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廣東省廣州荔灣區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．）
1．（2025八上·荔灣期中）新能源、綠色能源將成為產(chǎn)業(yè)發(fā)展的新趨勢(shì)，下列新能源環(huán)保圖標(biāo)中，圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)圖形
【解析】【解答】解： A、圖案不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)不符合題意；
B、圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)符合題意；
C、圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)不符合題意；
D、圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為∶B．
【分析】如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義并結(jié)合各選項(xiàng)即可判斷求解．
2．（2025八上·荔灣期中）在下列長(zhǎng)度的三條線段中，能組成三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系
【解析】【解答】解：．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
．，能組成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故答案為：．
【分析】利用三角形三邊的關(guān)系（ 三角形兩邊之和大于第三邊，計(jì)算兩個(gè)較小的邊的和，看看是否大于第三邊 ）逐項(xiàng)分析判斷即可.
3．（2025八上·荔灣期中）已知，若，，，則（　　）
A． B． C． D．無(wú)法確定
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案為：A．
【分析】利用全等三角形的性質(zhì)（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）分析求解即可.
4．（2025八上·荔灣期中）如圖，小明做了一個(gè)長(zhǎng)方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請(qǐng)你幫他選擇一個(gè)最好的加固方案(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性
【解析】【解答】解：因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，只有B構(gòu)成了三角形的結(jié)構(gòu)．
故答案為：B．
【分析】利用三角形的穩(wěn)定性和生活常識(shí)分析求解即可.
5．（2025八上·荔灣期中）一副含角和角的直角三角板如圖擺放，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)；對(duì)頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖，
根據(jù)題意得：，，
∴．
故答案為：C.
【分析】先利用對(duì)頂角的性質(zhì)可得，再利用三角形外角的性質(zhì)求出∠1的度數(shù)即可.
6．（2025八上·荔灣期中）如圖，在和中，已知，要使，添加下列的一個(gè)選項(xiàng)后，仍然不能證明是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
A、添加，不能判定兩三角形全等，故此選項(xiàng)符合題意；
B、添加，利用即可得到兩三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、添加，利用即可得到兩三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、添加可以得到，利用即可得到兩三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意．
故答案為：A．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等）、SAS（兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等）、AAS（兩角及其一角對(duì)應(yīng)的邊相等的兩個(gè)三角形全等）、SSS（三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等）逐項(xiàng)分析判斷即可.
7．（2025八上·荔灣期中）如圖，平分，平分，，，，則的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；內(nèi)錯(cuò)角的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案為：D.
【分析】先利用角平分線的定義及平行線的性質(zhì)和等量代換可得，，再利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得，，最后利用線段的和差求出MN的長(zhǎng)即可.
8．（2025八上·荔灣期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)．
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
解得：，
，
，
故答案為：B．
【分析】設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形外角的性質(zhì)可得，再利用三角形的內(nèi)角和可得，求出x的值，最后求出即可.
9．（2025八上·荔灣期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=10，DE=2，AB=4， 則AC長(zhǎng)是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：過(guò)作于，
是的角平分線，，
，
，
的面積為10，
的面積為，
，
，
故答案為：D．
【分析】過(guò)作于，利用角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角形的面積公式及割補(bǔ)法求出的面積為，最后求出AC的長(zhǎng)即可.
10．（2025八上·荔灣期中）如圖，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．則下列結(jié)論不正確的是（　　）
A．BD＝CE B．BD⊥CE C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念
【解析】【解答】解：如圖，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，設(shè)AD交EF于O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD與△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故A正確，
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故B正確，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故D正確，
若C成立，則∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由題意知，AB不一定等于AD，
∴AF不一定平分∠CAD，故C錯(cuò)誤，
故答案為：C．
【分析】作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，設(shè)AD交EF于O，先利用“SAS”證出△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性質(zhì)可得EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，最后利用角平分線的定義及角的運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷即可.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
11．（2025八上·荔灣期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【分析】利用關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)的特征（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)）求解即可.
12．（2025八上·荔灣期中）下圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中、分別表示一樓、二樓地面的水平線，，的長(zhǎng)是，則乘電梯時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)上升的高度是　 　m．
【答案】4
【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如圖，作交的延長(zhǎng)線于，則，
，
∵，
∴，
∵的長(zhǎng)是，
∴，即，
故答案為：4．
【分析】作交的延長(zhǎng)線于，則，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得，即，從而得解.
