資源簡介

廣東省廣州市番禺區(qū)廣雅集團、祈福新村學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（2024九上·番禺期中）下列圖形屬于中心對稱圖形的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．（2024九上·番禺期中）已知⊙O的半徑為5．若OP=6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（　?。?br/>A．點P在⊙O內(nèi) B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷
3．（2024九上·番禺期中）將二次函數(shù)的圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2024九上·番禺期中）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為（　　）
A． B．1 C．2 D．0
5．（2024九上·番禺期中）如圖，是的弦，若，點到的距離是，則的半徑是（　?。?br/>A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2024九上·番禺期中）已知點，，都在二次函數(shù)的圖象上，則（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2024九上·番禺期中）青山村種的水稻2023年平均每公頃產(chǎn)，2025年平均每公頃產(chǎn)，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．若設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意列出方程為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·番禺期中）如圖，將Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，連接AD，若∠B＝55°，則∠ADE等于(　　)
A．5° B．10° C．15° D．20°
9．（2024九上·番禺期中）設(shè)是兩個整數(shù)，若定義一種運算“”，，則方程的實數(shù)根是（　?。?br/>A． B． C． D．
10．（2024九上·番禺期中）如圖，菱形的對角線交于原點O，，．將菱形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（　?。?br/>A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11．（2024九上·番禺期中）拋物線 的頂點坐標為　 ?。?br/>12．（2024九上·番禺期中）已知點與點關(guān)于原點對稱，則m＋n的值為　 　．
13．（2024九上·番禺期中）若是方程的解，則代數(shù)式的值為　 ?。?br/>14．（2024九上·番禺期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為延長線上一點．若，則的度數(shù)為　 　．
15．（2024九上·番禺期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為　 　cm．
16．（2024九上·番禺期中）如圖①，點A、B是上兩定點，圓上一動點P從定點B出發(fā)，沿逆時針方向勻速運動到點A，運動時間是，線段的長度是．圖②是y隨x變化的關(guān)系圖象，則圖中m的值是　 　．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（2024九上·番禺期中）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（2024九上·番禺期中）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上．將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)可得到，請畫出，并寫出點的坐標．
19．（2024九上·番禺期中）如圖，，D，E分別是半徑，的中點．求證：．
20．（2024九上·番禺期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，求 的值．
21．（2024九上·番禺期中）如圖所示，某學(xué)校有一道長為米的墻，計劃用米長的圍欄靠墻圍成一個面積為平方米的矩形草坪，求的長．
22．（2024九上·番禺期中）由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．某公司設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在對它的剎車性能（車速不超過）進行測試，測得數(shù)據(jù)如表：
車速
剎車距離
（1）以車速為橫坐標，剎車距離為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并用平滑曲線連接這些點；
（2）若車速和剎車距離的函數(shù)關(guān)系近似看作二次函數(shù)，請求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出的取值范圍）；
（3）若該型汽車某次測試的剎車距離為，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計該車的速度．
23．（2024九上·番禺期中）如圖所示，為的直徑，在中，，交于點，過點作，垂足為點．
（1）證明是的切線；
（2），為上一點，到弦的最大距離為8．
①尺規(guī)作圖作出此時的點，保留作圖痕跡；
②求的長．
24．（2024九上·番禺期中）已知拋物線yx2+mx+m與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，），點P為拋物線在直線AC上方圖象上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線yx2+mx+m在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．
25．（2024九上·番禺期中）在中，，點是外一動點（點，點位于兩側(cè)），連接．
（1）如圖1，點是的中點，連接，當(dāng)為等邊三角形時，的度數(shù)是　?。?br/>（2）如圖2，連接，當(dāng)時，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，是的外接圓，點在上，點為上一點，連接，當(dāng)時，直接寫出面積的最大值及此時線段的長．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、是中心對稱圖形，故A符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故B不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故C不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】
根據(jù)中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，由此逐一判斷即可解答．
2．【答案】C
【知識點】點與圓的位置關(guān)系
【解析】【解答】解：∵OP=6＞5，∴點P與⊙O的位置關(guān)系是點在圓外．
故答案為：C．
【分析】利用點與圓的位置關(guān)系，可得出結(jié)果。
3．【答案】B
【知識點】函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象的幾何變換
【解析】【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)的圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為：．
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律：“上加下減”進行解答即可．
4．【答案】C
【知識點】解一元一次方程；已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根是，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)一元二次方程根的定義，把根代入計算即可解答．
