的數與個位上的數組成的數的和等于），用以上方法猜想其中哪個積最大，并說明理由．
，，，……，，，
【答案】解：（1） =-（x-5）2+7225
拋物線的對稱軸為：
而對稱軸在自變量取值范圍內（且為整數）
當時，，
所以：最大，最大積為7225．
（2）設兩個乘數的積為，其中一個乘數十位上的數與個位上的數組成的數為，則另一個乘數十位上的數與個位上的數組成的數為，依題意，
得：=-（x-50）5+562500
拋物線的對稱軸為：
而對稱軸在自變量取值范圍內（且為整數）
當時，的積最大．
【知識點】二次函數的最值；列二次函數關系式；二次函數的對稱性及應用
【解析】【分析】（1）由得出=-（x-5）2+7225，根據頂點式即可得出函數的最大值；
（2）設兩個乘數的積為，其中一個乘數十位上的數與個位上的數組成的數為，可得出，進而轉化成
頂點式w=-（x-50）5+562500，即可得出答案。
五、解答題（三）（共2題，第22題13分，第23題14分，共27分）
22．（2024九上·珠海期中）某數學興趣小組的同學在學完一元二次方程后，發現配方法可以求二次三項式的最值：他們對最值問題產生了濃厚興趣，決定進行深入的研究．下面是該學習小組收集的素材，匯總如下．請根據素材幫助他完成相應任務：
關于最值問題的探究
素材1 “主元法”是指在有多個字母的代數式或方程中，選取其中一個字母為主元（未知數），將其它字母看成是常數，這樣可以把一些陌生的代數式或方程轉化為我們熟悉的代數式或方程．例如：當時，方程可以看作關于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常數，則原方程可化為：．這就是一個關于a的一元一次方程了．
素材2 對于一個關于x的二次三項式，除了可以利用配方法求該多項式的最值外，還有其他的方法，比如：令．然后移項可得：再利用根的判別式來確定y的取值范圍，這一方法稱為判別式法．
問題解決
任務1 感受新知：用判別式法求的最小值；
任務2 探索新知：若實數x、y滿足．求的最大值．對于這一問題，該小組的同學有大致的思路，請你幫助他們完成具體計算：首先令，則，將代入原式得________．若將新得到的等式看作關于字母x的一元二次方程，利用判別式可得的最大值為__________；
任務3 應用新知：如圖，在平行四邊形中，，．記，，當最大時，求此時b的值．
【答案】解：任務1：解：根據素材中的判別式法，令．整理得．
關于x的一元二次方程，，
解得：．故y的最小值為．
任務2：；．
任務3：如圖，過點B作，點E為垂足．
根據題意，，，．
在，，
在中，
即
整理得，，
令，則，代入上式得到一個關于b的一元二次方程：．
解不等式得，則k的最大值為26，即的最大值為26．
把代入得．
解方程得，，
故當最大時，．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：任務2：
令，則．
將代入，得．
把看作是關于x的一元二次方程，則，
解得
則
的最大值為．
故答案為：；．
【分析】任務1：直接利用素材2中的判別式法，令2x2+5x+3=y，然后整理得到關于r的一元二次方程，再利用根的判別△=b2-4ac≥0來確定y的最小值；
任務2：根據題意把4y =2x-2k代入x2—2x-4y =5，整理得到關于x的一元二次方程，再根據判別式法求出k的最大值，即可得出答案.
任務3：過點B作DC的垂線交DC于點E，由60°角的三角函數易得BE和DE的長度關于b的表達式，然后在Rt中應用勾股定理即可得到BD2＝BE2+DE2，這樣就得到關于a、b的等式.根據任務2中的方法，令3a十b＝k，觀察題目所求為b的值，故消掉變量a，于是將a＝代入前面的等式，就可以得到一個關于b的一元二次方程，再由判別式法求出k的最大值，即可通過一元二次方程求出此時的b值.
23．（2024九上·珠海期中）如圖1，二次函數的圖象交坐標軸于點，，點為軸上一動點．
（1）求二次函數的表達式；
（2）過點作軸分別交線段，拋物線于點，，連接．當時，求的面積；
（3）如圖2，將線段繞點逆時針旋轉90得到線段．
①當點在拋物線上時，求點的坐標；
②點在拋物線上，連接，當平分時，直接寫出點P的坐標．
【答案】解：（1）二次函數的圖象經過
解得
（2）由，令
解得
當時，
，則
；
（3）如圖，當點在軸下方時，過點作于點，
由，令，
解得
，
，
將線段繞點逆時針旋轉90得到線段，
，，
設，
點在拋物線上，
解得（舍）
當點在軸上方時，如圖，
過點作于點，設
同理可得
點在拋物線上，
解得（舍去），
綜上所述，或；
②當平方時，點的坐標為或．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；旋轉的性質；正切的概念；二次函數-面積問題
【解析】【解答】（3）②當不平行于軸時，過點作交于點，過點作于點，如圖，
平分，，
，
，
，
當不平行于軸時，重合，
，
當軸時，如圖，
此時
則
綜上所述，當平方時，點的坐標為或．
【分析】(1)把B (0， -2)代入y = a (c + 3) (m - 4)求出a，即可得到二次函數的表達式；
(2)求出Q，C的坐標，算出QC的長度，利用S=×QC x PA即可求得結果；
(3)①構造一線三等角的全等，建立方程求解；
②因為PE平分∠BPD，所以△BPE≌△DPE，得到EB=ED，建立方程求解.
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