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3.3冪函數
復習回顧
前面學習了函數的概念，接著借助對圖象的觀察（數形結合），研究了函數的一些性質。本節我們將利用這些知識研究一類新的函數。
圖象
圖象+單調性
一、情境引入，激活舊知
問題1：閱讀下列材料，回答問題：
（1）如果奧運后勤人員以1元的價格購買了某種蔬菜，那么需支付的金額= （元），這里是的函數.
（2）自由體操項目的場地為正方形，設其邊長為，那么該正方形面積= ，這里S是的函數.
（3）如果奧運村中某房間恰為立方體，設其棱長為，那么該立方體的體積= ，這里V是b的函數.
（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長c= ，這里c是S的函數.
（5）公路自行車比賽中，某運動員t秒內騎車行進了1，那么他騎車的平均速度= （），這里是的函數.
觀察這些函數的解析式，他們在結構上有什么共同特征？
二、知識還原，獲得新知
追問1：五個函數解析式是否可以變換成以為自變量，為因變量的形式？請進一步歸納變換后五個函數的解析式的共同特征。
(1)； (2)； (3)； (4)； (5).
都是以冪的底數為自變量；
冪的指數都是常數，
追問2：類似這樣的函數你還能再舉幾個例子嗎？
二、知識還原，獲得新知
3. 取值可以是實數
冪函數定義
一般地，函數 叫做冪函數( ) ，其中 為自變量， 為常數。
注：1. 中前的系數為1，且后面沒有其他項
2. 定義域與的取值有關
形如：, , , .
三、建立聯系，明確目標
問題2：類比初中對三類具體函數的學習過程，我們知道冪函數的概念后，接下來應該研究什么？
追問2：你打算如何研究冪函數的性質？
一般函數的研究路徑
追問1：你打算研究冪函數的哪些性質？
背景
概念
圖象
性質
應用
四、任務探究，知識編譯
作圖象
觀察圖象
（分析性質）
歸納與猜想
證明或說明
冪函數的研究思路
中學階段一般研究1,2,3，，-1這五種的冪函數
四、任務探究，知識編譯
作圖象
觀察圖象
（分析性質）
歸納與猜想
證明或說明
冪函數的研究思路
中學階段一般研究1,2,3，，-1這五種的冪函數
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
R
R
R
[0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y≠0}
R
奇函數
偶函數
奇函數
非奇非偶函數
奇函數
增函數
在(－∞,0]上單調遞減,
在[0,＋∞)上單調遞增
增函數
在[0,＋∞)上單調遞增
在(－∞,0）上單調遞減,
在（0,＋∞)上單調遞減
四、任務探究，知識編譯
作圖象
觀察圖象
（分析性質）
歸納與猜想
證明或說明
冪函數的研究思路
請嘗試探究函數
四、任務探究，知識編譯
請證明冪函數是增函數.
四、任務探究，知識編譯
作圖象
觀察圖象
（分析性質）
歸納與猜想
證明或說明
冪函數的研究思路
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
R
R
R
[0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y≠0}
R
奇函數
偶函數
奇函數
非奇非偶函數
奇函數
增函數
在(－∞,0]上單調遞減,
在[0,＋∞)上單調遞增
增函數
在[0,＋∞)上單調遞增
在(－∞,0）上單調遞減,
在（0,＋∞)上單調遞減
四、任務探究，知識編譯
作圖象
觀察圖象
（分析性質）
歸納與猜想
證明或說明
冪函數的研究思路
請嘗試探究函數
四、任務探究，知識編譯
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
R
R
R
[0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y≠0}
R
奇函數
偶函數
奇函數
非奇非偶函數
奇函數
增函數
在(－∞,0]上單調遞減,
在[0,＋∞)上單調遞增
增函數
在[0,＋∞)上單調遞增
在(－∞,0）上單調遞減,
在（0,＋∞)上單調遞減
請嘗試歸納這五個函數的共性
四、任務探究，知識編譯
問題3：研究這五個函數的目的是為了掌握冪函數這一類函數的性質，你能從中總結出冪函數更一般的特征嗎？
冪函數的性質：
（1）過定點（1,1）；
（2）冪函數的圖象一定會在第一象限，一定不在第四象限；
（3）當時，函數在區間）上是增函數；
（4）當時，函數在區間上是減函數；
（5）
(6)
五、情境匹配，思想升華
問題4：已知冪函數f(x)的圖象過點，求這個函數的解析式.
五、情境匹配，思想升華
問題5：利用冪函數的性質，比較下列兩組數的大小.
六、反思表達，積累經驗
問題5：反思并回答下列問題.
（1）本節課我們學習了什么知識？
（3）你認為在后續學習中對某一類函數的研究可以沿著怎樣的路徑進行？
（2）回顧我們的研究過程，我們是怎樣研究冪函數的？
背景
概念
圖象
性質
數形結合
應用
定義域
值域
奇偶性
單調性
其他性質
描點法
從特殊到一般、類比、歸納
作業
必做題：教材P91習題3.3
選做題：自主探究函數的圖像與性質.
五、情境匹配，思想升華
問題6：試用描點法畫出函數的圖象，求函數的定義域、值域；討論函數的單調性、奇偶性，并證明.
六、反思表達，積累經驗
問題5：反思并回答下列問題.
（1）本節課我們學習了什么知識？
（3）你認為在后續學習中對某一類函數的研究可以沿著怎樣的路徑進行？
（2）回顧我們的研究過程，我們是怎樣研究冪函數的？
①冪函數的概念；②5個常見冪函數的圖象及其性質；
③冪函數的性質；④冪函數比較大小的方法.
研究目標：定義域、值域、單調性、奇偶性、其他性質
研究方法：從特殊到一般、數形結合
研究思路：作圖象-觀察圖象（分析性質）-歸納猜想-證明或說明
四、任務探究，知識編譯
作圖象
觀察圖象
（分析性質）
歸納與猜想
證明或說明
冪函數的研究思路
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
R
R
R
[0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y≠0}
R
奇函數
偶函數
奇函數
非奇非偶函數
奇函數
增函數
在(－∞,0]上單調遞減,
在[0,＋∞)上單調遞增
增函數
在[0,＋∞)上單調遞增
在(－∞,0）上單調遞減,
在（0,＋∞)上單調遞減
公共點
(1,1)
(0,0)
中學階段一般研究1,2,3，，-1這五種的冪函數

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