5．【答案】D
【知識點】勾股定理；垂徑定理
【解析】【解答】解：連接，
由題意得：，
∴，
∴，
即的半徑是，
故答案為：D．
【分析】
連接，由垂徑定理得，再由勾股定理求出即可解答．
6．【答案】B
【知識點】二次函數(shù)y=ax²的性質(zhì)
【解析】【解答】解：二次函數(shù)，
拋物線開口向下，對稱軸是軸，當(dāng)時，隨的增大而減小，
點，，都在二次函數(shù)的圖象上，
點關(guān)于對稱軸的對稱點是，
，
，
故答案為：B．
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。
7．【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：
．
故答案為：A．
【分析】
利用青山村種的水稻2025年平均每公頃的產(chǎn)量=青山村種的水稻2023年平均每公頃的產(chǎn)量水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解答即可．
8．【答案】B
【知識點】角的運算；三角形外角的概念及性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，∠CED=∠B=55°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠ADE=∠CED-∠CAD=55°-45°=10°．
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，∠CED=∠B，即可判斷出△ACD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CAD=45°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可解答．
9．【答案】C
【知識點】完全平方公式及運用；解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
整理得：，即，
解得：．
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)題中的新定義將所求方程化為普通方程，左邊化為完全平方式，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解，解答即可．
10．【答案】C
【知識點】菱形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；探索規(guī)律-點的坐標規(guī)律；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵將菱形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，，
∴旋轉(zhuǎn)4次后回到原來的位置，
∵，
∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C在第三象限，
如圖：過點A作軸于點E，延長到點，使，過點作軸于點F，
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為，
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，可得第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C在第三象限，過點A作軸于點E，延長到點，使，過點作軸于點F，再根據(jù)菱形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，即可求得坐標，解答即可.
11．【答案】(1，8)
【知識點】二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的性質(zhì)
【解析】【解答】解：由二次函數(shù)性質(zhì)可知， 的頂點坐標為( ， )
∴ 的頂點坐標為(1，8)
故答案為：(1，8)
【分析】根據(jù)題意可知，本題考察二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式，進行求解．
12．【答案】1
【知識點】關(guān)于原點對稱的點的坐標特征；求代數(shù)式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：點與點關(guān)于原點對稱，
，，
，
故答案為：1．
【分析】
根據(jù)點關(guān)于原點對稱的點的坐標為進行解答即可．
13．【答案】2021
【知識點】求代數(shù)式的值-整體代入求值；已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【分析】
根據(jù)一元二次方程的根的定義，把代入化簡得到，再利用整體代入的思想求值即可解答．
14．【答案】
【知識點】角的運算；圓周角定理；鄰補角
【解析】【解答】解：∵，BCE+BCD=，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【分析】
根據(jù)互為補角的兩個角和為180可求出，再根據(jù)圓周角定理可得，計算即可解答．
15．【答案】42
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，△BCD為等邊三角形，
∴CD=BC=BD=12cm，
在Rt△ACB中，AB===13，
△ACF與△BDF的周長之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），
故答案為：42．
【分析】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=BD；利用旋轉(zhuǎn)角為60度，確定△BCD是等邊三角形，進而得到BC=BD=DC；然后，根據(jù)勾股定理計算出AB的長度；最后，根據(jù)已知條件求出△ACF與△BDF的周長之和，解答即可.
16．【答案】
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理；弧長的計算；通過函數(shù)圖象獲取信息；動點問題的函數(shù)圖象
【解析】【解答】解：從圖②看，當(dāng)時，，即此時A、O、P三點共線，
則圓的半徑為，
當(dāng)時，，
∴是直角三角形，且，
則點P從點B走到A、O、P三點共線的位置時，如圖所示，
此時，走過的角度為，則走過的弧長為，
∴點P的運動速度是 ，
當(dāng)時，，即是等邊三角形，
∴，
∴，
此時點P走過的弧長為：，
∴，
故答案為：．
【分析】
從圖2看，當(dāng)時，，即此時A、O、P三點共線，則圓的半徑為，當(dāng)時，由勾股定理逆定理可知，，則點P從點B走到A、O、P三點共線的位置時，此時，走過的角度為，可求出點P運動的速度，當(dāng)時，，即是等邊三角形，利用弧長公式即可計算點P走過的弧長，從而可算得m的值，解答即可．
17．【答案】解：由方程可知：，，，
，
一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.，
故由求根公式可得．
【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先利用根的判別式驗證是否有根，若有根再通過一元二次方程的求根公式，分別把a、b、c對應(yīng)的值代入計算，再分別寫出兩根即可解答．
18．【答案】解：如圖，即為所求，
∴．
【知識點】點的坐標；坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；作圖﹣旋轉(zhuǎn)
【解析】【分析】
利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出的對應(yīng)點，連接各點，再寫出坐標即可解答．
19．【答案】證明：連接．
在中，，
，
，、分別是半徑和的中點，
，
，
，
．
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系
【解析】【分析】連接，通過等弧所對圓心角相等得到，結(jié)合已知條件利用SAS證明；然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證得，解答即可．
20．【答案】解：∵方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，
∴b2－4a＝0，∴b2＝4a，
將b2＝4a代入
＝ ，
＝
＝
＝4.
