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二項分布
《 高中數學 · 選擇性必修三 》
離散型隨機變量的方差：
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，
方差的性質：
則稱
為隨機變量X的方差，并稱 為隨機變量X的標準差，記為σ(X).
隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.
復習回顧
復習回顧
本節將研究兩類重要的概率模型---二項分布和超幾何分布.
(1) P(A∪B) = P(A) + P(B) (當A與B互斥時);
(2) P(AB) = P(A)·P(B) (當A與B相互獨立時).
前面我們學習了互斥事件、條件概率、相互獨立事件的意義, 這些都是我們在具體求概率時需要考慮的一些模型, 吻合模型用公式去求概率簡便.
除古典概型外，那么求概率還有什么模型呢？
(3) P(AB) = P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A)
問題1 觀察以下隨機試驗，它們有什么相同的特征？
（1）擲硬幣時正面朝上或反面朝上；
（2）檢驗一件產品結果為合格或不合格；
（3）飛碟射擊時中靶或脫靶；
（4）醫學檢驗結果為陽性或陰性.
上述隨機試驗都只包含兩個可能結果.
伯努利試驗
定義：只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.
將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：
（1）同一個伯努利試驗重復做n次；
（2）各次試驗的結果相互獨立.
(1)每次試驗是在同樣的條件下進行的;
(2)各次試驗中的事件是相互獨立的;
(3)每次試驗都只有兩種結果:發生與不發生;
(4)每次試驗,某事件發生的概率是相同的.
“重復”意味著各次試驗的條件相同, 試驗成功的概率也相同.
解:
隨機試驗
是否是n重伯努利試驗
伯努利試驗
重復試驗的次數
(1)
(2)
(3)
問題2 下面3個隨機試驗是否為n重伯努利試驗?如果是，那么其中的伯努利試驗是什么?對于每個試驗，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？重復試驗的次數是多少?
(1).拋擲一枚質地均勻的硬幣10次.
(2).某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8,連續射擊3次.
(3).一批產品的次品率為5 ,有放回地隨機抽取20次.
問題3 某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8. 連續3次射擊，中靶次數X的概率分布列是怎樣的?
用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1, 2, 3)，
用下圖的樹狀圖表示試驗的可能結果：
試驗結果
X的值
3次獨立重復試驗的結果兩兩互斥，每個結果都是由3個相互獨立事件的積.
則X的概率分布列為:
P(X=0)
你能求出剩下的概率嗎？
問題3 某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8. 連續3次射擊，中靶次數X的概率分布列是怎樣的?
用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1, 2, 3)，
則X的概率分布列為:
P(X=0)
P(X=1)
P(X=2)
P(X=3)= P(A1A2A3)
= 3×0.8×0.22
= 3×0.82×0.2
= 0.83
于是,中靶次數X的分布列可簡寫為:
P(X=k) =????????????×0.8k×0.23-k , (k=0, 1, 2, 3).
?
問題4 如果連續射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數X等于2的結果有哪些? 寫出中靶次數X的分布列.
（1）連續射擊4次，中靶次數X＝2的結果有
共6個.
(2)中靶次數X的分布列為
P(X=k)=????????????×0.8k×0.24-k,
(k=0, 1, 2, 3, 4).
?
中靶次數X的分布列可簡寫為：
二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p (0 二項分布
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布， 記作X ~ B(n, p).
= [(1-p)+p]n = 1.
X
0
1
…
k
…
n
p
…
…
問題5 對比二項分布與二項式定理，你能看出它們之間的聯系嗎?
如果把p看成b ，1-p看成a ，則 就是二項式定理[(1-p)+p]n的展開式的第k＋1項，由此才稱為二項分布.
服從二項分布的事件A恰好發生k次的概率 正好是二項式定理 展開式的第k＋1項，故有
追問 二項分布和兩點分布有什么聯系？
兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；
二項分布可以看做兩點分布的一般形式.
二項分布的分布列如下表
當n=1時，可以得到兩點分布的分布列如右表：
甲、乙、丙三人分別射擊同一個目標，都是“中”與“不中”兩種結果，是3重伯努利試驗
(2) 12道四選一的單選題，隨機猜結果，猜對答案的題目數X~B(12, 0.25)；
(3) 100 件產品中包含10件次品，不放回地隨機抽取6件，其中的次品數Y~B(6, 0.1).
