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保密★啟用前
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人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章檢測卷
考試時間：120分鐘 滿分：150分
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.(本題5分)一個三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，高為3，則該三棱柱的體積為（ ）
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
2.(本題5分)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O 、O ，過直線O O 的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（ ）
A. 12π B. 16π
C. 20π D. 24π
3.(本題5分)斜二測畫法是繪制直觀圖的常用方法，下列關(guān)于斜二測畫法和直觀圖的說法正確的是（ ）
A. 矩形的直觀圖一定是矩形
B. 等腰三角形的直觀圖一定是等腰三角形
C. 平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形
D. 菱形的直觀圖一定是菱形
4.(本題5分)已知一個正四棱錐的底面邊長為2，高為3，則該正四棱錐的體積為（ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 12
5.(本題5分)已知圓錐的底面半徑為1，高為3，則該圓錐的體積為（ ）
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
6.(本題5分)下列說法中，錯誤的是（ ）
A. 平面內(nèi)有無數(shù)條直線
B. 兩個平面相交，它們的交線是一條直線
C. 經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面
D. 兩個平面平行，它們之間沒有公共點
7.(本題5分)已知直線a∥平面α，直線b 平面α，則直線a與直線b的位置關(guān)系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 平行或異面
8.(本題5分)在三棱錐中，，且直線與所成的角為，、分別為棱、的中點，則直線與所成角的大小為（ ）
A. B. C. 或 D. 或
9.(本題5分)如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段上的動點（含端點），則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 直線與直線所成角的取值范圍為
C. 的最小值為
D. 若為線段中點，過，，三點的平面截正方體所得的截面的面積為
10.(本題5分)已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題6分，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）
11.(本題6分)如圖，從一個正方體中挖掉一個四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下列可能是該幾何體的截面的為（ ）
A. B. C. D.
12.(本題6分)下列四個命題中，真命題是（ ）
A. 四邊形可以確定一個平面
B. 兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)
C. 若直線，相交，且平面，則直線不在平面內(nèi)
D. 若直線平面，直線平面，則
13.(本題6分)如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點，點為線段上的一個動點，下列說法正確的是（ ）
A. 平面與底面的交線平行于
B. 三棱錐的體積為定值
C. 直線與直線可能相交
D. 的最小值為
14.(本題6分)已知等邊的邊長為，、分別為邊、的中點，將沿折起至，在四棱錐中，下列說法正確的是（ ）
A. 直線平面
B. 當(dāng)四棱錐體積最大時，平面平面
C. 在折起過程中存在某個位置使平面
D. 當(dāng)四棱錐體積最大時，它的各頂點都在球的球面上，則球的表面積為
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
15.(本題5分)如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個直徑為的圓，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的高為______。
16.(本題5分)如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且個頂點、、、在同一個平面內(nèi)。已知球為該八面體的外接球，設(shè)該八面體的體積為，球的體積為，則______。
17.(本題5分)如圖，在三棱錐中，，，，，平面平面，則三棱錐的體積的最大值為________；二面角的正弦值的最小值為________。