【知識點】代數(shù)式求值；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用
【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于X的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，得出b2＝4a，再代入要求的式子，再進行整理即可得出答案。
21．【答案】解：設(shè)矩形草坪邊的長為米，則邊的長為米，根據(jù)題意得：
，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
答：的長為米．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】設(shè)矩形草坪邊的長為米，則邊的長為米，根據(jù)圍成一個面積為平方米的矩形草坪，列出一元二次方程，計算后取符合題意的值即可解答．
22．【答案】（1）解：如圖，
（2）解：由題意，設(shè)與的關(guān)系式為，把和代入得
，
∴，
∴與的關(guān)系式為．
（3）解：由題意，由（2）得，，令，則，
解得或（負值舍去），
∴該型汽車某次測試的剎車距離為，估計該車的速度約為．
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；描點法畫函數(shù)圖象；通過函數(shù)圖象獲取信息；用表格表示變量間的關(guān)系；用圖象表示變量間的關(guān)系
【解析】【分析】
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點、連線畫函數(shù)圖象即可解答；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法設(shè)與的關(guān)系式為，把和代入計算求出解析式解答即可；
（3）由（2）解析式，再把代入計算可得車速．
（1）解：如圖，
（2）解：由題意，設(shè)與的關(guān)系式為，
把和代入得
，
∴，
∴與的關(guān)系式為．
（3）解：由題意，由（2）得，，
令，則，
解得或（負值舍去），
∴該型汽車某次測試的剎車距離為，估計該車的速度約為．
23．【答案】（1）證明：連接，，
∵為的直徑，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴是的中位線，
∴．
又∵，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線．
（2）解：①如圖，做的垂直平分線與相交于點，點即為所求．
②如圖，的垂直平分線與相交于點，連接，
∵，
∴．
設(shè)的半徑為r，
在中，，
即
解得，
∴．
∵是的中位線，
∴．
∵為的直徑，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴．
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；三角形的中位線定理
【解析】【分析】（1）連接，，求出，可得，根據(jù)三角形的中位線得出，推出，根據(jù)切線的判定即可得證；
（2）①做的垂直平分線與相交于點，點即為所求；②的垂直平分線與相交于點，連接，根據(jù)勾股定理求出的半徑為r，進而根據(jù)三角形的面積即可求得，解答即可．
（1）證明：連接，，
∵為的直徑，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴是的中位線，
∴．
又∵，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線．
（2）解：①如圖，做的垂直平分線與相交于點，點即為所求．
②如圖，的垂直平分線與相交于點，連接，
∵，
∴．
設(shè)的半徑為r，
在中，，
即
解得，
∴．
∵是的中位線，
∴．
∵為的直徑，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴．
24．【答案】解：（1）將點C（0，）代入拋物線解析式得：，解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
∴令，解得：，，
∴A、B坐標分別為：，，
設(shè)直線AC的解析式為：，
將和代入得：
，解得：，
∴直線AC的解析式為：，
如圖所示，過P點作PQ⊥x軸，交AC于Q點，
∵P點在位于直線AC上方的拋物線上，
∴設(shè)，則，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴拋物線開口向下，當(dāng)時，取得的最大值，最大值為，
此時，將代入拋物線解析式得：，
∴當(dāng)時，取得的最大值，最大值為；