13．（2025八上·荔灣期中）等腰三角形的一個(gè)外角是，則它的頂角的度數(shù)是　 　．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：一個(gè)外角是，
與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角是，
當(dāng)角是頂角時(shí)，它的頂角度數(shù)是，
當(dāng)角是底角時(shí)，它的頂角度數(shù)是，
綜上所述，它的頂角度數(shù)是或．
故答案為：或．
【分析】分類(lèi)討論：當(dāng)角是頂角時(shí)；當(dāng)角是底角時(shí)，再利用三角形內(nèi)角和求出三角形的頂角即可.
14．（2025八上·荔灣期中）如圖，將三角形紙片沿直線折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕分別交，于點(diǎn)D，E．如果，的周長(zhǎng)為，那么的長(zhǎng)為　 　．
【答案】12
【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）
【解析】【解答】解：∵將沿直線折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，
∴．
∵，的周長(zhǎng)為，
∴．
故答案為：12．
【分析】先利用折疊的性質(zhì)可得，再利用三角形的周長(zhǎng)公式及等量代換求解即可.
15．（2025八上·荔灣期中）如圖，在中，，高，交于點(diǎn)H．若，，則　 　．
【答案】5
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定-ASA；線段的和、差、倍、分的簡(jiǎn)單計(jì)算；三角形的高
【解析】【解答】解：，，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案為：5．
【分析】先利用角的運(yùn)算和等量代換可得，再利用“ASA”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用線段的和差及等量代換求出CH的長(zhǎng)即可.
16．（2025八上·荔灣期中）如圖，在長(zhǎng)方形的對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是　 　．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：根據(jù)題意，若，如圖所示：
此時(shí)與重合，不存在，以此為臨界狀態(tài)，分兩種情況討論：
①如圖所示：
為等腰三角形，，
，
在長(zhǎng)方形中，，，則，
，，
，
是等邊三角形，即；
②如圖所示：
為等腰三角形，
，
，是的一個(gè)外角，
，即，
在長(zhǎng)方形中，，，則，
，，
，
在中，利用三角形內(nèi)角和定理可知：
；
綜上所述，的度數(shù)是或，
故答案為：或．
【分析】分類(lèi)討論：①是等邊三角形，；②是一般，；先分別畫(huà)出圖形，再利用三角形的內(nèi)角和及角的運(yùn)算求解即可.
三、解答題（本大題共9題，共72分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
17．（2025八上·荔灣期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
【答案】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，
依題意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
n﹣2=6﹣1，
n=7．
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7
【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角
【解析】【分析】多邊形的外角和是360度，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求得多邊形的邊數(shù)．
18．（2025八上·荔灣期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）畫(huà)出關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的；
（2）在直線上找一點(diǎn)，使的值最小．
【答案】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，連接交于，則即為所求；
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；作圖﹣軸對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用-最短距離問(wèn)題
【解析】【分析】（1）先利用對(duì)稱(chēng)的特征找出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接即可；
（2）連接交于，則即為所求，從而得解.
19．（2025八上·荔灣期中）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，，求證：．
【答案】證明：，
，
，
，
，
，
．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定-SAS；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
【解析】【分析】先利用線段的和差及等量代換可得AC=BD，再利用“SAS”證出，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得CE=DF.
20．（2025八上·荔灣期中）如圖，中，于D．
（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q（保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法）；
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）解：如圖
（2）解：，
，
又平分，
，
又，
，
，
．
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；直角三角形的性質(zhì)；角平分線的概念；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC、AB于一點(diǎn)，然后再以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫(huà)弧，交于一點(diǎn)，進(jìn)而連接這個(gè)點(diǎn)和A點(diǎn)，交CD于點(diǎn)P，BC于點(diǎn)Q，從而得解；
（2）先利用角的運(yùn)算求出∠CAB的度數(shù)，再利用角平分線的定義可得，最后利用角的運(yùn)算求出的度數(shù)即可.
（1）解：如圖
（2）解：，
，
又平分，
，
又，
，
，
．
21．（2025八上·荔灣期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求的度數(shù)；
（2）求證：．
【答案】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】（1）先利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=60°，再利用平行線的性質(zhì)可得，再利用角的運(yùn)算求出∠F的度數(shù)即可；
（2）先證出是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用角的運(yùn)算可得，最后利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)及等量代換可得．
（1）解：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（2025八上·荔灣期中）如圖，在中，，，直線過(guò)頂點(diǎn)，過(guò)分別作直線的垂線，垂足分別為．
（1）求證：；
（2）若，，直接寫(xiě)出的面積．
【答案】（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）6
【知識(shí)點(diǎn)】垂線的概念；三角形的面積；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；異側(cè)一線三垂直全等模型
【解析】【解答】（2）解：由（1）可得，，且，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴的面積為．
故答案為：6.
