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人教A版
n次方根與
分數指數冪
第四章 指數 4.1.1
高中數學 · 必修一
學習目標
理解次方根、根式與分數指數冪的概念；
通過對有理數指數冪含義的認識，了解指數冪的拓展過程；
掌握分數指數冪和根式之間的互化、化簡、求值；
掌握有理數指數冪的運算性質.
核心素養
數學抽象
n次方根、根式與分數指數冪的概念；
邏輯推理
分數指數冪的運算性質；
數學運算
分數指數冪和根式之間的互化、化簡、求值.
課程導入
初中已經學過整數指數冪. 在學習冪函數時，我們把正方形場地的邊長關于面積的函數記作. 像這樣以分數為指數的冪，其意義是什么呢？它具有怎樣的運算性質？它和整數指數冪有什么聯系和區別？
下面從已知的平方根、立方根的意義入手展開研究.
Part 01
n次方根的 概念及其性質
問題探究
如果 ，那么 叫做 的平方根.
如果 ，那么 叫做 的立方根.
舉例
，則就是的平方根.
，則就是的立方根.
，則就是的4次方根.
，則就是的5次方根.
次方根的概念與性質
如何理解次方根的概念？
定義
（1）的次方根滿足 ，因此求的次方根就是求一個數，使得它的次方等于.
（2）次方根，實際上就是平方根與立方根的推廣.
（3）次方根的概念表明，乘方與開方是互逆運算.
一般地，如果，那么叫做的次方根.
（其中，且）.
次方根的概念與性質
一個正數有個平方根，分別為，它們互為相反數，其中，為的算術平方根；
零的平方根只有個，為；
負數沒有平方根.
任意實數均有唯一立方根，為.
知識回顧
次方根的概念與性質
， ，
當是奇數時，
正數的次方根是一個正數，
負數的次方根是一個負數.
1
的 次方根用符號 表示.
，，
舉例
性質
次方根的概念與性質
， ，
當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.
2
正的 次方根用符號 表示，
負的 次方根用符號 表示.
，，
舉例
兩者合并寫成 .
次方根的概念與性質
負數沒有偶次方根.
3
的任何次方根都是，記作.
4
為什么負數沒有偶次方根？
因為任何實數的偶次方根是非負數.
即負數的偶次方根無意義.
根式的概念與性質
式子 叫做根式.
叫做根指數， 叫做被開方數.
定義
根據次方根的意義，可得
，.
舉例
根式的概念與性質
表示的次方根， 一定成立嗎？如果不一定成立，那么等于什么？
，
，
舉例說明
由此可見，不一定成立.
根式的概念與性質
性質
當為奇數時， ；
1
當為偶數時，
2
辨析比較
與區別
是實數的次方根，是一個恒有意義的式子，不受的奇偶限制，但這個式子的值受的奇偶限制.
1
2
其算法是對先乘方，再開方（都是次），結果不一定等于.
是實數的次方根的次冪，其中實數的取值由的奇偶決定.
其算法是對先開方，再乘方（都是次），結果恒等于.
例題解析
例1
求下列各式的值：
（1）； （2） ； （3）； （4） .
解：
（1）；
（2） ；
（3）；
（4）
跟蹤訓練
1、已知，下列各式總能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
A顯然是錯的；
B中，∵ ，∴ B一定成立；
C和D中， ∵ ， ∴ ，故C和D錯誤.
跟蹤訓練
2、求下列各式的值：
（1）； （2）
【解析】
（1） ∵ ，∴
當為偶數時， ，
當為奇數時， ，
綜上可知，
（2） ∵，∴
∴
Part 02
分數指數冪
問題探究
整數指數冪的意義
知識回顧
（2）
（3）
（1）
個
0的正整數次冪等于0，0的0次冪和負整數次冪沒有意義.
正整數指數冪
負整數指數冪
問題探究
根據次方根的定義和數的運算，我們知道
當根式的被開方數（看成冪的形式）的指數能被根指數整除時，根式可以表示為分數指數冪的形式.