四、解答題（本大題共6小題，共61分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
18.(本題10分)單位正方體中，過點作一個等腰三角形的截面，使它與底面成的角。
19.(本題10分)如圖所示，圓臺母線長為，上、下底面半徑分別為，，從母線的中點拉一條繩子繞圓臺側(cè)面一周轉(zhuǎn)到點。
(1)求這條繩長的最小值；
(2)求繩長最短時，圓臺上底面圓周上的點到繩子的最短距離。
(本題10分)如圖正方體，的棱長為，是線段的中點，平面過點、、。
(1)畫出平面截正方體所得的截面（保留作圖痕跡），并求該截面多邊形的面積；
(2)平面截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值。
(本題10分)如圖，在四面體中，。若從直線，，，中任選兩條，則它們互相垂直的概率為。
(1)證明：平面；
(2)若四面體的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值。
(本題10分)如圖， 在正方體中，是的中點。
(1)求異面直線和所成角的大小；
(2)求證：平面；
(3)求和平面所成角的正弦值。
(本題11分)三余弦定理：設(shè)為平面內(nèi)一點，過點的斜線在平面上的正投影為直線，為平面內(nèi)的一條直線，記斜線與直線的夾角（即直線與平面所成角）為，直線與直線的夾角為，直線與直線的夾角為，則。三余弦定理描述了線面角是斜線與平面內(nèi)任意直線所成角的最小值，又稱最小角定理。
(1)證明三余弦定理；
(2)如圖，已知三棱柱，為正三角形，，求直線與底面所成角的正弦值；
(3)已知平行六面體，記為平行六面體體積，為平行六面體表面積，為平行六面體棱長總和，求證：。
答案解析
一、單項選擇題
1.答案：A
解析：三棱柱體積公式為 ，底面為邊長2的等邊三角形，面積 ，高 ，故體積 。
2.答案：A
解析：截面為面積8的正方形，邊長為 ，即圓柱的高和底面直徑均為 ，半徑 。表面積 。
3.答案：C
解析：斜二測畫法中，平行關(guān)系保持不變，故平行四邊形的直觀圖仍為平行四邊形。矩形、等腰三角形、菱形的直觀圖可能因角度和比例變化不再保持原形狀。
4.答案：A
解析：正四棱錐體積公式為 ，底面為邊長2的正方形，面積 ，高 ，故體積 。
5.答案：A
解析：圓錐體積公式為 ，底面半徑 ，高 ，故體積 。
6.答案：C
解析：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面的前提是直線和點確定的直線與已知直線共面（相交或平行）。若為異面直線，則無法確定唯一平面，故C錯誤。
7.答案：D
解析：直線 平面 ，則 與平面 無公共點，直線 ，故 與 無公共點，位置關(guān)系為平行或異面。
8.答案：C
解析：取中點，連接、，則，，故為與所成角的一半或補角的一半，即或，故選C。
9.答案：B
解析：
A正確：三棱錐底面積和高均為定值；
B錯誤：直線與所成角最小值為（非）；
C正確：將面與面展開，最小值為；
D正確：截面為等腰梯形，面積為。
10.答案：C
解析：建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，向量，，余弦值為，故選C。
二、多項選擇題
11.答案：ABC
解析：截面可能為三角形、四邊形（如矩形、梯形），但無法截出五邊形，故選ABC。
12.答案：BC
解析：
A錯誤：空間四邊形不能確定一個平面；
B正確：兩兩相交且不過同一點的三條直線必共面；
C正確：若且與相交，則；
D錯誤：與可能異面或相交。
13.答案：BD
解析：
A錯誤：交線與不平行；
B正確：到平面的距離為定值，體積不變；
C錯誤：與異面；
D正確：將面展開，最小值為。
14.答案：ABD
解析：
A正確：，故平面；
B正確：體積最大時，，即平面底面；
C錯誤：假設(shè)成立則，但，，矛盾；
D正確：球心為底面中心，半徑，表面積。
三、填空題
15.答案：
解析：扇形弧長等于圓周長，即（扇形半徑），圓錐母線長，底面半徑，高。
16.答案：
解析：八面體可分解為兩個正四棱錐，底面邊長為，高為，體積。外接球半徑，體積，故比值為。
17.答案：；
解析：
體積最大時，平面，體積；
二面角正弦值最小值對應(yīng)平面角最小，通過空間向量計算得最小值為。
四、解答題
18.解：
過作截面與底面成角，可選取截面為（等腰三角形）。設(shè)截面與底面夾角為，底面中心為，則，解得，故截面存在且為等邊三角形，邊長為，面積為。
19.解析：
(1) 將圓臺側(cè)面展開為扇環(huán)，母線長，上底弧長，下底弧長，展開后對應(yīng)圓心角，半徑分別為和。繩長最小值為展開圖中到的直線距離，即。
(2) 最短距離為展開圖中扇形圓心到直線的距離減去上底半徑，計算得，故最短距離為。
20.解：
(1) 截面為梯形（為中點），邊長分別為、、、，高為，面積為。
(2) 較小部分為五面體，體積，較大部分體積，比值為。
21.解：
(1) 由概率知、、中兩兩垂直的有2對，又，故且，即平面。
(2) 體積，得，故。以為原點建立坐標(biāo)系，直線的方向向量為，平面的法向量為，所求正弦值為。
22.解：
(1) 連接，則，為異面直線夾角，為等邊三角形，故夾角為。
(2) 連接交于，連接，則，故平面。
(3) 設(shè)到平面的距離為，由等體積法得，故與平面所成角正弦值為。
23.解：
(1) 設(shè)，則，，而，故。
(2) 設(shè)直線與底面所成角為，則，解得，故正弦值為。
(3) 設(shè)棱長為，夾角為，則，，。由柯西不等式，，即。

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