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(共28張PPT)
4.3對數
4.3.1對數的概念
數學背景
16世紀，隨著哥白尼“日心說”的盛行，天文學也蓬勃發展.歐洲人漸漸熱衷于地理探險和海洋貿易，特別是地理探險需要更準確的天文知識，需要對龐大的“天文數據”進行快速和準確的計算.但那時候還沒有計算機，人們迫切需要找到一種方法提高運算效率.該怎么辦呢？
請計算下面的式子(不使用計算器)：
16世紀德國數學家斯蒂菲爾研究了下面兩行數:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 …
斯蒂菲爾發現了一個規律：
x
N
N=2x
7 8
128 256
思考：132和156能否也寫成2x的形式？
查表：數的乘法/乘方/開方→指數加/減法等
德國數學家斯蒂菲爾的對數表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 …
x
N
蘇格蘭數學家納皮爾的對數表：
英國數學家布里格斯的對數表：
N x N x N x
1 0 6 0.77815125038364 11 1.04139268515822
2 0.30102999566398 7 0.84509804001426 12 1.07918124604762
3 0.47712125471966 8 0.90308998699194 13 1.11394335230683
4 0.60205999132796 9 0.95424250943932 … …
5 0.69897000433602 10 1
數學背景——對數表的演變
抽象背景，引入概念
以2為底5的對數
以2為底9.3的對數
以4為底21的對數
x是以a為底N的對數
對數：logarithm
對數源于指數.
——歐拉
一、對數的概念
1.對數的定義：一般地,若ax=N(a>0且a≠1),則數x叫做以a為底N的對數,
記作x=logaN(a>0且a≠1,N>0).
其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
如：若42=16，則2=log416，讀作2是以4為底16的對數.
對數:logarithm
注：①當a>0且a≠1時，ax=N x=logaN；
②對數的意義：表示指數式中的指數，減輕思維和運算負擔；
③loga1= ；logaa= ；
0
1
④真數N>0：負數和0沒有對數
對數和指數運算互為逆運算
⑤常用對數：以10為底的對數log10N，簡記作lg N；
自然對數：以e為底的對數logeN，簡記作ln N；
無理數e=2.71828…
數學文化——“對數”的評價
布里格斯說：對數的發明，延長了天文學家的壽命.
伽利略說：給我空間、時間及對數，我可以創造一個宇宙.
恩格斯說：對數的發明與解析幾何的創立、微積分的建立是17世紀數學史上的3大成就.
鞏固概念一
對數:logarithm
鞏固概念二
對數:logarithm
鞏固概念三
對數:logarithm
[練習1]求下列各式中x的值.
(1) log3(lg x) =1
(2) log2(logx 16) =2
4.3.2
對數的運算
定義延伸
N
對數恒等式
5
7
3
提出問題
Q1:引入對數之后，自然應研究對數的運算性質，怎樣研究？
Q2:知道了指數與對數間的關系，能否利用指數冪運算性質得出相應的對數運算性質？
①am·an=am+n ②am÷an=am-n ③(am)n=amn
對數的運算性質
當a>0且a≠1,N>0,M>0時：
(真數)積的對數=對數的和
(真數)商的對數=對數的差
對數的實際應用
在生物領域，由碳14含量求生物死亡年數；
化學領域，對數用于計算PH值pH=-lg[H+]
在地理領域，對數用于計算地震強度；
在物理領域，對數用于測量聲音的分貝10·lg(P/Pref)
里氏地震規模：M= lg (I/S)
距離震中100km處的最大水平位移為I;
“標準地震”的最大振幅為S(通常S=1μm)
每升1級，最大振幅擴大10倍，能量釋放擴大30倍
對數換底公式
當a,c>0且a,c≠1,b>0時：
(底不同運算)
對數換底公式的靈活運用一
思路：底換為6
思路：底換為18
對數換底公式的靈活運用一
思路：底換為6
思路：底換為18
對數換底公式的靈活運用一
思路一：底換為2
思路二：底換為3
思路三：底換為10
思路四：底換為e
對數換底公式的靈活運用二
思路:
a=
b=
已知指數連等式時，
可化為對數式,或同時取同底對數
對數換底公式的靈活運用二
1
對數換底公式的靈活運用二
課內作業
P126-第3題(3)~(6)
第4題(3)(4)
第5題(2)(3)
第6題
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