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人教A版
高中數(shù)學(xué) · 必修一
指數(shù)函數(shù)的概念
第四章 指數(shù) 4.2.1
知識(shí)回顧
無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)
用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪
實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
通過(guò)具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義；
理解指數(shù)函數(shù)的概念.
01
02
核心素養(yǎng)
【數(shù)學(xué)抽象】
指數(shù)函數(shù)的概念；
【邏輯推理】
用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及解析值；
【數(shù)學(xué)運(yùn)算】
利用指數(shù)函數(shù)的概念求參數(shù)；
【數(shù)學(xué)建模】
能建立指數(shù)型函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)指數(shù)函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.
課程導(dǎo)入
對(duì)于冪，我們已經(jīng)把指數(shù)的范圍拓展到了實(shí)數(shù).
上一章學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和基本性質(zhì)，通過(guò)對(duì)冪函數(shù)的研究，進(jìn)一步了解了研究一類函數(shù)的過(guò)程和方法.
下面繼續(xù)研究其他類型的基本初等函數(shù).
01
指數(shù)函數(shù)的概念
問(wèn)題探究
問(wèn)題1
隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B(niǎo)地則取消了景區(qū)門票. 下表給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.
問(wèn)題探究
時(shí)間/年 A地景區(qū) B地景區(qū) 人次/萬(wàn)次 年增加量/萬(wàn)次 人次/萬(wàn)次 年增加量/萬(wàn)次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1005 102
2014 732 11 1118 113
2015 743 11 1244 126
問(wèn)題探究
比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？
能否作出A，B兩地景區(qū)游客人次變化的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合年增加量，說(shuō)明兩地景區(qū)游客人次的變化情況？
追問(wèn)
01
觀察表格，可以發(fā)現(xiàn)，A地景區(qū)的游客人次的年增加量大致相等(約為10萬(wàn)次)，而B(niǎo)地景區(qū)的游客人次的年增加量則越來(lái)越大，但從年增加量難以看出變化規(guī)律.
問(wèn)題探究
A地景區(qū)
B地景區(qū)
觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)，A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長(zhǎng)），而B(niǎo)地景區(qū)的游客人次則是非線性增長(zhǎng)，但從圖象仍難以看出變化規(guī)律.
問(wèn)題探究
我們發(fā)現(xiàn)，用“增加量”不能刻畫B地景區(qū)人次的變化規(guī)律，能不能換一個(gè)量來(lái)刻畫？例如用“增長(zhǎng)率”，即從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
追問(wèn)
02
，
，
.
B地景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率都約為，是一個(gè)常數(shù).
像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長(zhǎng). 因此，B地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長(zhǎng).
問(wèn)題探究
能否求出兩地景區(qū)游客人次隨時(shí)間（經(jīng)過(guò)的年數(shù)）變化的函數(shù)解析式，并根據(jù)解析式說(shuō)明兩地景區(qū)游客人次的變化情況？
追問(wèn)
03
1年后，游客人次是2001年的倍；
2年后，游客人次是2001年的倍；
3年后，游客人次是2001年的倍；
年后，游客人次是2001年的倍.
如果設(shè)經(jīng)過(guò)年后的游客人次為2001年的倍，那么
①
這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量.
問(wèn)題探究
問(wèn)題2
當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”. 按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？
問(wèn)題探究
能否求出生物體內(nèi)碳14含量隨死亡年數(shù)變化的函數(shù)解析式？
追問(wèn)
01
設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么
死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為；
死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為；
死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為；
死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為.
問(wèn)題探究
根據(jù)已知條件， ，從而，所以.
設(shè)生物死亡年數(shù)為，死亡生物體內(nèi)碳14含量為，那么，即
②
這也是一個(gè)函數(shù)，指數(shù)是自變量.
問(wèn)題探究
生物死亡后體內(nèi)碳14含量每年衰減的比例是多少？
追問(wèn)
02
死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以的衰減率衰減.
像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減. 因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減.
常數(shù)
問(wèn)題探究
比較問(wèn)題1，2中的兩個(gè)實(shí)例：B地景區(qū)游客人次增長(zhǎng)與碳14衰減，它們所反映的變化規(guī)律有什么共同特征？
它們的變化率(增長(zhǎng)率、衰減率)是常數(shù).
從游客人次增長(zhǎng)和碳14衰減的數(shù)據(jù)看，它們的變化有什么共同特征？
追問(wèn)
01
B地景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率都約為，
死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以的衰減率衰減.
