資源簡介

人教版（2024）七（上）數學第二單元質量檢測培優卷
姓名：__________ 班級：__________考號：__________
題號 一 二 三 總分
評分
第Ⅰ卷 客觀題
閱卷人 一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
得分
1．（2024七上·長春期末）如圖，數軸上的點，表示的數分別是、．如果，且，那么該數軸的原點的位置應該在（　　）
A．點的左側 B．點的右側
C．點與點之間且靠近點 D．點與點之間且靠近點
【答案】D
【知識點】有理數的乘法法則；有理數在數軸上的表示；有理數的加法法則
【解析】【解答】解：∵在數軸上，點在點的左側，且，
∴，
∴該數軸的原點在點與點之間，
又∵，
∴該數軸的原點靠近點，
綜上，該數軸的原點的位置應該在點與點之間且靠近點，
故選：D．
【分析】本題考查了數軸的性質、有理數的加法與乘法法則，先根據有理數乘法法則，以及數軸的性質，得到，求得該數軸的原點在點與點之間，結合有理數的加法法則，得到數軸的原點靠近點，由此得到答案．
2． 如果 那么 的值為（　　）.
A．-1 B．1 C．±1 D．不確定
【答案】A
【知識點】絕對值的概念與意義；有理數的加法法則
【解析】【解答】解：∵的值為±1，
∴中有兩個值為1，一個值為-1
∴中有兩個正數，一個負數
∴的值為負
∴
故答案為：-1
【分析】根據絕對值的性質可得的值為±1，結合題意可得中有兩個值為1，一個值為-1，即中有兩個正數，一個負數，根據實數乘法可得的值為負，再化簡即可求出答案.
3．六個整數的積a·b·c·d·e·f=-36，a，b，c，d，e，f互不相等，則a+b+c+d+e+f的和可能是（　　）
A．0 B．10 C．6 D．8
【答案】A
【知識點】有理數的乘法法則
【解析】【解答】解：-36=(-1)×1×(-2)×2×(-3)×3，
∴這六個互不相等的整數是-1、1、-2、2、-3、3，
∴a+b+c+d+e+f=(-1)+1+(-2)+2+(-3)+3=0
故選：A.
【分析】先根據有理數的乘法寫出算式，然后確定出這六個整數，再根據有理數的加法運算法則進行計算即可得解.
4．（2022七上·黃島期末）九宮格起源于中國古代的神秘圖案河圖和洛書.如圖，將，，，，，，，，填入九宮格內，使每行、每列、每條對角線上三個數的和都相等，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則
【解析】【解答】根據題意這九個數的平均數為：，
∴正中間的數為-1，
∴每行、每列、每條對角線上三個數的和都是，
∴第二行左邊的數為：，
∴，
故答案為：A
【分析】先求出九個數的平均數，再根據題意列出算式求出a的值即可。
5．為有理數，下列說法中正確的是（　　）
A．是正數 B．是正數
C．是負數 D．的值不小于
【答案】B
【知識點】有理數的乘方法則
【解析】【解答】解：、當時，，此選項說法錯誤，A不符合題意；
、∵，∴，即是正數，此選項說法正確，B符合題意；
、當時，，此選項說法錯誤，C不符合題意；
、∵，則，∴，的值不大于，此選項說法錯誤，D不符合題意；
故答案為：
【分析】對于A，舉出時即可判斷；對于B，根據即可得到，從而即可判斷；對于C，舉出即可判斷；對于D，根據即可得到，進而即可判斷。
6．（2024七上·上城月考）現定義兩種同級運算“”“”．對于任意兩個整數，，，則的結果是（　　）
A．39 B．90 C．12 D．
【答案】D
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則
【解析】【解答】原式
．
故選：D．
【分析】
先根據新定義1計算出及括號內的結果，再按照新定義2進行計算即可．
7．（2023七上·江陰月考）一只蝸牛從數軸上表示的點出發，第一次向正方向移動1個單位，第二次向反方向移動2個單位，第三次向正方向移動3個單位，第四次向反方向移動4個單位，…，按這樣的規律則蝸牛第101次移動后在數軸上的位置所表示的有理數是（　　）
A． B．48 C． D．49
【答案】B
【知識點】有理數的加、減混合運算；有理數在數軸上的表示
【解析】【解答】解：根據題意，得
，
故答案為：B．
【分析】根據數軸上點的移動規律是“左減右加“，結合題目中蝸牛的運動方式列出算式并進行計算即可.
8．用符號“H”表示一種運算，它對正整數的運算結果如下：H（1）=-2，H（2）=3，H（3）=-4，H（4）=5，…，則H（7）+H（8）+…+H（99）的結果為（　　）
A．- 146 B．- 54 C．- 46 D．46
【答案】B
【知識點】有理數的加、減混合運算
【解析】【解答】解：根據題中的新定義得：
H(7)+H(8)+H(9)+...+H(99)
=-8+9-10+11-12+...-98+99-100
=1+1+1+...+1-100
=46-100
=-54
故答案為：B.
【分析】根據題中的新定義化簡所求式子，計算即可得到結果.