（3）如圖所示，拋物線yx2+mx+m在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．
由（1）可知，原拋物線頂點坐標為，
∴沿x軸向下翻折后，圖象G的頂點坐標為，圖象G的解析式為：；
∵圖象G沿著直線AC平移，
∴作直線BS∥AC，交PC于S點，則隨著平移過程，點B在直線BS上運動，
分如下情況討論：
①當(dāng)圖象G沿直線AC平移至B點恰好經(jīng)過S點時，如圖中M1所示，
此時，平移后的圖象M恰好與線段PC有一個交點，即為S點，
由（2）知，，以及直線AC的解析式為，
∴設(shè)直線BS的解析式為：，
將代入得：，
∴直線BS的解析式為：；
設(shè)直線PC的解析式為：，
將，代入得：
，解得：，
∴直線PC的解析式為：；
聯(lián)立，解得：，
即：S點的坐標為，
∴此時點平移至，等同于向左平移個單位，向上平移個單位，
即：當(dāng)平移后的圖象M與線段PC恰好僅有一個交點時，可由原圖像G向左平移個單位，向上平移個單位，
∵原圖像G的頂點坐標為：，
∴平移后圖象M1的頂點的橫坐標；
②當(dāng)圖象G沿直線AC平移至恰好經(jīng)過C點時，如圖中M2所示，
設(shè)圖象G與直線AC的交點為R，
聯(lián)立，解得：或，
∴點R的坐標為：，
由平移至，等同于向右平移2個單位，向下平移1個單位，
∴當(dāng)平移后的圖象M與線段PC恰好僅有一個交點時，可由原圖像G向右平移2個單位，向下平移1各單位，
∵原圖像G的頂點坐標為：，
∴平移后圖象M2的頂點的橫坐標；
∴當(dāng)圖象G在M1和M2之間平移時，均能滿足與線段PC有且僅有一個交點，
此時，圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：；
③當(dāng)圖象G沿直線AC平移至A點恰好經(jīng)過C點時，如圖中M3所示，
此時，由平移至，等同于向右平移5個單位，向下平移個單位，
即：原圖像G向右平移5個單位，向下平移個單位，得到圖象M3，
∵原圖像G的頂點坐標為：，
∴平移后圖象M3的頂點的橫坐標；
綜上所述，當(dāng)新的圖象M與線段PC只有一個交點時，圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：或．

【知識點】一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的轉(zhuǎn)化
【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法將點C（0，）代入拋物線解析式，計算即可解答；
（2）先求出A點坐標，以及直線AC的解析式，再過P點作PQ⊥x軸，交AC于Q點，通過設(shè)P、Q兩點的坐標，建立出關(guān)于的二次函數(shù)表達式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值，并求出此時對應(yīng)的P點坐標即可解答；
（3）先根據(jù)題意畫出基本圖像G，然后結(jié)合平移的性質(zhì)確定B點的運動軌跡，以及其直線解析式，根據(jù)題目要求和平移的性質(zhì)可以確定點B平移至恰好在PC上時，以及圖象G與直線AC的交點R，經(jīng)過平移至C點時，滿足要求，應(yīng)注意，當(dāng)A點平移后經(jīng)過C點時，此時也可滿足圖象M與PC僅有一個交點，即為C點，此情況應(yīng)單獨求解，解答即可．
25．【答案】（1）
（2）解：線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：
過點作交的延長線于點，如圖2所示：
則，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）最大值為，
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形的外接圓與外心
【解析】【解答】解：（1）∵，，點是的中點，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（3）連接，如圖3所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的外接圓，
∴是的中點，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵是定值，
∴點到的距離最大時，面積的面積最大，
∵是的直徑，
過點作于，延長與的交點恰好是點時，點到的距離最大，面積的面積最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
此時，在中，，
在中，，
在中，，
由（2）知，，
∴
∴（舍去不符合題意），
∴，
即面積的面積最大值為，此時，．
故答案為：最大值為，.