問(wèn)題探究
如果用字母代替底數(shù)和，那么上述兩個(gè)函數(shù)解析式都可以表示為的形式.
從函數(shù)解析式來(lái)看，它們有什么共同特征？
追問(wèn)
02
① ，
②
其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量.
指數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).
其中指數(shù)是自變量，定義域是.
指數(shù)函數(shù)的概念
為什么規(guī)定底數(shù)？
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 無(wú)意義.
若，則對(duì)于的某些數(shù)值，可使無(wú)意義. 如，對(duì)于…，函數(shù)值不存在.
若，則對(duì)任意的，是一個(gè)常量，沒(méi)有研究的必要性.
為了避免上述各種情況的發(fā)生，規(guī)定，且. 有此規(guī)定后，對(duì)任意的， 都有意義，且.
1
2
3
指數(shù)函數(shù)的概念
指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
指數(shù)為自變量
底數(shù)為常數(shù)
系數(shù)為1
指數(shù)函數(shù)的概念
指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別：
冪函數(shù)：
指數(shù)函數(shù)：
兩者的解析式雖然都是冪的形式，但不同之處在于：
指數(shù)函數(shù)的自變量是冪指數(shù)，冪底數(shù)為常數(shù)；
冪函數(shù)的自變量是冪底數(shù)，冪指數(shù)為常數(shù).
例題解析
例1
已知指數(shù)函數(shù)，且，求，， 的值.
分析：
要求，， 的值，應(yīng)先求出的解析式，即先求的值. 而已知，可由此求出的值.
解：
因?yàn)椋遥瑒t ，解得 . 于是
所以， ， .
例題解析
例2
（1）在問(wèn)題1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?lái)1000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.
（2）在問(wèn)題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來(lái)的百分之幾？
例題解析
解：
（1）設(shè)經(jīng)過(guò)年，游客給A，B兩地帶來(lái)的收入分別為和，則
利用計(jì)算工具可得，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
結(jié)合右圖可知：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
例題解析
這說(shuō)明，在2001年，游客給A地帶來(lái)的收人比B地多412000萬(wàn)元；
隨后10年，雖然，但的增長(zhǎng)速度大于.
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實(shí)際情況，在2011年3月某個(gè)時(shí)刻就有，這時(shí)游客給A地帶來(lái)的收入和B地差不多；
此后，，游客給B地帶來(lái)的收入超過(guò)了A地；
由于增長(zhǎng)得越來(lái)越快，在2015年，B地的收入已經(jīng)比A地多347303萬(wàn)元了.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
例題解析
（2）設(shè)生物死亡年后，它體內(nèi)碳14含量為.
如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么
當(dāng)時(shí)，利用計(jì)算工具求得
所以，生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14含量衰減為原來(lái)的約.
例題解析
在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到類似于例2（1）的指數(shù)增長(zhǎng)模型：設(shè)原有量為，每次的增長(zhǎng)率為，經(jīng)過(guò)次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到，則
形如的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型.
02
小結(jié)及隨堂練習(xí)
課堂小結(jié)
一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).
其中指數(shù)是自變量，定義域是.
指數(shù)函數(shù)的概念
課堂小結(jié)
指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
指數(shù)為自變量
底數(shù)為常數(shù)
系數(shù)為1
隨堂練習(xí)
1、（多選）給出下列函數(shù)，其中是指數(shù)函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
由指數(shù)函數(shù)定義知形如叫作指數(shù)函數(shù)，是冪函數(shù)，故A不是；是與的乘積也不是指數(shù)函數(shù)，故B不是；和是指數(shù)函數(shù).
CD
隨堂練習(xí)
2、隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2019年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么2025年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為（ ）
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
【解析】
B
設(shè)經(jīng)過(guò)年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為元，根據(jù)題意可得
從2019到2025年共經(jīng)過(guò)了6年，故答案為元.
隨堂練習(xí)
3、若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)
【解析】
由是指數(shù)函數(shù)，
2
可得 ，解得 .
隨堂練習(xí)
4、有關(guān)部門計(jì)劃于2019年向某市投入128輛電力型公交車，且隨后電力型公交車每年的投入量比上一年增加50%，試問(wèn)：該市在2025年應(yīng)投入多少輛電力型公交車？
隨堂練習(xí)
【解析】
設(shè) 年后，該市投入了 輛電力型公交車，則
該市在2025年投入的電力型公交車數(shù)量為
即 （輛）
故該市在2025年應(yīng)投入1458輛電力型公交車.

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