資源簡介

(共46張PPT)
5.6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)
5.6.1勻速圓周運動的數(shù)學模型
預備知識1：數(shù)學模型
數(shù)學模型：針對某個實際問題中的各種特征或數(shù)量關(guān)系，運用合適的數(shù)學語言和工具，概括或近似地表述出的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。
可指數(shù)學中的函數(shù)、關(guān)系式、圖表等。
實際問題
數(shù)學模型
數(shù)學建模
人口增長、死亡生物體內(nèi)碳14的含量、地震震級與能量、學生綜合素質(zhì)測評、生豬養(yǎng)殖場的經(jīng)營管理
數(shù)學語言和工具
數(shù)學建模：根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，對數(shù)學模型進行求解、檢驗、分析，再利用該數(shù)學模型去解決實際問題。
預備知識2：三角函數(shù)的定義
設任意角α的始邊OA從x軸的非負半軸，按一定方向旋轉(zhuǎn)角α.
①若角α的終邊OP與單位圓的交點坐標為P(x,y),
則sin α=______，cos α=______，tan α=______。
y
x
②若角α的終邊OP上任意一點的坐標為P(x,y),
點P到原點O的距離為r，
則sin α=______，cos α=______，tan α=______。
預備知識3：單位圓上的勻速圓周運動
單位圓上的動點P, 以(1,0)為起點, 以單位速度1 rad/s按逆時針方向運動了t 秒, 其運動規(guī)律具有______性, 點P的縱坐標y與時間t的關(guān)系是_________, 即可用______函數(shù)模型刻畫．
y=sin t
t
P
A(1,0)
O
x
三角
P
A(1,0)
O
周期
提出問題：一般的勻速圓周運動
生活中一般的勻速圓周運動與上述運動有什么異同點？
可用怎樣的數(shù)學模型刻畫？
摩天輪上的觀光車廂
自行車輪上的某點
筒車上的盛水筒
不同：圓的半徑、角速度、起點位置等
相同：周期性等
可用三角函數(shù)模型刻畫
筒車是我國古代發(fā)明的一種以水流作動力，取水灌田的水利灌溉工具，它既節(jié)省人力，又經(jīng)濟環(huán)保。
輪周斜裝若干竹木制的盛水筒，利用水流推動主輪時，輪周小筒按次序入水舀滿， 至頂傾出， 接以木槽， 導入渠田。
實際問題
思考1:假設水流量穩(wěn)定，筒車上的每個盛水筒都做勻速圓周運動。你會用
什么函數(shù)模型刻畫盛水筒距離水面的相對高度H與時間t的關(guān)系
因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可考慮用三角函數(shù)模型刻畫其運動規(guī)律．
實際問題
wt
抽象問題
思考2:盛水筒距離水面的高度與
哪些量有關(guān)？
設經(jīng)過t s，盛水筒M(視為質(zhì)點)從點P0逆時針運動到點P.
P0
P
筒輪中心O到水面的距離h
筒車半徑r
以初始位置OP0為終邊的角φ
O
r
h
筒車轉(zhuǎn)動的角速度w
w
φ
筒車t s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為wt
建立模型
抽象問題：假設水流量穩(wěn)定，筒車上的每個盛水筒都做勻速圓周運動.
設經(jīng)過t s，盛水筒M(視為質(zhì)點)從點P0逆時針運動到點P，
此時點P距離水面的高度為H.
筒車中心O到水面的距離為h m，半徑為r m，
以初始位置OP0為終邊的角φ，角速度為w rad/s.
實際問題：盛水筒M距離水面的相對高度H與時間t的關(guān)系
抽象問題：假設水流量穩(wěn)定，筒車上的每個盛水筒都做勻速圓周運動.
設經(jīng)過t s，盛水筒M(視為質(zhì)點)從點P0逆時針運動到點P，
此時點P距離水面的高度為H.
筒車中心O到水面的距離為h m，半徑為r m，
以初始位置OP0為終邊的角φ，角速度為w rad/s.
建立模型
思考3:如何用代數(shù)刻畫動點P的位置？
以O為原點，以與水平面平行的直線為x軸，
建立平面直角坐標系，設點P(x, y)．
x
y
思考4:如何用代數(shù)刻畫點P的縱坐標y與上述量的關(guān)系？
y=r·sin(wt+φ)
由三角函數(shù)的定義得，
思考5:點P的距離水面的高度H與y, h有什么關(guān)系？
H=y+h
=r·sin(wt+φ)+h
形
數(shù)
點
坐標
建系
y>0時,H=y+h
y<0時,H=h-|y|=h+y
y
實際問題：盛水筒M距離水面的相對高度H與時間t的關(guān)系
求解模型
假設水流量穩(wěn)定，筒車的每個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒M從點P0處開始逆時針轉(zhuǎn)動，OP0與水平面的所成角為30°，且每2分鐘恰好轉(zhuǎn)動1圈，則盛水筒M距離水面的高度H(單位:米)與時間t(單位：秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是( ).