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，再由等邊三角形的性質(zhì)得，，然后求出，即可求解；
（2）過點作交的延長線于點，證，得，由此解答即可；
（3）連接，由勾股定理得，過點作于，延長交圓于點，此時點到的距離最大，面積的面積最大，然后由三角形面積求出，則，即可求解三角形的面積最大值，最后用勾股定理借助（2）的結(jié)論求出，即可求出，即可解答．
（1）解：∵，，點是的中點，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：
過點作交的延長線于點，如圖2所示：
則，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：連接，如圖3所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的外接圓，
∴是的中點，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵是定值，
∴點到的距離最大時，面積的面積最大，
∵是的直徑，
過點作于，延長與的交點恰好是點時，點到的距離最大，面積的面積最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
此時，在中，，
在中，，
在中，，
由（2）知，，
∴
∴（舍去不符合題意），
∴，
即面積的面積最大值為，此時，．
1 / 1廣東省廣州市番禺區(qū)廣雅集團、祈福新村學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（2024九上·番禺期中）下列圖形屬于中心對稱圖形的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、是中心對稱圖形，故A符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故B不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故C不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】
根據(jù)中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，由此逐一判斷即可解答．
2．（2024九上·番禺期中）已知⊙O的半徑為5．若OP=6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（　?。?br/>A．點P在⊙O內(nèi) B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷
【答案】C
【知識點】點與圓的位置關(guān)系
【解析】【解答】解：∵OP=6＞5，∴點P與⊙O的位置關(guān)系是點在圓外．
故答案為：C．
【分析】利用點與圓的位置關(guān)系，可得出結(jié)果。
3．（2024九上·番禺期中）將二次函數(shù)的圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象的幾何變換
【解析】【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)的圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為：．
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律：“上加下減”進行解答即可．
4．（2024九上·番禺期中）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為（　?。?br/>A． B．1 C．2 D．0
【答案】C
【知識點】解一元一次方程；已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根是，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)一元二次方程根的定義，把根代入計算即可解答．
5．（2024九上·番禺期中）如圖，是的弦，若，點到的距離是，則的半徑是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知識點】勾股定理；垂徑定理
【解析】【解答】解：連接，
由題意得：，
∴，
∴，
即的半徑是，
故答案為：D．
【分析】
連接，由垂徑定理得，再由勾股定理求出即可解答．
6．（2024九上·番禺期中）已知點，，都在二次函數(shù)的圖象上，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】二次函數(shù)y=ax²的性質(zhì)
【解析】【解答】解：二次函數(shù)，
拋物線開口向下，對稱軸是軸，當(dāng)時，隨的增大而減小，
點，，都在二次函數(shù)的圖象上，
點關(guān)于對稱軸的對稱點是，
，
，
故答案為：B．
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。
7．（2024九上·番禺期中）青山村種的水稻2023年平均每公頃產(chǎn)，2025年平均每公頃產(chǎn)，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．若設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意列出方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：
．
故答案為：A．
【分析】
利用青山村種的水稻2025年平均每公頃的產(chǎn)量=青山村種的水稻2023年平均每公頃的產(chǎn)量水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解答即可．
8．（2024九上·番禺期中）如圖，將Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，連接AD，若∠B＝55°，則∠ADE等于(　　)
A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】B
【知識點】角的運算；三角形外角的概念及性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，∠CED=∠B=55°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠ADE=∠CED-∠CAD=55°-45°=10°．
故答案為：B．
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，∠CED=∠B，即可判斷出△ACD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CAD=45°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可解答．
9．（2024九上·番禺期中）設(shè)是兩個整數(shù)，若定義一種運算“”，，則方程的實數(shù)根是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】完全平方公式及運用；解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
整理得：，即，
解得：．
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)題中的新定義將所求方程化為普通方程，左邊化為完全平方式，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解，解答即可．
10．（2024九上·番禺期中）如圖，菱形的對角線交于原點O，，．將菱形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】菱形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；探索規(guī)律-點的坐標規(guī)律；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵將菱形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，，
∴旋轉(zhuǎn)4次后回到原來的位置，
∵，
∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C在第三象限，
如圖：過點A作軸于點E，延長到點，使，過點作軸于點F，
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為，
故答案為：C．
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，可得第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C在第三象限，過點A作軸于點E，延長到點，使，過點作軸于點F，再根據(jù)菱形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，即可求得坐標，解答即可.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11．（2024九上·番禺期中）拋物線 的頂點坐標為　 ?。?br/>【答案】(1，8)
【知識點】二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的性質(zhì)
【解析】【解答】解：由二次函數(shù)性質(zhì)可知， 的頂點坐標為( ， )
∴ 的頂點坐標為(1，8)
故答案為：(1，8)
【分析】根據(jù)題意可知，本題考察二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式，進行求解．
12．（2024九上·番禺期中）已知點與點關(guān)于原點對稱，則m＋n的值為　 ?。?br/>【答案】1
【知識點】關(guān)于原點對稱的點的坐標特征；求代數(shù)式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：點與點關(guān)于原點對稱，
，，
，
故答案為：1．
【分析】
根據(jù)點關(guān)于原點對稱的點的坐標為進行解答即可．
13．（2024九上·番禺期中）若是方程的解，則代數(shù)式的值為　 ?。?br/>【答案】2021
【知識點】求代數(shù)式的值-整體代入求值；已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【分析】
根據(jù)一元二次方程的根的定義，把代入化簡得到，再利用整體代入的思想求值即可解答．
14．（2024九上·番禺期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為延長線上一點．若，則的度數(shù)為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】角的運算；圓周角定理；鄰補角
【解析】【解答】解：∵，BCE+BCD=，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【分析】
根據(jù)互為補角的兩個角和為180可求出，再根據(jù)圓周角定理可得，計算即可解答．
15．（2024九上·番禺期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為　 　cm．
【答案】42
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，△BCD為等邊三角形，
∴CD=BC=BD=12cm，
在Rt△ACB中，AB===13，
△ACF與△BDF的周長之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），
故答案為：42．
【分析】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=BD；利用旋轉(zhuǎn)角為60度，確定△BCD是等邊三角形，進而得到BC=BD=DC；然后，根據(jù)勾股定理計算出AB的長度；最后，根據(jù)已知條件求出△ACF與△BDF的周長之和，解答即可.