9．（2022七上·石家莊月考）如圖，將數軸上-6與6兩點間的線段六等分，這五個等分點所對應數依次為，，，，，則下列正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】有理數在數軸上的表示；數軸上兩點之間的距離；有理數的加法法則
【解析】【解答】解：根據題意可求出：
A，，故選項錯誤，不符合題意；
B，，故選項錯誤，不符合題意；
C，，故選項正確，符合題意；
D，，故選項錯誤，不符合題意；
故答案為：C
【分析】根據數軸上點的位置關系及等分點的性質即可求出答案.
10．（2023七上·滕州期中）觀察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根據上述算式中的規律，的末位數字是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【知識點】有理數乘方的實際應用
【解析】【解答】解：由題知，
，，，，，，，，，
所以的末位數字按循環出現，
又余2，
所以的末位數字是4．
，，，，，，，，…，
所以的末位數字按循環出現，
又余3，
所以的末位數字是7．
的末位數字是3
故答案為：A
【分析】分別求出的末位數字，再相加即可求出答案.
閱卷人 二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.
得分
11．（2024七上·廣州競賽）計算：的相反數是　 　.
【答案】175
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【解答】解：
∴相反數為175，
故答案為：175.
【分析】根據有理數的混合運算，以及相反數的概念即可求解.
12．定義一種對正整數n的“F運算”：①當n為奇數時，結果為3n＋5；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），并且運算重復進行．例如，取n＝26，則：
若n＝449，則第2020次“F運算”的結果是　 　．
【答案】1
【知識點】有理數的乘方法則
【解析】【解答】解：第一次：，第二次：，
∵其中k是使為奇數的正整數，，
∴，
∴第二次運算：，
第三次：
∵∴計算結果為，
第五次：，第六次：，
∵∴，計算結果為，……
依次為與的循環，當計算次數為奇數時，結果為8；當計算次數為偶數時，結果為1，
∴第2020次“F運算”的結果是1，
故答案為：1
【分析】先分別計算出n=449時第一、二、三、四、五次運算的結果，進而找出規律即可求解。
13．（2024七上·交城期中）如圖，在數軸上點A表示的數是的相反數，點B表示的數是最小的正整數，點C表示的數是絕對值是3的負整數.若將數軸折疊，使得點A與點C重合，則與點B重合的點表示的數是　 　 .
【答案】4
【知識點】有理數的乘方法則；數軸上兩點之間的距離
【解析】【解答】解：在數軸上點表示的數是的相反數，
，
點表示的數是最小的正整數，
，
點表示的數是絕對值是3的負整數，
，
將數軸折疊，點與點重合，
對折點是，
與點重合的點表示的數是．
故答案為：4．
【分析】根據絕對值的性質確定C的值，根據正整數的定義得出的值，根據乘方和相反數的定義得出點表示的數，再根據對折的要求，得出對折點，從而根據對折的性質得出與點重合的點表示的數．
14．（2022七上·義烏月考）如果x、y都是不為0的有理數，則代數式的最小值是 　 　．
【答案】-3
【知識點】絕對值及有理數的絕對值；有理數的加、減混合運算
【解析】【解答】解：當x＞0，y＞0時
；
當x＜0，y＜0時
；
當x＞0，y＜0時，
；
當x＜0，y＞0時
；
-3＜1
∴的最小值為-3.
故答案為：-3
【分析】分情況討論：當x＞0，y＞0時；當x＜0，y＜0時；當x＞0，y＜0時；當x＜0，y＞0時；利用絕對值的性質進行化簡，可求出其結果最小的值.
15．（2024七上·義烏月考）用表示大于的最小整數，例如.用，表示a，b兩數中較大的數，例如，按上述規定，
①　 　.
②如果整數滿足，則的值是　 　.
【答案】-1；12或-4
【知識點】有理數的加、減混合運算
【解析】【解答】解：①；
②當x為非負整數時，原式變為2x=x+1+11，解得x=12；
當x為負整數時，原式變為-2x=x+1+11，解得x=-4；
因此x的值是12或-4.
故答案為：①-1；②12或-4.
【分析】①題，根據條件中的定義先計算出，，最后計算出4-5=-1；②題，因為條件中x是整數，因此要分兩種情況討論并計算，分別是x為非負整數和x為負整數，兩種情況計算結果都符合條件.
第Ⅱ卷 主觀題
閱卷人 三、解答題：本大題共8小題，共75分.
得分
16．怎樣簡便怎樣算
（1）；
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則；有理數的加、減混合運算
【解析】【分析】（1）原式可化為，再計算即可；
（2）將原式化為，計算可得，同分母相加依次計算即可.
（3）將原式化為，先計算分子可得，再約分即可；
（4）將原式化為，先計算括號里，再計算乘法即可.