【分析】（1）先利用角的運(yùn)算和等量代換可得，再利用“AAS”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用線段的和差及等量代換可得；
（2）先求出，再利用三角形的面積公式求解即可.
（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）可得，，且，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴的面積為．
23．（2025八上·荔灣期中）已知：如圖，的角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，，，垂足分別為，．
（1）求證：；
（2）若，，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）證明：連接，
∵D在的中垂線上，
∴，
∵，，平分，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴的周長(zhǎng)為：．
【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）連接CD，先利用角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，再利用“HL”證出，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得；
（2）利用角平分線的定義可得，再利用“AAS”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用三角形的周長(zhǎng)公式及等量代換求解即可.
（1）證明：連接，
∵D在的中垂線上，
∴，
∵，，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴的周長(zhǎng)為：．
24．（2025八上·荔灣期中）問(wèn)題提出：
(1)我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．如圖1，中，，，，P為上一點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，與是偏等積三角形；
問(wèn)題探究：
(2)如圖2，與是偏等積三角形，，，且線段的長(zhǎng)度為正整數(shù)，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____；
問(wèn)題解決：
(3)如圖3，四邊形是一片綠色花園，，，．與是偏等積三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
問(wèn)題拓展：
(4)如圖4，將分別以，，為邊向外作正方形，正方形，正方形，連接，，，則圖中有______組偏等積三角形．
【答案】（1）；
（2）3；
（3）與是偏等積三角形．
理由：如圖3，
，
，
，
，
，
，，
與不全等，
作于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，
，
，
在和中，
，
，
，
，
與面積相等，
與是偏等積三角形；
（4）6
【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；三角形的綜合
【解析】【解答】解：（1）如圖1，連接，
與在、邊上的高相等，
當(dāng)時(shí)，與的面積相等，
，
，
，
與不全等，
與是偏等積三角形；
故答案為：；
（2）如圖2，過(guò)C作交的延長(zhǎng)線于E，
與是偏等積三角形，且與在、邊上的高相等，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
線段的長(zhǎng)度為正整數(shù)，
，
故答案為：3；
（4）如圖4，過(guò)N作的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)Q，
．
四邊形、是則正方形，
，，，
，
又，
，
在和中
，
，
，
和面積相等，
，，，
和不全等，
和是偏等積三角形，
同理：和、和是偏等積三角形，
和、和、和是偏等積三角形，
故圖中共6組是偏等積三角形，
故答案為：6．
【分析】（1）連接BP，先證出與不全等，再利用與的面積相等，可得與是偏等積三角形；
（2）過(guò)C作交的延長(zhǎng)線于E，先利用“AAS”證出，再利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用三角形三邊的關(guān)系分析求解即可；
（3）作于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，先利用“AAS”證出，再利用全等三角形的性質(zhì)可得AG=BF，再結(jié)合與面積相等，即可證出與是偏等積三角形；
（4）過(guò)N作的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)Q，先利用角的運(yùn)算求出，再利用“AAS”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得NP=CQ，再利用和不全等，證出和是偏等積三角形， 同理可得和、和是偏等積三角形，從而得解.
25．（2025八上·荔灣期中）如圖，是等邊的外角內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，，，其中，分別交射線于點(diǎn)、．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）用等式表示線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示：
（2）解：點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
為中垂線，
，，
，
又為等邊三角形，
，
，
，，
；
（3）解：，
證明：在上截取，如圖所示，連接，
，，，
，
，
，
，，
，
為等邊三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先作出點(diǎn)A關(guān)于CN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，再連接AD和CD，從而得解；
（2）先利用中垂線的性質(zhì)可得，，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合，，最后求出的度數(shù)即可；
（3）在上截取，連接，先證出為等邊三角形，再利用“AAS”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用線段的和差及等量代換可得.