問題探究
當根式的被開方數的指數不能被根指數整除時，根式是否也可以表示為分數指數冪的形式？
為了使整數指數冪的運算性質，如仍然成立，根式可以表示為分數指數冪的形式，
例如，把 等寫成下列形式：
分數指數冪的意義
正數的正分數指數冪的意義是
規定
正數的負分數指數冪的意義是
例如，
0 的正分數指數冪等于 0，0 的負分數指數冪沒有意義.
類比負整數指數冪
類比0的整數指數冪
有理數指數冪
規定了分數指數冪的概念之后，指數冪的概念實現了由整數向有理數擴充.
整數指數冪 分數指數冪 正整數 指數冪 正數的正分數指數冪
負整數 指數冪 正數的負分數指數冪
零數冪 零的分數指數冪
個
0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.
整數
擴充
有理數
問題探究
分數指數能約分嗎？
分數指數冪是根式的一種表示形式，即，分數指數不能隨意約分，約分后可能改變根式有意義的條件.
如 約分后為，而在實數范圍內是無意義的.
Part 03
有理數指數冪的運算性質
問題探究
整數指數冪的運算性質
知識回顧
有理數指數冪的運算性質
整數指數冪的運算性質對于有理數指數冪也同樣適用，即對于任意有理數，均有下面的運算性質.
（1）
（2）
（3）
同底數冪相乘，底數不變，指數相加
冪的乘方，底數不變，指數相乘
積的乘方，等于因數乘方的積
補充說明
（1）有理數指數冪除上述運算性質外，還有如下性質：
①
②
（2）有理數指數冪的幾個常見結論：
① 當 時，；
④ 乘法公式仍適用于分數指數冪.
② 當 時，，而當時， 無意義；
③ 若 (，且)，則；
例題解析
例2
求值：
（1） ； （2） .
解：
（1）
（2）
例題解析
例3
用分數指數冪的形式表示并計算下列各式(其中):
（1） ； （2） .
解：
（1）
（2）
當根式為多重根式時，要清楚哪個是被開方數，一般由內向外用分數指數冪依次寫出.
例題解析
例4
計算下列各式（式中字母均是正數）：
（1）； （2）；
（3） .
解：
（1）
例題解析
（3）
（2）
補充說明
先將負指數冪化為正指數冪，將小數化為分數，將根式化為分數指數冪，將底數（較大的整數分解質因數）化成指數冪的形式，再利用冪的運算性質進行運算，達到化簡和求值的目的.
對于冪和根式化簡的一般原則
補充說明
① 如果要化簡的式子全是根式形式，那么結果用根式表示；否則，結果用分數指數冪表示；
② 結果不能同時含有根式和分數指數冪，也不能既有分母又有負指數冪；
③ 結果為最簡形式.
對于冪和根式化簡結果的要求
跟蹤訓練
1、下列關系式中，根式與分數指數冪的互化正確的是 （填序號）
②
【解析】
① 當時， ，，故①錯誤；
① ； ② ；
③
② ，故②正確；
③ ，故③錯誤；
跟蹤訓練
2、若化簡： .
【解析】
由，得
跟蹤訓練
3、化簡：
【解析】
Part 04
小結及
隨堂練習
課堂小結
次方根與分數指數冪
次方根
根式
分數指數冪
有理數指數冪的運算性質
（，且）
性質
性質
意義
隨堂練習
1、已知 ，則 等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】
∵ ，∴ 是的次方根.
又∵ 是偶數，∴ 的次方根有兩個，且互為相反數.
∴
隨堂練習
2、下列各式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確.
隨堂練習
3、設，則化簡的結果為（ ）
A. B. C. D.
【解析】
因為，所以 ，
所以
隨堂練習
4、計算下列各式
（1）
（2）
隨堂練習
【解析】
（1）
（2）

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