16．（2024九上·番禺期中）如圖①，點A、B是上兩定點，圓上一動點P從定點B出發(fā)，沿逆時針方向勻速運動到點A，運動時間是，線段的長度是．圖②是y隨x變化的關(guān)系圖象，則圖中m的值是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理；弧長的計算；通過函數(shù)圖象獲取信息；動點問題的函數(shù)圖象
【解析】【解答】解：從圖②看，當(dāng)時，，即此時A、O、P三點共線，
則圓的半徑為，
當(dāng)時，，
∴是直角三角形，且，
則點P從點B走到A、O、P三點共線的位置時，如圖所示，
此時，走過的角度為，則走過的弧長為，
∴點P的運動速度是 ，
當(dāng)時，，即是等邊三角形，
∴，
∴，
此時點P走過的弧長為：，
∴，
故答案為：．
【分析】
從圖2看，當(dāng)時，，即此時A、O、P三點共線，則圓的半徑為，當(dāng)時，由勾股定理逆定理可知，，則點P從點B走到A、O、P三點共線的位置時，此時，走過的角度為，可求出點P運動的速度，當(dāng)時，，即是等邊三角形，利用弧長公式即可計算點P走過的弧長，從而可算得m的值，解答即可．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（2024九上·番禺期中）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】解：由方程可知：，，，
，
一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.，
故由求根公式可得．
【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先利用根的判別式驗證是否有根，若有根再通過一元二次方程的求根公式，分別把a、b、c對應(yīng)的值代入計算，再分別寫出兩根即可解答．
18．（2024九上·番禺期中）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上．將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)可得到，請畫出，并寫出點的坐標．
【答案】解：如圖，即為所求，
∴．
【知識點】點的坐標；坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；作圖﹣旋轉(zhuǎn)
【解析】【分析】
利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出的對應(yīng)點，連接各點，再寫出坐標即可解答．
19．（2024九上·番禺期中）如圖，，D，E分別是半徑，的中點．求證：．
【答案】證明：連接．
在中，，
，
，、分別是半徑和的中點，
，
，
，
．
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系
【解析】【分析】連接，通過等弧所對圓心角相等得到，結(jié)合已知條件利用SAS證明；然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證得，解答即可．
20．（2024九上·番禺期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，求 的值．
【答案】解：∵方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，
∴b2－4a＝0，∴b2＝4a，
將b2＝4a代入
＝ ，
＝
＝
＝4.
