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人教A版
無理數指數冪及其運算性質
第四章 指數 4.1.2
高中數學 · 必修一
知識回顧
次方根與分數指數冪
次方根
根式
分數指數冪
有理數指數冪的運算性質
（，且）
性質
性質
意義
學習目標
類比用有理數逼近無理數體會從“數”與“形”的兩個角度，了解由有理數指數冪逼近無理數指數冪的原理，滲透逼近思想和極限思想；
掌握實數指數冪的運算性質.
核心素養
數學抽象
無理數指數冪的意義；
邏輯推理
實數指數冪和根式之間的互化；
數學運算
利用實數指數冪的運算性質化簡求值.
課程導入
前面我們將中指數的取值范圍從整數拓展到了有理數. 那么，當指數是無理數時，的意義是什么？它是一個確定的數嗎？如果是，那么它有什么運算性質？
Part 01
無理數指數冪的意義
知識回顧
問題探究
實數
有理數
無理數
整數
分數
有限小數
無限循環小數
無限不循環小數
問題探究
按照所需要的精確度截取指定數位后，直接略去后面的數位，這樣就得到了一個小于真實值的近似值，叫做不足近似值.
不足近似值
按照所需要的精確度截取指定數位后，不管去掉部分最高位是否四舍五入而全都進位，即保留部分的最后一位數加1，這樣就得到一個大于真實值的近似值，叫做過剩近似值.
過剩近似值
舍而不進
進一而舍
通過實例來理解
問題探究
求實際上是找出一個正數，使，但我們知道，任何有理數的平方不可能等于，所以只能求出的范圍.
如果不用計算器，我們如何估算的值呢？
因為 ，所以；
你能不能得到 更精確的范圍呢？
因為 ，所以.
問題探究
因為 ，所以 ；
因為 ，所以 ；
因為 ，所以 ；
因為 ，所以 ；
因為 ，所以 ；
即 .
范圍跨度太大，還是無法達到要求
問題探究
應該如何設計靠近 的方式呢？
設一列數都小于，的第一個值為，之后第二個值為兩位小數，第三個值為三位小數，…，即每次增加一位小數，而且，總是在同位數的小數中最接近且小于的那一個.
如此設計，的第二個值應該在中產生. 那到底是哪個最接近且小于的呢？
所以最接近且小于的是，而則是最接近且大于的.
則的第二個值應該是.
問題探究
的第三個值應該在中產生. 那到底是哪個最接近且小于的呢？
則的第三個值應該是.
… …
問題探究
由此，我們就能產生一列從小于的方向逐漸逼近的數：
而且，
可見他們與的差是在逐漸縮小趨近于的.
我們將這一串數叫做的不足近似值.
問題探究
用同樣的方法，我們可以制定取的過剩近似值的標準：
設一列數都小于，的第一個值為，之后第二個值為兩位小數，第三個值為三位小數，…，即每次增加一位小數，而且，總是在同位數的小數中最接近且大于的那一個.
經計算，我們可以得到一列從大于的方向逐漸逼近的數：
我們將這一串數叫做的過剩近似值.
問題探究
觀察下表的數據：
2
… … … …
問題探究
這個差值就是我們常說的的近似值的精確度，如果我們需要一個精確到的的近似值，就可以用.
我們可以發現，當的不足近似值和過剩近似值逐漸逼近時，我們也就得到了精度越來越高的的近似值，這樣一直計算下去，我們就可以得到任何精確度的的近似值.
問題探究
根據的不足近似值和過剩近似值，利用計算工具計算相應的，的近似值并填入表中，觀察它們的變化趨勢，你有什么發現？
問題探究
… … … …
9.5182696935793924494807364405955 11.180339887498948482045868343656
9.6726997289298909157148018555995 9.8296353284833498685989391987417
9.735171039199290689515350220999 9.750851807780722165356472080651
9.738305174262712562680479269411 9.7398726201497020809702151415861
9.738461907499474362171954735887 9.738618643258780594831713600835
9.738508927962397219240198707003 9.738524601500489249719963117556
9.738516764728290036176669346446 9.738518332082225366994386182963
9.738517705140620963960988361860 9.738517861876018280880906834757
9.738517736487700225540259851413 9.738517752161239894168278992536
問題探究
可以發現，當的不足近似值和過剩近似值逐漸逼近時， 和都趨向于同一個數，這個數就是. 也就是說， 是一串逐漸增大的有理數指數冪，…和另一串逐漸減小的有理數指數冪，…逐步逼近的結果，它是一個確定的實數.
問題探究
參照以上過程，你能再給出一個無理數指數冪，如，說明它也是一個確定的實數嗎？
可以參考以上用有理數指數冪逐步逼近無理數指數冪的方法，得出也是一個確定的實數，在數軸上有唯一的點與它對應.
結論
一般地，無理數指數冪為無理數是一個確定的實數.
這樣，我們就將指數冪中指數的取值范圍從整數逐步拓展到了實數.
實數指數冪是一個確定的實數.
前提條件
結論
為何在指數冪中，要限定這個條件呢？
這是為了保證后續的指數函數對于任意實數都有意義.
因為只有正數的任何實數次冪才都有意義，如果底數是0，那么指數就不能為0或負數，否則就沒有意義；同樣地，如果底數是負數，指數為 ，仍然沒有意義. 因此我們限定這個條件.
Part 02
實數指數冪的運算性質
實數指數冪的運算性質
整數指數冪的運算性質也適用于實數指數冪，即對于任意實數，均有下面的運算性質.
（1）
（2）
（3）
跟蹤訓練
1、求值：
【解析】
跟蹤訓練
2、已知，
【解析】
（1）已知，
（1）求 的值；
（2）求 的值；
則 ，
又由 ，得，
所以 .
跟蹤訓練
（2）由，
可得，
所以 .
又由
即 .
補充說明
對于條件求值問題，一般先化簡代數式，再將字母的取值代入求值.但有時字母的取值不知道或不易求出，這時可將所求代數式適當地變形，構造出與已知條件相同或相似的結構，從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值.
解決條件求值問題的一般方法
Part 03
小結及
隨堂練習
課堂小結
無理數指數冪及其運算性質
用有理數指數冪逼近無理數指數冪
實數指數冪的運算性質
隨堂練習
1、設，且，則 等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】
∵ ，， ∴ ，
∴
又∵ ，∴
∴ 或（舍去）.
隨堂練習
2、計算下列各式
（1）
（2）
隨堂練習
【解析】
（1）
（2）

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