17．（2024七上·余杭月考）如圖，數軸的單位長度為1，若點和點所表示的兩個數互為相反數．
（1）請在數軸上標出原點，并寫出點，，所表示的數．
（2）若數軸上一點位于點，之間，點到點的距離是它到點距離的3倍，求點所表示的數及點到點的距離．
（3）若數軸上一點到點的距離是3.5，求點到點的距離．
【答案】（1）解：∵ 點和點所表示的兩個數互為相反數 ，
∴A和B的中間位置就是原點O，
數軸上原點O如圖所示，點A，B，C所表示的數分別是，，．
（2）解：∵點到點的距離是它到點距離的3倍，
結合（1）的結論，點A，B，C所表示的數分別是，，，
設P點為x，則有（2-x）=3[x-（-2）]，解得x=-1，
∴點P所表示的數為，
即點到點的距離為：，
∴點P到點C的距離為4
（3）解：∵點P到點O的距離是3.5，
∴點P所表示的數是或，
當點P所表示的數是時，點P到點A點的距離是；
當點P所表示的數是時，點P到點A點的距離是；
∴點P到點A點的距離是1.5或5.5
【知識點】有理數的減法法則；有理數在數軸上的表示；數軸上兩點之間的距離
【解析】【分析】（1）根據點的位置和相反數的定義，可以首先確定原點的位置，再根據“ 數軸的單位長度為1 ”，即可寫出點，，所表示的數；
（2）根據點到點的距離是它到點距離的3倍，可以列式計算并得到點表示的數，然后利用兩點間距離公式計算即可；
（3）先根據點到點的距離是3.5得到點P所表示的數是或，然后分兩種情況計算即可．
（1）數軸上原點O如圖所示，點A，B，C所表示的數分別是，，．
（2）解：∵點到點的距離是它到點距離的3倍，
∴點P所表示的數為，
即點到點的距離為：，
所以點P到點C的距離為4；
（3）因為點P到點O的距離是3.5，
所以點P所表示的數是或，
當點P所表示的數是時，點P到點A點的距離是；
當點P所表示的數是時，點P到點A點的距離是；
所以點P到點A點的距離是1.5或5.5．
18．（2023七上·浙江月考）如圖，將一根木棒放在數軸（單位長度為1cm）上，木棒左端與數軸上的點A重合，右端與數軸上的點B重合．
（1）若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上所對應的數為30；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上所對應的數為6，由此可得這根木棒的長為　 　cm；
（2）圖中點A所表示的數是　 　，點B所表示的數是　 　；
（3）由（1） （2）的啟發，請借助“數軸”這個工具解決下列問題：
一天，妙妙去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現在這么大，你還要37年才出生：你若是我現在這么大，我就119歲啦！”請問奶奶現在多少歲了？
【答案】（1）8
（2）14；22
（3）解：結合（1）（2），將妙妙的年齡記為點A，將奶奶的年齡記為點B，如圖
可知AB==156=52；
所以A表示的數為-37+52=15，即妙妙的年齡為15歲；
B表示的數為15+52=67，即奶奶的年齡為67歲。
答：妙妙的年齡為15歲，奶奶的年齡為67歲。
【知識點】數軸上兩點之間的距離；有理數的加減混合運算的實際應用
【解析】【解答】（1）由圖可知，三段木棒的總長度為30-6=24，故每段長為24÷3=8，故答案為8.
（2）由（1）可知這根木棒的長為8cm，
∴點A表示6+8=14；點B表示6+8+8=22；
故答案為：8；22.
【分析】（1）由圖象可知3倍的AB長為30-6=24 ( cm )，即可求A B的長度；
( 2 ) A點在6的右側，距離6有8個單位長度，故A點為14； B點在A點右側，距離A點有8個單位長度，故B點為22；
( 3 ) 本題考查運用知識的遷移能力，利用數形結合的方法巧妙地解決生活中的問題.由（1）（2）的引導示范，將妙妙的年齡記為點A，將奶奶的年齡記為點B，由“我若是你現在這么大，你還要37年才出生：你若是我現在這么大，我就119歲啦！”
分析出左端數字為-37，右端數字為119：再求出AB的長度，然后可分別求出A、B的值.
19．觀察下列解題過程：
計算：1+2+22+23+……+224+ 225的值．
解：設S=1+2+22+23+……+224+225 ，①
則2S=2+22+23+……+225+226 ，②
②-①，得S=226-1．
通過閱讀，你一定學會了這種解決問題的方法，請用你學到的方法計算：1+3+32+32+……+319+320．
【答案】解：設S=1+3+32+33 +……+319+3020 ，①
則3S=3+32 +33+……+319+320+321 ，②
②-①得2S=321-1，
所以S=
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【分析】根據題意，設S=1+3+32+33 +……+319+3020 ，兩邊乘以3變形后，相減即可求出2S的值，進而就不難求出S的值了.
20．（2024七上·龍華期中）【概念學習】
現規定：求若干個相同且都不等于0的有理數的商的運算叫做除方，例如：，類比有理數的乘方，我們把，寫作：，讀作“2的圈4次方”，，寫作：，讀作“（－3）的圈3次方”，一般地把，寫作：，讀作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接寫出計算結果：_________；_________．
【深入思考】
我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，那么有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？
（2）試一試：仿照上面的算式，把下列除方運算直接寫成冪的形式：
①__________________；
②__________________．
（3）算一算：
【答案】解：（1）1，.
