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人教A版
高中數學 · 必修一
指數函數的圖象與性質
第四章 指數 4.2.2
知識回顧
一般地，函數叫做指數函數.
其中指數是自變量，定義域是.
指數函數的概念
知識回顧
指數函數的結構特征：
指數為自變量
底數為常數
系數為1
學習目標
能用描點法或借助信息技術畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點；
通過指數函數的研究，進一步體會函數研究的基本方法；
01
02
運用指數函數模型，解決簡單的實際問題.
03
核心素養
【數學抽象】
指數函數的圖像與性質；
【邏輯推理】
類比法學習指數函數性質；
【數學運算】
運用指數函數性質解決問題；
【數學建模】
在實際問題中建立指數函數模型.
課程導入
前面我們學習了指數函數的概念，接下來就要研究它的圖象和性質. 回顧以往的研究經驗，你能說說我們要研究哪些內容？研究方法是什么？
先畫出具體函數的圖象，然后通過觀察、比較不同函數的圖象，最后歸納它們共同的特征.
研究函數的一般方法：
概念一圖象一性質
01
指數函數的圖象和性質
問題探究
先從簡單的函數開始.
請同學們完成的對應值表，并用描點法畫出函數的圖象.
描點法取值應注意什么呢？
利用描點法畫圖象，取值時要注意代表性，即根據定義域的分布確定，如，可兼顧正負與對稱原則.
描點法的步驟：列表→描點→連線.
問題探究
x y
-2
-1.5 0.35
-1
-0.5 0.71
0
0.5 1.41
1
1.5 2.83
2
0.25
0.5
1
2
4
描點
連線
問題探究
觀察函數的圖象有什么特點？你認為可以從哪些方面進行觀察？你能發現函數的哪些性質？
觀察函數的圖象位置、變化趨勢，你能概括出的定義域、值域、奇偶性和單調性嗎？
追問
01
問題探究
不具有
增函數
定義域
值域
奇偶性
單調性
問題探究
畫出函數的圖象，觀察該圖象有什么特點？
不具有
減函數
定義域
值域
奇偶性
單調性
問題探究
將函數的圖象，與函數的圖象進行比較，它們有什么關系？ 能否利用函數的圖象，畫出函數的圖象？
追問
01
因為 ，
點與點關于軸對稱，
所以函數圖象上任意一點關于軸的對稱點都在函數的圖象上. 反之亦然.
底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于軸對稱. 根據這種對稱性，就可以利用一個函數的圖象，畫出另一個函數的圖象.
問題探究
根據函數和得出的結論，可將指數函數的圖象按底數的取值，分為和兩種類型進行研究.
請畫出函數、的圖象，與函數的圖象進行比較，觀察圖象位置、公共點、變化趨勢、定義域、值域和單調性，它們有哪些共性？
當時
1
問題探究
增函數
增函數
定義域
值域
單調性
公共點
問題探究
定義域
值域
單調性
增函數
公共點
增函數
增函數
問題探究
請畫出函數、的圖象，與函數的圖象進行比較，概括它們的性質.
當時
2
問題探究
減函數
減函數
定義域
值域
單調性
公共點
問題探究
定義域
值域
單調性
減函數
公共點
減函數
減函數
問題探究
比較指數函數的圖象和性質，看它們有什么區別與聯系？
問題探究
(0，1)
當時，為增函數；
定義域
值域
公共點
單調性
當時，為減函數.
問題探究
下面借助信息技術來畫圖，觀察和時指數函數的圖象和性質是否和上述結論一致呢？
指數函數的圖象和性質
圖象
定義域 值域 性質
減函數
增函數
過定點，即時，
指數函數的圖象和性質
當時，；
當時，；
當時，.
當時，；
當時，；
當時，.
函數值的變化情況
對稱性
函數與的圖象關于軸對稱.
奇偶性
非奇非偶函數.
拓展提升
畫出下列函數的圖象，并說明它們是由函數圖象經過怎樣的變換得到的.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：
（1）函數的圖象是由圖象向右平移1個單位長度得到的.
（2）函數的圖象是由圖象向上平移1個單位長度得到的.
拓展提升
（3）函數的圖象是由位于軸上及軸右邊的圖象和其關于軸對稱的圖象組成.
（4）函數的圖象是由圖象先向下平移1個單位長度，然后將其軸下方的圖象翻折到軸上方得到的.