P
任務1：角速度為___ rad/s；建系并在圖中標出已知量；表示yp與已知量的關(guān)系式.
H=r·sin(ωt+φ)+h
模型應用與檢驗
假設水流量穩(wěn)定，筒車的每個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒M從點P0處開始逆時針轉(zhuǎn)動，OP0與水平面的所成角為30°，且每2分鐘恰好轉(zhuǎn)動1圈，則盛水筒M距離水面的高度H(單位:米)與時間t(單位：秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是
P
任務2：求筒車轉(zhuǎn)動1分鐘時盛水筒M距離水面的高度.
x
y
任務3：求盛水筒M第一次到達最高點所用的時間.
任務4：求盛水筒M進入水面后至少經(jīng)過多久轉(zhuǎn)出水面.
勻速圓周運動的
數(shù)學模型
實際
問題
抽象問題
建立模型
求解模型
模型應用
與檢驗
課堂小結(jié)
筒車的運動規(guī)律
筒車上的盛水筒做勻速圓周運動，研究盛水筒距離水面的高度H與時間t的關(guān)系。
畫圖，建系，找量
將需要用到的變量和常量代數(shù)化，數(shù)形結(jié)合。
建立函數(shù)模型
利用三角函數(shù)的定義、平面幾何等數(shù)學工具來刻畫各變量、常量間的數(shù)學關(guān)系。
H=r·sin(ωt+φ)+h
收集數(shù)據(jù)，求解模型
利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算。
借助模型，解決實際問題
將模型計算經(jīng)過與實際情形進行比較，以此驗證模型的準確性和適用性。若模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出實際含義。
數(shù)學源于生活，用于生活!
數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁!
問題延伸與思考
2.本節(jié)課我們研究了筒車的盛水筒的運動規(guī)律，得出了一個新的函數(shù)模型：y=Asin(ωx+φ)+k，根據(jù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的經(jīng)驗，接下來應該研究什么？
y=Asin(ωx+φ)+k的圖象和性質(zhì)
1.若筒車上均勻分布著12個盛水筒，求相鄰兩個盛水筒的高度差的解析式，并利用已學的和差化積的方法或輔助角公式對該解析式進行變形化簡，并求其最大值.
5.6.2函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象
1.參數(shù)φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響
x 0 π 2π
y 0 1 0 -1 0
0 π 2π
x
y 0 1 0 -1 0
五點法作圖
0 π 2π
x
y 0 1 0 -1 0
1.參數(shù)φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響
2.參數(shù)ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響
0 π 2π
x
y 0 1 0 -1 0
0 π 2π
x
y 0 1 0 -1 0
2.參數(shù)ω對y=sin(ωx+φ)圖象的影響(ω>0)
3.參數(shù)A對y=Asin(ωx+φ)圖象的影響(A>0)
方法梳理：y=Asin(ωx+φ)的圖象
(法1:先平移后伸縮)
(法2:先伸縮后平移)
運用：y=Asin(ωx+φ)的圖象
P237
0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
(法1:五點法)
(法2:秒變法)
運用：y=Asin(ωx+φ)的圖象
P239
畫簡圖
標五點
運用：y=Asin(ωx+φ)的圖象
P239
運用：y=Asin(ωx+φ)的圖象
P239
運用：y=Asin(ωx+φ)的圖象
P239
[變式]P240-1 C A D
y=Asin(ωx+φ)的圖象
y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)(A>0)
(原理：令y=±A,三角函數(shù)在對稱軸取得最值)
(原理：令y=0)
▲求指定區(qū)間上的值域
y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)(A>0)
運算易出錯，注意檢查
y=Atan(ωx+φ)的性質(zhì)(A>0)
▲求指定區(qū)間上的值域
課后作業(yè)
1.課本P240-2(3)(4)、P255-第21、22題
提示：二倍角公式、輔助角公式、結(jié)合y=sin t的圖象
三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
綜合運用
要點1：由圖象求解析式/求值
(法1:代最值點)
(代特殊點)
要點1：由圖象求解析式/求值
(法2:代零點)
(代特殊點)
A：看最值
w：看周期
φ：代最值點
代零點：需區(qū)分“升零點”or“降零點”.
要點1：由圖象求解析式/求值
(代最值點)
要點1：由圖象求解析式/求值
(代最值點)
要點1：由圖象求解析式/求值
要點2：由解析式定性質(zhì)
BCD
(0,1)是遞增時的點
要點3：知性質(zhì)求參數(shù)(ω)
(法1)
(法2)
要點3：知性質(zhì)求參數(shù)(ω)
(法1)
(法2)
要點3：知性質(zhì)求參數(shù)(ω)
析:
B
要點4：知性質(zhì)求參數(shù)(ω)
析:
A
法2:特殊值排除法
2
-2
要點5：圖象與交點(零點)問題
方程的解
圖象的交點
要點5：圖象與交點(零點)問題
方程的解
圖象的交點
換元
2
-2
Thanks
好學數(shù)學
數(shù)學好學
學好數(shù)學
hào
hǎo
hǎo

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