（2）①；②；
（3）原式
．
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則；有理數的乘方法則
【解析】【解答】（1）；．
故答案為：1，；
（2）①；
②．
故答案為：①； ②；
【分析】（1）根據新定義的運算法則，結合除方的定義，進行運算，即可求解；
（2）根據新定義的運算法則，將除方轉化為乘方，進行計算，即可求解；
（3）根據新定義的運算法則，將除方轉化為乘方，再將除法轉化為乘法，進行計算，即可求解．
21．（2017七上·綦江期中）請先閱讀下列一組內容，然后解答問題：
因為： ， ， ，…，
所以：
=
=
= =
問題：
計算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：
=1- = ；
（2）解： =
=
= =
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則
【解析】【分析】（1）觀察所給的式子可知：分子為1，分母是兩個連續自然數的乘積，把每一個分數化成兩個分數差的形式，依此抵消即可求解；
（2）觀察所給的式子可知：分子為1，分母是兩個連續奇數的乘積，把每一個分數提出后化成兩個分數差的形式，依此抵消即可求解．
22．
（1）比較下列各式的大小：
|5|+|3|　 　|5+3|，
|-5|+|-3|　 　|(-5)+(-3)|，
|-5|+|3 |　 　|(-5)+3|，
|0|+|-5|　 　|0+(-5)|．
（2）通過(1)的比較、觀察，請你歸納猜想：
當a，b為有理數時，|a|+|b|　 　|a+b|． (填“≥”“≤”“>”或“<”)
（3）根據以上信息，小華提出：“當|x|+|-2|=|x-2|成立時，x是負數”，你同意他的觀點嗎？請說明理由．
【答案】（1）=；=；>；=
（2）≥
（3）解：不同意，理由如下：
∵x=0時， |x|+|-2|=0+2=2，|x-2| =|0-2|=|-2|=2，
∴ |x|+|-2|=|x-2| ；
當x=-1時， |x|+|-2|=1+2=3，|x-2| =|-1-2|=|-3|=3，
∴ |x|+|-2|=|x-2| ；
∴x應該是非正數，
∴小華的觀點錯誤.
【知識點】有理數的加法
【解析】【解答】解：（1） ∵|5| + |3| = 8，|5 + 3| = 8，
∴|5| + |3| = |5 + 3|；
∵| - 5| + | - 3| = 8，|( - 5) + ( - 3)| = 8，
∴| - 5| + | - 3| = |( - 5) + ( - 3)|；
∵| - 5| + |3| = 8，|( - 5) + 3| = - 2，
∴| - 5| + |3| > |( - 5) + 3|；
∵|0| + | - 5| = 5，|0 + ( - 5)| = 5，
∴|0| + | - 5| = |0 + ( - 5)|.
故答案為：= ，= ，> ，=；
（2） 分三種情況討論：
當a，b異號時，|a|+|b|＞|a+b|；
當a，b同號時，|a|+|b|=|a+b|；
當a=0或b=0時，|a|+|b|=|a+b|．
綜上所述，|a|+|b|≥|a+b|．
故|a|+|b|與|a+b|的大小關系為|a|+|b|≥|a+b|；
故答案為：≥；
【分析】（1）根據有理數的加法法則和絕對值的性質分別計算后比較各組式子的大小即可；
（2）通過（1）的計算，分當a，b異號時，當a，b同號時，當a=0或b=0時，進行歸納即可得出答案；
（3）根據絕對值的意義，利用舉反例的方法即可解答．
23．（2024七上·青秀期中）綜合與實踐
【知識介紹】進位制是人們為了記數和運算方便而約定的記數系統．約定逢十進一就是十進制，逢二進一就是二進制．也就是說，“逢幾進一”就是幾進制，幾進制的基數就是幾．我們常用的數是十進制數，如：要用個數碼（又叫數字）：，，，，，，，，，．在電子計算機中用的二進制，只要兩個數碼：和，如二進制中：等于十進制的數，等于十進制的數21．
（注意：對于任何非零數都有，例如：）
【解決問題】（1）二進制中的數等于十進制中的哪個數？
【應用拓展】我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結，滿四進一，用來記錄孩子自出生后的天數．
（2）下圖中“結繩記數”表示的四進制數是______．
（3）求該婦女的孩子出生了多少天？（結果用十進制數表示）
【答案】解：（1），
二進制中的數等于十進制中的；
（2）
（3），
該婦女的孩子出生了天．
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【解答】（2）由圖可知，“結繩記數”表示的四進制數是，
故答案為：；
【分析】（1）根據材料中二進制轉化為十進制的方法，即可求得 二進制中的數等于十進制中的數，得到答案；
（2）根據“結繩記數”圖，結合四進制數的計算方法，即可得到“結繩記數”表示的四進制數，得到答案；
（3）根據題意，得到，進而計算，即可得到該婦女的孩子出生的天數．
1 / 1人教版（2024）七（上）數學第二單元質量檢測培優卷
姓名：__________ 班級：__________考號：__________
題號 一 二 三 總分
評分
第Ⅰ卷 客觀題
閱卷人 一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
得分
1．（2024七上·長春期末）如圖，數軸上的點，表示的數分別是、．如果，且，那么該數軸的原點的位置應該在（　　）
A．點的左側 B．點的右側
C．點與點之間且靠近點 D．點與點之間且靠近點
2． 如果 那么 的值為（　　）.