（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示：
（2）解：點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
為中垂線，
，，
，
又為等邊三角形，
，
，
，，
；
（3）解：，
證明：在上截取，如圖所示，連接，
，，，
，
，
，
，，
，
為等邊三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
1 / 1廣東省廣州荔灣區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．）
1．（2025八上·荔灣期中）新能源、綠色能源將成為產(chǎn)業(yè)發(fā)展的新趨勢(shì)，下列新能源環(huán)保圖標(biāo)中，圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·荔灣期中）在下列長(zhǎng)度的三條線段中，能組成三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·荔灣期中）已知，若，，，則（　　）
A． B． C． D．無(wú)法確定
4．（2025八上·荔灣期中）如圖，小明做了一個(gè)長(zhǎng)方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請(qǐng)你幫他選擇一個(gè)最好的加固方案(　　)
A． B． C． D．
5．（2025八上·荔灣期中）一副含角和角的直角三角板如圖擺放，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·荔灣期中）如圖，在和中，已知，要使，添加下列的一個(gè)選項(xiàng)后，仍然不能證明是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·荔灣期中）如圖，平分，平分，，，，則的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·荔灣期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·荔灣期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=10，DE=2，AB=4， 則AC長(zhǎng)是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（2025八上·荔灣期中）如圖，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．則下列結(jié)論不正確的是（　　）
A．BD＝CE B．BD⊥CE C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
11．（2025八上·荔灣期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是　 　．
12．（2025八上·荔灣期中）下圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中、分別表示一樓、二樓地面的水平線，，的長(zhǎng)是，則乘電梯時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)上升的高度是　 　m．
13．（2025八上·荔灣期中）等腰三角形的一個(gè)外角是，則它的頂角的度數(shù)是　 　．
14．（2025八上·荔灣期中）如圖，將三角形紙片沿直線折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕分別交，于點(diǎn)D，E．如果，的周長(zhǎng)為，那么的長(zhǎng)為　 　．
15．（2025八上·荔灣期中）如圖，在中，，高，交于點(diǎn)H．若，，則　 　．
16．（2025八上·荔灣期中）如圖，在長(zhǎng)方形的對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是　 　．
三、解答題（本大題共9題，共72分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
17．（2025八上·荔灣期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
18．（2025八上·荔灣期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）畫(huà)出關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的；
（2）在直線上找一點(diǎn)，使的值最小．
19．（2025八上·荔灣期中）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，，求證：．
20．（2025八上·荔灣期中）如圖，中，于D．
（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q（保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法）；
（2）若，求的度數(shù)．
21．（2025八上·荔灣期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求的度數(shù)；
（2）求證：．
22．（2025八上·荔灣期中）如圖，在中，，，直線過(guò)頂點(diǎn)，過(guò)分別作直線的垂線，垂足分別為．
（1）求證：；
（2）若，，直接寫(xiě)出的面積．
23．（2025八上·荔灣期中）已知：如圖，的角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，，，垂足分別為，．
（1）求證：；
（2）若，，求的周長(zhǎng)．
24．（2025八上·荔灣期中）問(wèn)題提出：
(1)我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．如圖1，中，，，，P為上一點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，與是偏等積三角形；
問(wèn)題探究：
(2)如圖2，與是偏等積三角形，，，且線段的長(zhǎng)度為正整數(shù)，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____；
問(wèn)題解決：
(3)如圖3，四邊形是一片綠色花園，，，．與是偏等積三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
問(wèn)題拓展：
(4)如圖4，將分別以，，為邊向外作正方形，正方形，正方形，連接，，，則圖中有______組偏等積三角形．
25．（2025八上·荔灣期中）如圖，是等邊的外角內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，，，其中，分別交射線于點(diǎn)、．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）用等式表示線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)圖形
【解析】【解答】解： A、圖案不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)不符合題意；
B、圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)符合題意；
C、圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)不符合題意；
D、圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為∶B．
【分析】如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義并結(jié)合各選項(xiàng)即可判斷求解．
2．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系
【解析】【解答】解：．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
．，能組成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
．，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故答案為：．
【分析】利用三角形三邊的關(guān)系（ 三角形兩邊之和大于第三邊，計(jì)算兩個(gè)較小的邊的和，看看是否大于第三邊 ）逐項(xiàng)分析判斷即可.
3．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案為：A．
【分析】利用全等三角形的性質(zhì)（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）分析求解即可.
4．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性
【解析】【解答】解：因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，只有B構(gòu)成了三角形的結(jié)構(gòu)．
故答案為：B．
【分析】利用三角形的穩(wěn)定性和生活常識(shí)分析求解即可.
5．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)；對(duì)頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖，
根據(jù)題意得：，，
∴．
故答案為：C.