【知識點】代數(shù)式求值；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用
【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于X的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，得出b2＝4a，再代入要求的式子，再進行整理即可得出答案。
21．（2024九上·番禺期中）如圖所示，某學(xué)校有一道長為米的墻，計劃用米長的圍欄靠墻圍成一個面積為平方米的矩形草坪，求的長．
【答案】解：設(shè)矩形草坪邊的長為米，則邊的長為米，根據(jù)題意得：
，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
答：的長為米．
【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】設(shè)矩形草坪邊的長為米，則邊的長為米，根據(jù)圍成一個面積為平方米的矩形草坪，列出一元二次方程，計算后取符合題意的值即可解答．
22．（2024九上·番禺期中）由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．某公司設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在對它的剎車性能（車速不超過）進行測試，測得數(shù)據(jù)如表：
車速
剎車距離
（1）以車速為橫坐標，剎車距離為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并用平滑曲線連接這些點；
（2）若車速和剎車距離的函數(shù)關(guān)系近似看作二次函數(shù)，請求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出的取值范圍）；
（3）若該型汽車某次測試的剎車距離為，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計該車的速度．
【答案】（1）解：如圖，
（2）解：由題意，設(shè)與的關(guān)系式為，把和代入得
，
∴，
∴與的關(guān)系式為．
（3）解：由題意，由（2）得，，令，則，
解得或（負值舍去），
∴該型汽車某次測試的剎車距離為，估計該車的速度約為．
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；描點法畫函數(shù)圖象；通過函數(shù)圖象獲取信息；用表格表示變量間的關(guān)系；用圖象表示變量間的關(guān)系
【解析】【分析】
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點、連線畫函數(shù)圖象即可解答；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法設(shè)與的關(guān)系式為，把和代入計算求出解析式解答即可；
（3）由（2）解析式，再把代入計算可得車速．
（1）解：如圖，
（2）解：由題意，設(shè)與的關(guān)系式為，
把和代入得
，
∴，
∴與的關(guān)系式為．
（3）解：由題意，由（2）得，，
令，則，
解得或（負值舍去），
∴該型汽車某次測試的剎車距離為，估計該車的速度約為．
23．（2024九上·番禺期中）如圖所示，為的直徑，在中，，交于點，過點作，垂足為點．
（1）證明是的切線；
（2），為上一點，到弦的最大距離為8．
①尺規(guī)作圖作出此時的點，保留作圖痕跡；
②求的長．
【答案】（1）證明：連接，，
∵為的直徑，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴是的中位線，
∴．
又∵，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線．
（2）解：①如圖，做的垂直平分線與相交于點，點即為所求．
②如圖，的垂直平分線與相交于點，連接，
∵，
∴．
設(shè)的半徑為r，
在中，，
即
解得，
∴．
∵是的中位線，
∴．
∵為的直徑，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴．
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；三角形的中位線定理
【解析】【分析】（1）連接，，求出，可得，根據(jù)三角形的中位線得出，推出，根據(jù)切線的判定即可得證；
（2）①做的垂直平分線與相交于點，點即為所求；②的垂直平分線與相交于點，連接，根據(jù)勾股定理求出的半徑為r，進而根據(jù)三角形的面積即可求得，解答即可．
（1）證明：連接，，
∵為的直徑，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴是的中位線，
∴．
又∵，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線．
（2）解：①如圖，做的垂直平分線與相交于點，點即為所求．
②如圖，的垂直平分線與相交于點，連接，
∵，
∴．
設(shè)的半徑為r，
在中，，
即
解得，
∴．
∵是的中位線，
∴．
∵為的直徑，
∴．
又∵，是等腰三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴．
24．（2024九上·番禺期中）已知拋物線yx2+mx+m與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，），點P為拋物線在直線AC上方圖象上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線yx2+mx+m在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．
【答案】解：（1）將點C（0，）代入拋物線解析式得：，解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
∴令，解得：，，
∴A、B坐標分別為：，，
設(shè)直線AC的解析式為：，
將和代入得：
，解得：，
∴直線AC的解析式為：，
如圖所示，過P點作PQ⊥x軸，交AC于Q點，
∵P點在位于直線AC上方的拋物線上，
∴設(shè)，則，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴拋物線開口向下，當(dāng)時，取得的最大值，最大值為，
此時，將代入拋物線解析式得：，
∴當(dāng)時，取得的最大值，最大值為；
（3）如圖所示，拋物線yx2+mx+m在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．