A．-1 B．1 C．±1 D．不確定
3．六個整數的積a·b·c·d·e·f=-36，a，b，c，d，e，f互不相等，則a+b+c+d+e+f的和可能是（　　）
A．0 B．10 C．6 D．8
4．（2022七上·黃島期末）九宮格起源于中國古代的神秘圖案河圖和洛書.如圖，將，，，，，，，，填入九宮格內，使每行、每列、每條對角線上三個數的和都相等，則的值為（　　）
A． B． C． D．
5．為有理數，下列說法中正確的是（　　）
A．是正數 B．是正數
C．是負數 D．的值不小于
6．（2024七上·上城月考）現定義兩種同級運算“”“”．對于任意兩個整數，，，則的結果是（　　）
A．39 B．90 C．12 D．
7．（2023七上·江陰月考）一只蝸牛從數軸上表示的點出發，第一次向正方向移動1個單位，第二次向反方向移動2個單位，第三次向正方向移動3個單位，第四次向反方向移動4個單位，…，按這樣的規律則蝸牛第101次移動后在數軸上的位置所表示的有理數是（　　）
A． B．48 C． D．49
8．用符號“H”表示一種運算，它對正整數的運算結果如下：H（1）=-2，H（2）=3，H（3）=-4，H（4）=5，…，則H（7）+H（8）+…+H（99）的結果為（　　）
A．- 146 B．- 54 C．- 46 D．46
9．（2022七上·石家莊月考）如圖，將數軸上-6與6兩點間的線段六等分，這五個等分點所對應數依次為，，，，，則下列正確的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023七上·滕州期中）觀察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根據上述算式中的規律，的末位數字是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
閱卷人 二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.
得分
11．（2024七上·廣州競賽）計算：的相反數是　 　.
12．定義一種對正整數n的“F運算”：①當n為奇數時，結果為3n＋5；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），并且運算重復進行．例如，取n＝26，則：
若n＝449，則第2020次“F運算”的結果是　 　．
13．（2024七上·交城期中）如圖，在數軸上點A表示的數是的相反數，點B表示的數是最小的正整數，點C表示的數是絕對值是3的負整數.若將數軸折疊，使得點A與點C重合，則與點B重合的點表示的數是　 　 .
14．（2022七上·義烏月考）如果x、y都是不為0的有理數，則代數式的最小值是 　 　．
15．（2024七上·義烏月考）用表示大于的最小整數，例如.用，表示a，b兩數中較大的數，例如，按上述規定，
①　 　.
②如果整數滿足，則的值是　 　.
第Ⅱ卷 主觀題
閱卷人 三、解答題：本大題共8小題，共75分.
得分
16．怎樣簡便怎樣算
（1）；
（2）
（3）
（4）
17．（2024七上·余杭月考）如圖，數軸的單位長度為1，若點和點所表示的兩個數互為相反數．
（1）請在數軸上標出原點，并寫出點，，所表示的數．
（2）若數軸上一點位于點，之間，點到點的距離是它到點距離的3倍，求點所表示的數及點到點的距離．
（3）若數軸上一點到點的距離是3.5，求點到點的距離．
18．（2023七上·浙江月考）如圖，將一根木棒放在數軸（單位長度為1cm）上，木棒左端與數軸上的點A重合，右端與數軸上的點B重合．
（1）若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上所對應的數為30；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上所對應的數為6，由此可得這根木棒的長為　 　cm；
（2）圖中點A所表示的數是　 　，點B所表示的數是　 　；
（3）由（1） （2）的啟發，請借助“數軸”這個工具解決下列問題：
一天，妙妙去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現在這么大，你還要37年才出生：你若是我現在這么大，我就119歲啦！”請問奶奶現在多少歲了？
19．觀察下列解題過程：
計算：1+2+22+23+……+224+ 225的值．
解：設S=1+2+22+23+……+224+225 ，①
則2S=2+22+23+……+225+226 ，②
②-①，得S=226-1．
通過閱讀，你一定學會了這種解決問題的方法，請用你學到的方法計算：1+3+32+32+……+319+320．
20．（2024七上·龍華期中）【概念學習】
現規定：求若干個相同且都不等于0的有理數的商的運算叫做除方，例如：，類比有理數的乘方，我們把，寫作：，讀作“2的圈4次方”，，寫作：，讀作“（－3）的圈3次方”，一般地把，寫作：，讀作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接寫出計算結果：_________；_________．
【深入思考】
我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，那么有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？
