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第四章 指數函數與對數函數
對數的運算
高中數學 · 必修一
知識回顧
對數的概念
定義
為底數
為真數
特殊的對數
常用對數
自然對數
對數式與指數式的互化
對數的基本性質
負數和0沒有對數
，
以10為底的對數
以為底的對數
知識回顧
對數式與指數式的互化：
表達形式 對應的運算
底數 指數 冪
底數 對數 真數
學習目標
理解并掌握對數的運算性質，并進行簡單的計算；
理解對數換底公式，能夠用公式實現其他底數的對數的運算.
核心素養
數學抽象
對數的運算性質；
邏輯推理
推導對數的運算性質和換底公式；
數學運算
對數的運算.
課程導入
知識回顧
指數冪的運算性質：
（1）
（2）
（3）
Part 01
對數的運算性質
問題探究
我們知道了對數與指數間的關系，能否利用指數冪運算性質得出相應的對數運算性質呢？
問題
問題探究
設 ， .
因為 ，所以 .
根據對數與指數間的關系可得
， ，
故 .
此推導方法是從指數冪運算的角度出發，還有其他推導方法嗎？
方法一
1
問題探究
設 ， ，
即 ， ，
所以 ，
所以 ，
故 .
此推導方法是從對數運算的角度出發.
方法二
1
問題探究
設 ， ，
因為 ，所以
根據對數與指數間的關系可得
， ，
故 .
2
問題探究
設 ，
因為 ，所以 ，
所以 .
故
3
因為
對數的運算性質
對數的運算性質
（1）；
（2）；
（3）.
如果，且，，那么
例題解析
例3
求下列各式的值：
（1）； （2）.
解：
（1）
（2）
例題解析
例4
用 ，， 表示 .
解：
跟蹤訓練
求下列各式的值：
（1）； （2）.
（3）；
（4）.
跟蹤訓練
【解析】
（1）
（2）
（3）
（4）
Part 02
對數換底公式
問題探究
1. 利用計算工具求 ， 的近似值；
探究
問題探究
2. 根據對數的定義，你能利用， 的值求的值嗎？
探究
【分析】
觀察
共同點
設 ，則 ，.
所以 ，
所以 ，即
問題探究
3. 根據對數的定義，你能用，表示嗎？
探究
設 ，則 ，于是
根據性質（3）得 ， ，即
對數換底公式
對數換底公式
用自然語言描述：一個對數的值等于兩個同底的對數的商，其中分子是真數的對數，分母是以原對數的底數為真數的對數.
意義
對數換底公式的意義在于改變對數式的底數，把不同的底數問題轉化為同底數問題后求解.
保證公式中的每一個對數式都有意義.
對數換底公式
（1）
對數換底公式的推論
（2）
（3）
（4）
對數換底公式
利用計算工具，可得
在4.2.1的問題1中，求經過多少年B地景區的游客人次是2001年的2倍.
因為 ，即
應用
所以
【解析】
由此可得，大約經過7年，B地景區的游客人次就達到2001年的2倍.
跟蹤訓練
1、 的值為（ ）
A. B. C. D.
【解析】
跟蹤訓練
2、
（1）原式
【解析】
（1）； （2）.
（2）原式
例題解析
例5
盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為
2011年3月11日，日本東北部海域發生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）？
例題解析
解：
設里氏9.0級和8.0級地震的能量分別為和.
由 可得
于是，
利用計算工具可得，
雖然里氏9.0級地震與里氏8.0級地震僅相差1級，但前者釋放出來的能量卻是后者的約32倍.
例題解析
想一想，為什么兩次地震的里氏震級僅差1級，而釋放的能量卻相差那么多呢？
問題
例題解析
地震中能量是很大的數值，進行對數運算后，其數值就變得非常小. 這其實相當于把指數冪運算中冪的結果反映在指數上.
以10為底的指數冪運算中
在以10為底的對數運算中
所以，在指數冪運算中，“指數增長”的變化非?？?；在對數運算中，“對數增長”的變化就比較慢.
Part 03
小結及隨堂練習
課堂小結
對數的運算性質
（1）；
（2）；
（3）.
如果，且，，那么
課堂小結
對數換底公式
課堂小結
對數換底公式的推論
（1）
（2）
（3）
（4）
隨堂練習
1、如果，那么（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
由 ，可得
隨堂練習
2、計算： （ ）
A. B. C. D.
【解析】
原式
隨堂練習
3、設 ，，則 （ ）
【解析】
A. B. C. D.
∵ ，∴
∴
隨堂練習
4、朗伯比爾定律是分光光度法的基本定律，是描述物質對某一波長光吸收的強弱與吸光物質的濃度及其液層厚度間的關系，其數學表達式為 ，其中為吸光度，為透光度，為摩爾吸光系數，為吸光物質的濃度，單位為mol/L，為吸收層厚度，單位為 cm. 保持不變，當吸光物質的濃度增加為原來的兩倍時，透光度由原來的變為（ ）
A. B. C. D.
隨堂練習
由，得 ，
【解析】
所以 .
若保持不變，當吸光物質的濃度增加為原來的兩倍時，
則 ，所以 ，
所以 ，所以透光度由原來的變為.
隨堂練習
5、
（1）；
（2）；
（3）.
隨堂練習
（1）原式
【解析】
（2）原式
（3）原式

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