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第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
高中數(shù)學(xué) · 必修一
知識(shí)回顧
對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
（1）；
（2）；
（3）.
如果，且，，那么
知識(shí)回顧
對(duì)數(shù)換底公式
知識(shí)回顧
對(duì)數(shù)換底公式的推論
（1）
（2）
（3）
（4）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
能從教材實(shí)例中抽象出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，認(rèn)識(shí)與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系；
在對(duì)數(shù)函數(shù)概念形成過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)，感受知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系；
會(huì)求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，能利用對(duì)數(shù)函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
核心素養(yǎng)
數(shù)學(xué)抽象
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；
邏輯推理
對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；
數(shù)學(xué)運(yùn)算
求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.
課程導(dǎo)入
在4.2節(jié)中，我們用指數(shù)函數(shù)模型研究了呈指數(shù)增長(zhǎng)或衰減變化規(guī)律的問(wèn)題. 對(duì)這樣的問(wèn)題，在引入對(duì)數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對(duì)其蘊(yùn)含的規(guī)律作進(jìn)一步的研究.
Part 01
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
問(wèn)題探究
首先回顧一下，4.2.1的問(wèn)題2.
當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”. 按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？
設(shè)生物死亡年數(shù)為，死亡生物體內(nèi)碳14含量為，
4.2.1 問(wèn)題2
在此問(wèn)題中，生物體內(nèi)的碳14含量是隨時(shí)間呈連續(xù)的指數(shù)衰減變化.
問(wèn)題探究
如果已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長(zhǎng)時(shí)間？
問(wèn)題1
生物死亡年數(shù)
死亡生物體內(nèi)碳14含量
根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系：
問(wèn)題探究
問(wèn)題2
死亡時(shí)間是碳14的含量的函數(shù)嗎？
問(wèn)題探究
如圖，過(guò)軸正半軸上任意一點(diǎn)作軸的平行線，與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).
這就說(shuō)明，對(duì)于任意一個(gè)，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，在上都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，所以 也是 的函數(shù).
函數(shù) 刻畫了時(shí)間隨碳14含量的衰減而變化的規(guī)律.
問(wèn)題探究
問(wèn)題3
指數(shù)函數(shù)也能表示成是的函數(shù)嗎？
根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系：
結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像可知，對(duì)于任意一個(gè)，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系，都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，所以也是 的函數(shù).
問(wèn)題探究
自變量：
函數(shù)：
通常情況下，我們用表示自變量，表示函數(shù).
在不影響函數(shù)本質(zhì)的情況下，通常用表示自變量，為此，將上式中的字母和進(jìn)行對(duì)調(diào).
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).
其中是自變量，定義域是.
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
問(wèn)題4
為什么在對(duì)數(shù)函數(shù)中規(guī)定底數(shù)？
根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系知，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的范圍，可知.
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)變化而來(lái)的，對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是.
問(wèn)題5
對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)槭裁词牵?br/>對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
真數(shù)僅為自變量
底數(shù)為常數(shù)
系數(shù)為1
（多選題）下列函數(shù)中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D. 是常數(shù))
跟蹤訓(xùn)練
對(duì)于A，真數(shù)是，故A不是對(duì)數(shù)函數(shù)；
對(duì)于B， 真數(shù)是，故B不是對(duì)數(shù)函數(shù)；
對(duì)于C，的系數(shù)為1，真數(shù)是，故C是對(duì)數(shù)函數(shù)；
對(duì)于D，底數(shù)，真數(shù)是，故D是對(duì)數(shù)函數(shù)；
【解析】
CD
例題解析
例1
求下列函數(shù)的定義域：
（1）；
（2） .
解：
（1）因?yàn)椋矗院瘮?shù)的定義域是
（2）因?yàn)椋矗院瘮?shù)的定義域是
例題解析
例2
假設(shè)某地初始物價(jià)為1，每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過(guò)年后的物價(jià)為.
（1）該地的物價(jià)經(jīng)過(guò)幾年后會(huì)翻一番？
（2）填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說(shuō)明該地物價(jià)的變化規(guī)律.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
例題解析
解：
（1） 由題意可知，經(jīng)過(guò)年后的物價(jià)為
即
由對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得
由計(jì)算工具可得，當(dāng)時(shí)，.
所以，該地區(qū)的物價(jià)大約經(jīng)過(guò)14年后會(huì)翻一番.
例題解析
（2） 根據(jù)函數(shù)，利用計(jì)算工具，可得下表：
由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，但大約每增加1所需要的年數(shù)在逐漸縮小.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
14 23 28 33 37 40 43 45 47
體現(xiàn)了對(duì)數(shù)函數(shù)模型緩慢增長(zhǎng).
Part 02
小結(jié)及隨堂練習(xí)
課堂小結(jié)
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).
其中是自變量，定義域是.
課堂小結(jié)
對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
真數(shù)僅為自變量
底數(shù)為常數(shù)
系數(shù)為1
1、 若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則
隨堂練習(xí)
由題意可知
【解析】
，
解得 .
2、求下列函數(shù)的定義域：
（1） ；
（2） ；
（3） .
隨堂練習(xí)
（1）要使函數(shù)有意義，則
【解析】
，
所以
故所求函數(shù)的定義域是.
隨堂練習(xí)
（2）要使函數(shù)有意義，則，即，
若，則 ，所以 ；
若，則，所以 ；
因此，當(dāng)時(shí)，所求定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，所求定義域?yàn)?
（3）要使函數(shù)有意義，則
，
得
所以 . 故所求函數(shù)的定義域是.

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