（2）試一試：仿照上面的算式，把下列除方運算直接寫成冪的形式：
①__________________；
②__________________．
（3）算一算：
21．（2017七上·綦江期中）請先閱讀下列一組內容，然后解答問題：
因為： ， ， ，…，
所以：
=
=
= =
問題：
計算：
（1） ；
（2） ．
22．
（1）比較下列各式的大小：
|5|+|3|　 　|5+3|，
|-5|+|-3|　 　|(-5)+(-3)|，
|-5|+|3 |　 　|(-5)+3|，
|0|+|-5|　 　|0+(-5)|．
（2）通過(1)的比較、觀察，請你歸納猜想：
當a，b為有理數時，|a|+|b|　 　|a+b|． (填“≥”“≤”“>”或“<”)
（3）根據以上信息，小華提出：“當|x|+|-2|=|x-2|成立時，x是負數”，你同意他的觀點嗎？請說明理由．
23．（2024七上·青秀期中）綜合與實踐
【知識介紹】進位制是人們為了記數和運算方便而約定的記數系統．約定逢十進一就是十進制，逢二進一就是二進制．也就是說，“逢幾進一”就是幾進制，幾進制的基數就是幾．我們常用的數是十進制數，如：要用個數碼（又叫數字）：，，，，，，，，，．在電子計算機中用的二進制，只要兩個數碼：和，如二進制中：等于十進制的數，等于十進制的數21．
（注意：對于任何非零數都有，例如：）
【解決問題】（1）二進制中的數等于十進制中的哪個數？
【應用拓展】我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結，滿四進一，用來記錄孩子自出生后的天數．
（2）下圖中“結繩記數”表示的四進制數是______．
（3）求該婦女的孩子出生了多少天？（結果用十進制數表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】有理數的乘法法則；有理數在數軸上的表示；有理數的加法法則
【解析】【解答】解：∵在數軸上，點在點的左側，且，
∴，
∴該數軸的原點在點與點之間，
又∵，
∴該數軸的原點靠近點，
綜上，該數軸的原點的位置應該在點與點之間且靠近點，
故選：D．
【分析】本題考查了數軸的性質、有理數的加法與乘法法則，先根據有理數乘法法則，以及數軸的性質，得到，求得該數軸的原點在點與點之間，結合有理數的加法法則，得到數軸的原點靠近點，由此得到答案．
2．【答案】A
【知識點】絕對值的概念與意義；有理數的加法法則
【解析】【解答】解：∵的值為±1，
∴中有兩個值為1，一個值為-1
∴中有兩個正數，一個負數
∴的值為負
∴
故答案為：-1
【分析】根據絕對值的性質可得的值為±1，結合題意可得中有兩個值為1，一個值為-1，即中有兩個正數，一個負數，根據實數乘法可得的值為負，再化簡即可求出答案.
3．【答案】A
【知識點】有理數的乘法法則
【解析】【解答】解：-36=(-1)×1×(-2)×2×(-3)×3，
∴這六個互不相等的整數是-1、1、-2、2、-3、3，
∴a+b+c+d+e+f=(-1)+1+(-2)+2+(-3)+3=0
故選：A.
【分析】先根據有理數的乘法寫出算式，然后確定出這六個整數，再根據有理數的加法運算法則進行計算即可得解.
4．【答案】A
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則
【解析】【解答】根據題意這九個數的平均數為：，
∴正中間的數為-1，
∴每行、每列、每條對角線上三個數的和都是，
∴第二行左邊的數為：，
∴，
故答案為：A
【分析】先求出九個數的平均數，再根據題意列出算式求出a的值即可。
5．【答案】B
【知識點】有理數的乘方法則
【解析】【解答】解：、當時，，此選項說法錯誤，A不符合題意；
、∵，∴，即是正數，此選項說法正確，B符合題意；
、當時，，此選項說法錯誤，C不符合題意；
、∵，則，∴，的值不大于，此選項說法錯誤，D不符合題意；
故答案為：
【分析】對于A，舉出時即可判斷；對于B，根據即可得到，從而即可判斷；對于C，舉出即可判斷；對于D，根據即可得到，進而即可判斷。
6．【答案】D
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則
【解析】【解答】原式
．
故選：D．
【分析】
先根據新定義1計算出及括號內的結果，再按照新定義2進行計算即可．
7．【答案】B
【知識點】有理數的加、減混合運算；有理數在數軸上的表示
【解析】【解答】解：根據題意，得
，
故答案為：B．
【分析】根據數軸上點的移動規律是“左減右加“，結合題目中蝸牛的運動方式列出算式并進行計算即可.
8．【答案】B
【知識點】有理數的加、減混合運算
【解析】【解答】解：根據題中的新定義得：
H(7)+H(8)+H(9)+...+H(99)
=-8+9-10+11-12+...-98+99-100
=1+1+1+...+1-100
=46-100
=-54
故答案為：B.
【分析】根據題中的新定義化簡所求式子，計算即可得到結果.
9．【答案】C
【知識點】有理數在數軸上的表示；數軸上兩點之間的距離；有理數的加法法則
【解析】【解答】解：根據題意可求出：
A，，故選項錯誤，不符合題意；
B，，故選項錯誤，不符合題意；
C，，故選項正確，符合題意；
D，，故選項錯誤，不符合題意；
故答案為：C
【分析】根據數軸上點的位置關系及等分點的性質即可求出答案.