判斷正誤
【例1】將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次, 求：
(2)正面朝上出現的頻率在[0.4, 0.6]內等價于4≤X≤6, 于是
(1)恰好出現5次正面朝上的概率;
(2)正面朝上出現的頻率在[0.4, 0.6]內的概率.
解: 設A= “正面朝上”, 則P(A)=0.5. 用X表示事件A發生的次數, 則X~B(10, 0.5).
(1) 恰好出現5次正面朝上等價于X=5, 于是
P(X=5)= ×0.55×(1-0.5)5
= ×0.510
P(4≤X≤6)= ×0.510+ ×0.510 + ×0.510
【例2】圖7.4-2是一塊高爾頓板的示意圖. 在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘, 小木釘之間留有適當的空隙作為通道, 前面擋有一塊玻璃. 將小球從頂端放入, 小球下落的過程中, 每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下, 最后落入底部的格子中, 格子從左到右分別編號為0, 1, 2, …, 10. 用X表示小球最后落入格子的號碼, 求X的分布列.
解：設A=“向右下落”，則????=“向左下落”，且P(A)=P(????)=0.5.
因為小球最后落入格子的號碼X等于事件A發生的次數，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以X～B(10, 0.5).
?
X的概率分布圖如右圖所示：
于是，X的分布列為
【例3】甲、乙兩選手進行象棋比賽, 如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6, 乙獲勝的概率為0.4, 那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？
解法1：采用3局2勝制, 甲最終獲勝有兩種可能的比分2:0或2:1, 前者是前兩局比賽全勝, 后者是前兩局甲、乙各用一局且第3局甲勝. 因為每局比賽的結果是獨立的, 甲最終獲勝的概率為
= 0.648.
類似地, 采用5局3勝制, 甲最終獲勝有3種比分3:0或3:1或3:2. 因為每局比賽的結果是獨立的, 甲最終獲勝的概率為
因為p2>p1, 所以采用5局3勝制對甲更有利.
p1 = 0.62+[ ×0.61×(1-0.6)1]×0.6
= 0.62+ ×0.62×0.4
p2=0.63+ ×0.63×0.4+ ×0.63×0.42 = 0.68256.
【例3】甲、乙兩選手進行象棋比賽, 如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6, 乙獲勝的概率為0.4, 那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？
= 0.68256.
p1 = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
采用5局3勝制, 不妨設賽滿5局, 用X表示5局比賽中甲獲勝的局數, 則X~B(5, 0.6). 甲最終獲勝的概率為
因為p2>p1, 所以采用5局3勝制對甲更有利. 實際上, 比賽局數越多, 對實力較強者越有利.
解法2：采用3局2勝制, 不妨設賽滿3局, 用X表示3局比賽中甲獲勝的局數, 則X~B(3, 0.6). 甲最終獲勝的概率為
= 0.648.
p1 = P(X=2)+P(X=3)= ×0.62×0.4+ ×0.63
= ×0.63×0.42+ ×0.64×0.41+ ×0.65
思考 為什么假定賽滿3局或5局，不影響甲最終獲勝的概率?
采用3局2勝制賽滿3局時，若前2局獲勝，那第3局的勝負并不影響甲獲勝；同樣，采用5局3勝制賽滿5局，若前3局獲勝，那后2局的勝負并不影響甲獲勝，若前4局勝3局，那第5局的勝負也不影響甲獲勝. 所以賽滿3局或5局，均不會不影響甲最終獲勝的概率.
一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下:
(1) 明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發生的概率p；
(2) 確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的獨立性；
(3) 設X為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，則X~B(n, p).
如果????~????(????,?????),?那么??????(????)=?????????,????????(????)=????????(?????????).
?
三、二項分布的均值與方差
探究:假設隨機變量X服從二項分布B(n, p), 那么X的均值和方差各是什么？
1. 將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲4次, X表示 “正面朝上”出現的次數.
(1) 求????的分布列;
?
(2) ????(????)=___,??????(????)=?_____.
?
解：
1. 二項分布：
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p (0如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布， 記作X ~B(n，p).
若X~B(n, p)，則有
2. 二項分布的均值與方差：

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