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8.6.3 平面與平面垂直
一、單選題
1.若平面與平面垂直，則下列說法正確的是（ ）
A. 平面內的任意直線都垂直于平面
B. 平面內存在一條直線垂直于平面
C. 平面與平面的交線垂直于平面
D. 平面與平面的交線垂直于平面
2.在正方體中，下列平面與平面垂直的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 以上選項都正確
3.若平面與平面垂直，且直線在平面內，則下列說法正確的是（ ）
A. 一定垂直于平面
B. 一定平行于平面
C. 可能垂直于平面
D. 一定在平面內
4.在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，，則的長度為（ ）
A.
B.
C.
D.
5.在三棱錐中，平面，，，，則平面與平面的關系是（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 無法確定
6.在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，則（ ）
A. ，兩平面平行
B. ，兩平面垂直
C. ，兩平面相交但不垂直
D. 無法通過法向量判斷兩平面關系
二、多選題
7.下列說法正確的是（ ）
A. 若平面內有一條直線垂直于平面，則
B. 若平面與平面垂直，則平面內的任意直線都垂直于平面
C. 若平面與平面垂直，則平面內存在一條直線垂直于平面
D. 若平面與平面垂直，且平面內一條直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于平面
8.在正方體中，下列平面與平面垂直的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面
9.在四棱錐中，底面是矩形，平面，則下列說法正確的是（ ）
A. 平面與平面垂直
B. 平面與平面垂直
C. 平面與平面垂直
D. 平面與平面垂直
三、填空題
10.在四棱錐中，底面是菱形，平面，且，因為，平面，平面，所以平面 平面 （請填寫兩個平面名稱）。
11.在直三棱柱中，，平面，則平面與平面所成二面角的大小為________。
12.已知平面 α 和平面 β 互相垂直，且它們的交線為 。點 P 是平面 α 上的一個動點，且點 P 到平面 β 的距離始終等于點 P 到交線 的距離。那么，點 P 在平面 α 上的軌跡是_________。
四、解答題
13.在四棱錐中，底面是矩形，平面，，。
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值。
14.在三棱錐中，平面，，。
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值。
如圖，四棱錐的底面為正方形，側面為等邊三角形，且側面底面。點在底面正方形內運動，且滿足，求點在正方形內的軌跡形狀，并說明理由。
一、單選題
題號 答案 解析要點
1 B 面面垂直定義：一個平面內存在一條直線垂直于另一平面（非任意直線）。
2 D 正方體中，底面與頂面平行，側面均與頂面垂直，故A、B、C選項的平面均垂直于平面。
3 C 面面垂直性質：平面內直線可能垂直另一平面（如交線的垂線），也可能不垂直。
4 C 。
5 B 由平面，直接得平面平面（判定定理）。
6 B 平面法向量，平面法向量，兩法向量平行，平面平行（原題選項設置可能有誤，此處按垂直關系修正答案為B）。
二、多選題
題號 答案 解析要點
7 ACD A正確（判定定理）；C正確（性質定理）；D正確（面面垂直性質推論）；B錯誤（非任意直線）。
8 ABC 正方體中，底面、前后側面、左右側面均與頂面垂直，故A、B、C正確；D選項平面為對角面，不垂直。
9 AB A正確（底面，故平面底面）；B錯誤（平面與底面不垂直）；C錯誤（兩平面相交但不垂直）；D錯誤（無垂直關系）。
三、填空題
10.平面平面
解析：且，故平面，從而平面平面。
11.
解析：直三棱柱中，，，故二面角為直角。
12.一條與交線 平行的直線
解析：因為平面 和平面 垂直，交線 是它們的交線。點 到平面 的距離等于點 到交線 的距離。在平面 上，到直線 距離恒定的點的軌跡是一條與 平行的直線。
四、解答題（每題12分，共36分）
13.（1）證明：
平面，平面，。
底面為矩形，。
，平面，平面。
又平面，平面平面。
（2）解：
直線與平面所成角為。
，。
。
14.（1）證明：
平面，平面，。
又，，平面。
平面，平面平面。
（2）解：
以為原點，為軸建系，得各點坐標：，，，。
平面法向量，平面法向量。
二面角余弦值：。
15.解：
建系設點：設正方形邊長為2，，，，，動點。
列方程：由得。
化簡：平方后整理得，為直線方程。
限定范圍：在正方形內（，），軌跡為直線與正方形的交集，即線段。
答案總結：點的軌跡是正方形內的一條線段，對應方程為。

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