10．【答案】A
【知識點】有理數乘方的實際應用
【解析】【解答】解：由題知，
，，，，，，，，，
所以的末位數字按循環出現，
又余2，
所以的末位數字是4．
，，，，，，，，…，
所以的末位數字按循環出現，
又余3，
所以的末位數字是7．
的末位數字是3
故答案為：A
【分析】分別求出的末位數字，再相加即可求出答案.
11．【答案】175
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【解答】解：
∴相反數為175，
故答案為：175.
【分析】根據有理數的混合運算，以及相反數的概念即可求解.
12．【答案】1
【知識點】有理數的乘方法則
【解析】【解答】解：第一次：，第二次：，
∵其中k是使為奇數的正整數，，
∴，
∴第二次運算：，
第三次：
∵∴計算結果為，
第五次：，第六次：，
∵∴，計算結果為，……
依次為與的循環，當計算次數為奇數時，結果為8；當計算次數為偶數時，結果為1，
∴第2020次“F運算”的結果是1，
故答案為：1
【分析】先分別計算出n=449時第一、二、三、四、五次運算的結果，進而找出規律即可求解。
13．【答案】4
【知識點】有理數的乘方法則；數軸上兩點之間的距離
【解析】【解答】解：在數軸上點表示的數是的相反數，
，
點表示的數是最小的正整數，
，
點表示的數是絕對值是3的負整數，
，
將數軸折疊，點與點重合，
對折點是，
與點重合的點表示的數是．
故答案為：4．
【分析】根據絕對值的性質確定C的值，根據正整數的定義得出的值，根據乘方和相反數的定義得出點表示的數，再根據對折的要求，得出對折點，從而根據對折的性質得出與點重合的點表示的數．
14．【答案】-3
【知識點】絕對值及有理數的絕對值；有理數的加、減混合運算
【解析】【解答】解：當x＞0，y＞0時
；
當x＜0，y＜0時
；
當x＞0，y＜0時，
；
當x＜0，y＞0時
；
-3＜1
∴的最小值為-3.
故答案為：-3
【分析】分情況討論：當x＞0，y＞0時；當x＜0，y＜0時；當x＞0，y＜0時；當x＜0，y＞0時；利用絕對值的性質進行化簡，可求出其結果最小的值.
15．【答案】-1；12或-4
【知識點】有理數的加、減混合運算
【解析】【解答】解：①；
②當x為非負整數時，原式變為2x=x+1+11，解得x=12；
當x為負整數時，原式變為-2x=x+1+11，解得x=-4；
因此x的值是12或-4.
故答案為：①-1；②12或-4.
【分析】①題，根據條件中的定義先計算出，，最后計算出4-5=-1；②題，因為條件中x是整數，因此要分兩種情況討論并計算，分別是x為非負整數和x為負整數，兩種情況計算結果都符合條件.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則；有理數的加、減混合運算
【解析】【分析】（1）原式可化為，再計算即可；
（2）將原式化為，計算可得，同分母相加依次計算即可.
（3）將原式化為，先計算分子可得，再約分即可；
（4）將原式化為，先計算括號里，再計算乘法即可.
17．【答案】（1）解：∵ 點和點所表示的兩個數互為相反數 ，
∴A和B的中間位置就是原點O，
數軸上原點O如圖所示，點A，B，C所表示的數分別是，，．
（2）解：∵點到點的距離是它到點距離的3倍，
結合（1）的結論，點A，B，C所表示的數分別是，，，
設P點為x，則有（2-x）=3[x-（-2）]，解得x=-1，
∴點P所表示的數為，
即點到點的距離為：，
∴點P到點C的距離為4
（3）解：∵點P到點O的距離是3.5，
∴點P所表示的數是或，
當點P所表示的數是時，點P到點A點的距離是；
當點P所表示的數是時，點P到點A點的距離是；
∴點P到點A點的距離是1.5或5.5
【知識點】有理數的減法法則；有理數在數軸上的表示；數軸上兩點之間的距離
【解析】【分析】（1）根據點的位置和相反數的定義，可以首先確定原點的位置，再根據“ 數軸的單位長度為1 ”，即可寫出點，，所表示的數；
（2）根據點到點的距離是它到點距離的3倍，可以列式計算并得到點表示的數，然后利用兩點間距離公式計算即可；
（3）先根據點到點的距離是3.5得到點P所表示的數是或，然后分兩種情況計算即可．
（1）數軸上原點O如圖所示，點A，B，C所表示的數分別是，，．
（2）解：∵點到點的距離是它到點距離的3倍，
∴點P所表示的數為，
即點到點的距離為：，
所以點P到點C的距離為4；
（3）因為點P到點O的距離是3.5，
所以點P所表示的數是或，
當點P所表示的數是時，點P到點A點的距離是；
當點P所表示的數是時，點P到點A點的距離是；
所以點P到點A點的距離是1.5或5.5．
18．【答案】（1）8
（2）14；22
（3）解：結合（1）（2），將妙妙的年齡記為點A，將奶奶的年齡記為點B，如圖
可知AB==156=52；
所以A表示的數為-37+52=15，即妙妙的年齡為15歲；
B表示的數為15+52=67，即奶奶的年齡為67歲。
答：妙妙的年齡為15歲，奶奶的年齡為67歲。
【知識點】數軸上兩點之間的距離；有理數的加減混合運算的實際應用
【解析】【解答】（1）由圖可知，三段木棒的總長度為30-6=24，故每段長為24÷3=8，故答案為8.
