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8.6.2 直線與平面垂直
一、單選題
1.若直線 與平面 不垂直，那么在平面 內與直線 垂直的直線（ ）
A. 只有一條
B. 有無數條
C. 是平面內的所有直線
D. 不存在
2.在正方體 中，，則點 到平面 的距離為（ ）
A.
B.
C. 2
D. 1
3.在四面體 中， 平面 ，，若 ，則 的長度為（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
4.在四棱錐 中，底面 是邊長為 1 的正方形， 平面 ，且 ，則 與平面 所成角的大小為（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.在三棱錐 中，已知 平面 ，，，。點 是 的中點。下列結論正確的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面
6.在四棱錐 中，底面 是矩形， 平面 ，，，。點 是 的中點。下列結論正確的是（ ）
A. 平面
B.
C.
D. 平面
二、多選題
7.下列說法正確的有（ ）
A. 過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直
B. 過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直
C. 過平面外一點可作無數條直線與已知平面平行
D. 過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直
8.在正三棱錐 中，側棱長為 3，底面邊長為 2， 和 分別為棱 和 的中點，則下列結論中正確的是（ ）
A. 與 所成角的正切值為
B. 與 所成角的正切值為
C. 與面 所成角的余弦值為
D. 與面 所成角的余弦值為
9.設 ， 為不重合的兩條直線，， 為不重合的兩個平面，下列命題正確的是（ ）
A. 若 且 ，則
B. 若 且 ，則
C. 若 且 ，則
D. 若 且 ，則
三、填空題
10.在長方體 中，，則點 到平面 的距離為________。
11.在等腰梯形 中，，，，四邊形 為平行四邊形， 平面 ， 為線段 的中點。若要證明 平面 ，可補充條件____ （寫出一個滿足要求的條件即可）。
12.在正方體 中，，則直線 與平面 所成角的正弦值為________。
四、解答題
13.在四棱錐 中，底面 是矩形， 平面 ，，， 和 分別是 和 的中點。求證：。
在三棱錐 中， 平面 ，，，， 為棱 的中點。求證： 平面 。
15.在長方體中，，，，為的中點，為的中點。
(1) 證明：平面；
(2) 求點到平面的距離。
一、單選題
1.答案：B
解析：即使直線與平面不垂直，平面內仍存在無數條直線與該直線垂直（如平面內與直線的投影垂直的直線）。
2.答案：A
解析：正方體中，對角線 平面 ，點 到平面的距離為對角線長度的一半。，故距離為 。
3.答案：C
解析：由勾股定理，，。
4.答案：B
解析： 與平面 所成角為 ，，，故夾角為 。
5.答案：A
解析：由于 平面 ，根據線面垂直的性質， 和 。
在 中，，，，滿足 ，因此 是直角三角形，且 ，即 。
由于 和 ，且 ，根據線面垂直的判定定理， 平面 。
由于 平面 ，且 平面 ，因此 。
又因為 （因為 平面 ），且 ，根據線面垂直的判定定理， 平面 。
6.答案：A
解析：以點 為坐標原點，、、 分別為 、、 軸正方向，建立空間直角坐標系。
則各點坐標為：，，，，。
計算向量 。
平面 的法向量為 。
計算 ，因此 不垂直于平面 。
但是，由于 平面 ，且 在 上，因此 與 共線，即 。
因此， 平面 。
二、多選題
7.答案：ABC
解析：A、B正確：線面垂直的唯一性定理；
C正確：過平面外一點可作無數條直線平行于平面內任意直線；
D錯誤：過直線外一點可作無數條直線與已知直線垂直（異面垂直或相交垂直）。
8.答案：BC
解析：取 中點 ，連接 ，則 與 所成角為 ，計算得 ；
與面 所成角的正弦值為 ，余弦值為 。
9.答案：BD
解析：B正確：垂直于同一平面的直線平行；
D正確：垂直于同一直線的平面平行；
A、C錯誤：可能異面或相交。
三、填空題
10.答案：
解析：同單選題第2題，點 到平面 的距離為 。
11.答案示例：
解析：需證明 垂直平面 內兩條相交直線（如 和 ），補充 后，結合 即可得證。
12.答案：
解析：直線 與平面 所成角為 ，正弦值為 。
四、解答題
13.證明：
連接 和 。在 和 中，，，所以 ，即 是等腰三角形。
又因為 是 的中點，所以 。
又因為 ，且 是 的中點，所以 。
因為 ，所以 平面 。
因為 平面 ，所以 。
14.證明：
在 中，，，，
∴ ，即 。
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 。
∵ ，∴ 平面 。
15.證明：(1)以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系。
已知，，，為的中點，為的中點，則各點坐標為：，，，，。
所以，，。
根據向量數量積公式，計算向量數量積：
，所以，即。
，所以，即。
因為，且平面，平面，根據直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直，所以平面。
解：(2)由(1)知是平面的一個法向量，。
根據點到平面（平面的法向量為，平面內一點為）的距離公式，則點到平面的距離。
。
。
所以，即點到平面的距離為。

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