【分析】先利用對(duì)頂角的性質(zhì)可得，再利用三角形外角的性質(zhì)求出∠1的度數(shù)即可.
6．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
A、添加，不能判定兩三角形全等，故此選項(xiàng)符合題意；
B、添加，利用即可得到兩三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、添加，利用即可得到兩三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、添加可以得到，利用即可得到兩三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意．
故答案為：A．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等）、SAS（兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等）、AAS（兩角及其一角對(duì)應(yīng)的邊相等的兩個(gè)三角形全等）、SSS（三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等）逐項(xiàng)分析判斷即可.
7．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；內(nèi)錯(cuò)角的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案為：D.
【分析】先利用角平分線的定義及平行線的性質(zhì)和等量代換可得，，再利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得，，最后利用線段的和差求出MN的長(zhǎng)即可.
8．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)．
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
解得：，
，
，
故答案為：B．
【分析】設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形外角的性質(zhì)可得，再利用三角形的內(nèi)角和可得，求出x的值，最后求出即可.
9．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：過(guò)作于，
是的角平分線，，
，
，
的面積為10，
的面積為，
，
，
故答案為：D．
【分析】過(guò)作于，利用角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角形的面積公式及割補(bǔ)法求出的面積為，最后求出AC的長(zhǎng)即可.
10．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分線的概念
【解析】【解答】解：如圖，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，設(shè)AD交EF于O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD與△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故A正確，
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故B正確，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故D正確，
若C成立，則∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由題意知，AB不一定等于AD，
∴AF不一定平分∠CAD，故C錯(cuò)誤，
故答案為：C．
【分析】作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，設(shè)AD交EF于O，先利用“SAS”證出△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性質(zhì)可得EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，最后利用角平分線的定義及角的運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷即可.
11．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【分析】利用關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)的特征（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)）求解即可.
12．【答案】4
【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如圖，作交的延長(zhǎng)線于，則，
，
∵，
∴，
∵的長(zhǎng)是，
∴，即，
故答案為：4．
【分析】作交的延長(zhǎng)線于，則，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得，即，從而得解.
13．【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：一個(gè)外角是，
與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角是，
當(dāng)角是頂角時(shí)，它的頂角度數(shù)是，
當(dāng)角是底角時(shí)，它的頂角度數(shù)是，
綜上所述，它的頂角度數(shù)是或．
故答案為：或．
【分析】分類(lèi)討論：當(dāng)角是頂角時(shí)；當(dāng)角是底角時(shí)，再利用三角形內(nèi)角和求出三角形的頂角即可.
14．【答案】12
【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）
【解析】【解答】解：∵將沿直線折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，
∴．
∵，的周長(zhǎng)為，
∴．
故答案為：12．
【分析】先利用折疊的性質(zhì)可得，再利用三角形的周長(zhǎng)公式及等量代換求解即可.
15．【答案】5
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定-ASA；線段的和、差、倍、分的簡(jiǎn)單計(jì)算；三角形的高
【解析】【解答】解：，，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案為：5．
【分析】先利用角的運(yùn)算和等量代換可得，再利用“ASA”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用線段的和差及等量代換求出CH的長(zhǎng)即可.
16．【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：根據(jù)題意，若，如圖所示：
此時(shí)與重合，不存在，以此為臨界狀態(tài)，分兩種情況討論：
①如圖所示：
為等腰三角形，，
，
在長(zhǎng)方形中，，，則，
，，
，
是等邊三角形，即；
②如圖所示：
為等腰三角形，
，
，是的一個(gè)外角，
，即，
在長(zhǎng)方形中，，，則，
，，
，
在中，利用三角形內(nèi)角和定理可知：
；
綜上所述，的度數(shù)是或，
故答案為：或．
【分析】分類(lèi)討論：①是等邊三角形，；②是一般，；先分別畫(huà)出圖形，再利用三角形的內(nèi)角和及角的運(yùn)算求解即可.
17．【答案】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，
依題意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
n﹣2=6﹣1，
n=7．
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7
【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角
【解析】【分析】多邊形的外角和是360度，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求得多邊形的邊數(shù)．
18．【答案】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，連接交于，則即為所求；
【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；作圖﹣軸對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用-最短距離問(wèn)題
【解析】【分析】（1）先利用對(duì)稱(chēng)的特征找出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接即可；
（2）連接交于，則即為所求，從而得解.
19．【答案】證明：，
，
，
，
，
，
．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定-SAS；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
【解析】【分析】先利用線段的和差及等量代換可得AC=BD，再利用“SAS”證出，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得CE=DF.