（2）由（1）可知這根木棒的長為8cm，
∴點A表示6+8=14；點B表示6+8+8=22；
故答案為：8；22.
【分析】（1）由圖象可知3倍的AB長為30-6=24 ( cm )，即可求A B的長度；
( 2 ) A點在6的右側，距離6有8個單位長度，故A點為14； B點在A點右側，距離A點有8個單位長度，故B點為22；
( 3 ) 本題考查運用知識的遷移能力，利用數形結合的方法巧妙地解決生活中的問題.由（1）（2）的引導示范，將妙妙的年齡記為點A，將奶奶的年齡記為點B，由“我若是你現在這么大，你還要37年才出生：你若是我現在這么大，我就119歲啦！”
分析出左端數字為-37，右端數字為119：再求出AB的長度，然后可分別求出A、B的值.
19．【答案】解：設S=1+3+32+33 +……+319+3020 ，①
則3S=3+32 +33+……+319+320+321 ，②
②-①得2S=321-1，
所以S=
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【分析】根據題意，設S=1+3+32+33 +……+319+3020 ，兩邊乘以3變形后，相減即可求出2S的值，進而就不難求出S的值了.
20．【答案】解：（1）1，.
（2）①；②；
（3）原式
．
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則；有理數的乘方法則
【解析】【解答】（1）；．
故答案為：1，；
（2）①；
②．
故答案為：①； ②；
【分析】（1）根據新定義的運算法則，結合除方的定義，進行運算，即可求解；
（2）根據新定義的運算法則，將除方轉化為乘方，進行計算，即可求解；
（3）根據新定義的運算法則，將除方轉化為乘方，再將除法轉化為乘法，進行計算，即可求解．
21．【答案】（1）解：
=1- = ；
（2）解： =
=
= =
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則
【解析】【分析】（1）觀察所給的式子可知：分子為1，分母是兩個連續自然數的乘積，把每一個分數化成兩個分數差的形式，依此抵消即可求解；
（2）觀察所給的式子可知：分子為1，分母是兩個連續奇數的乘積，把每一個分數提出后化成兩個分數差的形式，依此抵消即可求解．
22．【答案】（1）=；=；>；=
（2）≥
（3）解：不同意，理由如下：
∵x=0時， |x|+|-2|=0+2=2，|x-2| =|0-2|=|-2|=2，
∴ |x|+|-2|=|x-2| ；
當x=-1時， |x|+|-2|=1+2=3，|x-2| =|-1-2|=|-3|=3，
∴ |x|+|-2|=|x-2| ；
∴x應該是非正數，
∴小華的觀點錯誤.
【知識點】有理數的加法
【解析】【解答】解：（1） ∵|5| + |3| = 8，|5 + 3| = 8，
∴|5| + |3| = |5 + 3|；
∵| - 5| + | - 3| = 8，|( - 5) + ( - 3)| = 8，
∴| - 5| + | - 3| = |( - 5) + ( - 3)|；
∵| - 5| + |3| = 8，|( - 5) + 3| = - 2，
∴| - 5| + |3| > |( - 5) + 3|；
∵|0| + | - 5| = 5，|0 + ( - 5)| = 5，
∴|0| + | - 5| = |0 + ( - 5)|.
故答案為：= ，= ，> ，=；
（2） 分三種情況討論：
當a，b異號時，|a|+|b|＞|a+b|；
當a，b同號時，|a|+|b|=|a+b|；
當a=0或b=0時，|a|+|b|=|a+b|．
綜上所述，|a|+|b|≥|a+b|．
故|a|+|b|與|a+b|的大小關系為|a|+|b|≥|a+b|；
故答案為：≥；
【分析】（1）根據有理數的加法法則和絕對值的性質分別計算后比較各組式子的大小即可；
（2）通過（1）的計算，分當a，b異號時，當a，b同號時，當a=0或b=0時，進行歸納即可得出答案；
（3）根據絕對值的意義，利用舉反例的方法即可解答．
23．【答案】解：（1），
二進制中的數等于十進制中的；
（2）
（3），
該婦女的孩子出生了天．
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【解答】（2）由圖可知，“結繩記數”表示的四進制數是，
故答案為：；
【分析】（1）根據材料中二進制轉化為十進制的方法，即可求得 二進制中的數等于十進制中的數，得到答案；
（2）根據“結繩記數”圖，結合四進制數的計算方法，即可得到“結繩記數”表示的四進制數，得到答案；
（3）根據題意，得到，進而計算，即可得到該婦女的孩子出生的天數．
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