由（1）可知，原拋物線頂點坐標為，
∴沿x軸向下翻折后，圖象G的頂點坐標為，圖象G的解析式為：；
∵圖象G沿著直線AC平移，
∴作直線BS∥AC，交PC于S點，則隨著平移過程，點B在直線BS上運動，
分如下情況討論：
①當(dāng)圖象G沿直線AC平移至B點恰好經(jīng)過S點時，如圖中M1所示，
此時，平移后的圖象M恰好與線段PC有一個交點，即為S點，
由（2）知，，以及直線AC的解析式為，
∴設(shè)直線BS的解析式為：，
將代入得：，
∴直線BS的解析式為：；
設(shè)直線PC的解析式為：，
將，代入得：
，解得：，
∴直線PC的解析式為：；
聯(lián)立，解得：，
即：S點的坐標為，
∴此時點平移至，等同于向左平移個單位，向上平移個單位，
即：當(dāng)平移后的圖象M與線段PC恰好僅有一個交點時，可由原圖像G向左平移個單位，向上平移個單位，
∵原圖像G的頂點坐標為：，
∴平移后圖象M1的頂點的橫坐標；
②當(dāng)圖象G沿直線AC平移至恰好經(jīng)過C點時，如圖中M2所示，
設(shè)圖象G與直線AC的交點為R，
聯(lián)立，解得：或，
∴點R的坐標為：，
由平移至，等同于向右平移2個單位，向下平移1個單位，
∴當(dāng)平移后的圖象M與線段PC恰好僅有一個交點時，可由原圖像G向右平移2個單位，向下平移1各單位，
∵原圖像G的頂點坐標為：，
∴平移后圖象M2的頂點的橫坐標；
∴當(dāng)圖象G在M1和M2之間平移時，均能滿足與線段PC有且僅有一個交點，
此時，圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：；
③當(dāng)圖象G沿直線AC平移至A點恰好經(jīng)過C點時，如圖中M3所示，
此時，由平移至，等同于向右平移5個單位，向下平移個單位，
即：原圖像G向右平移5個單位，向下平移個單位，得到圖象M3，
∵原圖像G的頂點坐標為：，
∴平移后圖象M3的頂點的橫坐標；
綜上所述，當(dāng)新的圖象M與線段PC只有一個交點時，圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：或．

【知識點】一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的轉(zhuǎn)化
【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法將點C（0，）代入拋物線解析式，計算即可解答；
（2）先求出A點坐標，以及直線AC的解析式，再過P點作PQ⊥x軸，交AC于Q點，通過設(shè)P、Q兩點的坐標，建立出關(guān)于的二次函數(shù)表達式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值，并求出此時對應(yīng)的P點坐標即可解答；
（3）先根據(jù)題意畫出基本圖像G，然后結(jié)合平移的性質(zhì)確定B點的運動軌跡，以及其直線解析式，根據(jù)題目要求和平移的性質(zhì)可以確定點B平移至恰好在PC上時，以及圖象G與直線AC的交點R，經(jīng)過平移至C點時，滿足要求，應(yīng)注意，當(dāng)A點平移后經(jīng)過C點時，此時也可滿足圖象M與PC僅有一個交點，即為C點，此情況應(yīng)單獨求解，解答即可．
25．（2024九上·番禺期中）在中，，點是外一動點（點，點位于兩側(cè)），連接．
（1）如圖1，點是的中點，連接，當(dāng)為等邊三角形時，的度數(shù)是　??；
（2）如圖2，連接，當(dāng)時，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，是的外接圓，點在上，點為上一點，連接，當(dāng)時，直接寫出面積的最大值及此時線段的長．
【答案】（1）
（2）解：線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：
過點作交的延長線于點，如圖2所示：
則，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）最大值為，
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形的外接圓與外心
【解析】【解答】解：（1）∵，，點是的中點，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（3）連接，如圖3所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的外接圓，
∴是的中點，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵是定值，
∴點到的距離最大時，面積的面積最大，
∵是的直徑，
過點作于，延長與的交點恰好是點時，點到的距離最大，面積的面積最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
此時，在中，，
在中，，
在中，，
由（2）知，，
∴
∴（舍去不符合題意），
∴，
即面積的面積最大值為，此時，．
故答案為：最大值為，.
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，再由等邊三角形的性質(zhì)得，，然后求出，即可求解；
（2）過點作交的延長線于點，證，得，由此解答即可；
（3）連接，由勾股定理得，過點作于，延長交圓于點，此時點到的距離最大，面積的面積最大，然后由三角形面積求出，則，即可求解三角形的面積最大值，最后用勾股定理借助（2）的結(jié)論求出，即可求出，即可解答．
（1）解：∵，，點是的中點，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：
過點作交的延長線于點，如圖2所示：
則，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：連接，如圖3所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的外接圓，
∴是的中點，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵是定值，
∴點到的距離最大時，面積的面積最大，
∵是的直徑，
過點作于，延長與的交點恰好是點時，點到的距離最大，面積的面積最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
此時，在中，，
在中，，
在中，，
由（2）知，，
∴
∴（舍去不符合題意），
∴，
即面積的面積最大值為，此時，．
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