20．【答案】（1）解：如圖
（2）解：，
，
又平分，
，
又，
，
，
．
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；直角三角形的性質(zhì)；角平分線的概念；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC、AB于一點(diǎn)，然后再以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫(huà)弧，交于一點(diǎn)，進(jìn)而連接這個(gè)點(diǎn)和A點(diǎn)，交CD于點(diǎn)P，BC于點(diǎn)Q，從而得解；
（2）先利用角的運(yùn)算求出∠CAB的度數(shù)，再利用角平分線的定義可得，最后利用角的運(yùn)算求出的度數(shù)即可.
（1）解：如圖
（2）解：，
，
又平分，
，
又，
，
，
．
21．【答案】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】（1）先利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=60°，再利用平行線的性質(zhì)可得，再利用角的運(yùn)算求出∠F的度數(shù)即可；
（2）先證出是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用角的運(yùn)算可得，最后利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)及等量代換可得．
（1）解：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）6
【知識(shí)點(diǎn)】垂線的概念；三角形的面積；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；異側(cè)一線三垂直全等模型
【解析】【解答】（2）解：由（1）可得，，且，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴的面積為．
故答案為：6.
【分析】（1）先利用角的運(yùn)算和等量代換可得，再利用“AAS”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用線段的和差及等量代換可得；
（2）先求出，再利用三角形的面積公式求解即可.
（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）可得，，且，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴的面積為．
23．【答案】（1）證明：連接，
∵D在的中垂線上，
∴，
∵，，平分，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴的周長(zhǎng)為：．
【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）連接CD，先利用角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，再利用“HL”證出，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得；
（2）利用角平分線的定義可得，再利用“AAS”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用三角形的周長(zhǎng)公式及等量代換求解即可.
（1）證明：連接，
∵D在的中垂線上，
∴，
∵，，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴的周長(zhǎng)為：．
24．【答案】（1）；
（2）3；
（3）與是偏等積三角形．
理由：如圖3，
，
，
，
，
，
，，
與不全等，
作于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，
，
，
在和中，
，
，
，
，
與面積相等，
與是偏等積三角形；
（4）6
【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；三角形的綜合
【解析】【解答】解：（1）如圖1，連接，
與在、邊上的高相等，
當(dāng)時(shí)，與的面積相等，
，
，
，
與不全等，
與是偏等積三角形；
故答案為：；
（2）如圖2，過(guò)C作交的延長(zhǎng)線于E，
與是偏等積三角形，且與在、邊上的高相等，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
線段的長(zhǎng)度為正整數(shù)，
，
故答案為：3；
（4）如圖4，過(guò)N作的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)Q，
．
四邊形、是則正方形，
，，，
，
又，
，
在和中
，
，
，
和面積相等，
，，，
和不全等，
和是偏等積三角形，
同理：和、和是偏等積三角形，
和、和、和是偏等積三角形，
故圖中共6組是偏等積三角形，
故答案為：6．
【分析】（1）連接BP，先證出與不全等，再利用與的面積相等，可得與是偏等積三角形；
（2）過(guò)C作交的延長(zhǎng)線于E，先利用“AAS”證出，再利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用三角形三邊的關(guān)系分析求解即可；
（3）作于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，先利用“AAS”證出，再利用全等三角形的性質(zhì)可得AG=BF，再結(jié)合與面積相等，即可證出與是偏等積三角形；
（4）過(guò)N作的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)Q，先利用角的運(yùn)算求出，再利用“AAS”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得NP=CQ，再利用和不全等，證出和是偏等積三角形， 同理可得和、和是偏等積三角形，從而得解.
25．【答案】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示：
（2）解：點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
為中垂線，
，，
，
又為等邊三角形，
，
，
，，
；
（3）解：，
證明：在上截取，如圖所示，連接，
，，，
，
，
，
，，
，
為等邊三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先作出點(diǎn)A關(guān)于CN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，再連接AD和CD，從而得解；
（2）先利用中垂線的性質(zhì)可得，，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合，，最后求出的度數(shù)即可；
（3）在上截取，連接，先證出為等邊三角形，再利用“AAS”證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用線段的和差及等量代換可得.
（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示：
（2）解：點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
為中垂線，
，，
，
又為等邊三角形，
，
，
，，
；
（3）解：，
證明：在上截取，如圖所示，連接，
，，，
，
，
，
，，
，
為等邊三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
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