拓展提升
，平移變換的動態演示
拓展提升
指數函數圖像的基本變換
平移變換
圖象
向左平移個單位長度
的圖象
向右平移個單位長度
向上平移個單位長度
向下平移個單位長度
的圖象
的圖象
的圖象
拓展提升
對稱變換的動態演示
拓展提升
指數函數圖像的基本變換
對稱變換
圖象
關于x軸對稱
的圖象
關于y軸對稱
關于原點對稱
的圖象
的圖象
拓展提升
翻折變換的動態演示
拓展提升
指數函數圖像的基本變換
翻折變換
圖象
保留y軸右側的圖象，并作其關于y軸的對稱圖形
的圖象
圖象
保留x軸上方的圖象，并x軸下方圖象翻折到x軸上方
的圖象
02
指數函數單調性的應用
例題解析
例3
比較下列各題中兩個值的大小：
分析：
（1）（2）底數相同，指數不同，所以可將要比較的兩個值看作一個指數函數的兩個函數值，利用指數函數的單調性進行比較.
（1），；
（2），；
（3），；
解：
（1）和可看作函數當分別取和時所對應的兩個函數值.
因為底數，所以指數函數是增函數.
因為，所以 .
（2）同（1）理，因為，所以指數函數是減函數.
因為，所以 .
例題解析
分析：
對于（3），兩個值的底數不同，指數也不同，所以不能采用剛才的方法進行比較.
可以利用函數和的單調性，以及“時，” 這條性質把它們聯系起來.
（3）由指數函數的性質知
所以 .
解題方法
指數冪的大小比較問題的三種類型及解法
底數相同，指數不同：
利用指數函數的單調性判斷大小.
底數不同，指數相同：
利用冪函數的單調性判斷大小.
（也可借助指數函數的圖象判斷大小）
底數不同，指數不同：
一般借助中間值（0，1等）判斷大小.
跟蹤訓練
比較下列各題中兩個值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
解：
（1）因為，所以指數函數 是減函數.
又 ，所以.
（2）方法一：
在同一平面直角坐標系中畫出指數函數與的圖象.
當時，由圖象觀察可得.
跟蹤訓練
方法二：
構造冪函數 ，則該函數是減函數.
又 ，所以
（3）因為，所以指數函數 與是減函數，
且在區間上函數的圖象在函數的圖象的下方，
所以.
又因為指數函數 是減函數，可得 ，
所以 .
03
指數函數的應用
例題解析
例4
如圖，某城市人口呈指數增長.
（1）根據圖象，估計該城市人口每翻一番所需的時間（倍增期）；
（2）該城市人口從80萬人開始，經過20年會增長到多少萬人？
翻一番是什么意思？
翻一番
翻兩番
翻三番
翻n番
例題解析
分析：
（1）因為該城市人口呈指數增長，而同一指數函數的倍增期是相同的，所以可以從圖象中選取適當的點計算倍增期.
解：
（1）觀察右圖，
發現該城市人口經過20年約為10萬人，
經過40年約為20萬人，
即由10萬人口增加到20萬人口所用的時間約為20年，
所以該城市人口每翻一番所需的時間約為20年.
例題解析
分析：
（2）要計算20年后的人口數，關鍵是要找到20年與倍增期的數量關系.
（2）因為倍增期為20年，
所以每經過20年，人口將翻一番.
因此，從80萬人開始，經過20年，該城市人口大約會增長到160萬人.
04
小結及隨堂練習
課堂小結
圖象
定義域 值域 性質
減函數
增函數
過定點，即時，
指數函數的圖象和性質
課堂小結
當時，
當時，
當時，
當時，
當時，
當時，
函數值的變化情況
對稱性
函數與的圖象關于軸對稱.
奇偶性
非奇非偶函數
課堂小結
指數函數圖像的基本變換
平移變換
圖象
向左平移個單位長度
的圖象
向右平移個單位長度
向上平移個單位長度
向下平移個單位長度
的圖象
的圖象
的圖象
課堂小結
對稱變換
圖象
關于x軸對稱
的圖象
關于y軸對稱
關于原點對稱
的圖象
的圖象
翻折變換
圖象
保留y軸右側的圖象，并作其關于y軸的對稱圖形
的圖象
圖象
保留x軸上方的圖象，并x軸下方圖象翻折到x軸上方
的圖象
隨堂練習
1、已知，則的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
∵ 增函數， ， ，
C
∴ ，即
隨堂練習
2、函數的圖象如圖所示，其中為常數，則下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
D
從曲線的變化趨勢，可知函數為減函數，則
從曲線的位置看，的圖象是由函數圖象向左平移長度得到的，所以即.
隨堂練習
3、 若，則的取值范圍是 （ ）
A. B.
C. D.
【解析】
∵ ，且 增函數，
D
∴ ， ∴ .
隨堂練習
4、 已知函數
（1）求此函數的定義域，值域.
（2）確定函數的單調區間.
【解析】
（1）定義域為R，
∵ ，
∴ ，
∴ 函數的值域為.
隨堂練習
（2）令 ，
則 .
∵ ，∴ 為減函數，
又∵ 在上單調遞減，在上單調遞增.
∴ 函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

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