資源簡介

1　平均數與方差(4)
第六章　數據的分析
1.通過對幾組數據差異的分析，逐步抽象出刻畫數據離散程度的三個量，求出相應的值并應用，提高學生的理解能力和抽象總結能力.
2.經歷表示數據離散程度的幾個量的探索過程，通過實例體會用樣本估計總體的統計思想，培養學生的數學應用能力.
3.通過例子，讓學生較為全面地理解方差及其在現實生活中的應用，提高學生的應用意識.讓學生體會數據的離散程度在現實生活中的廣泛應用，應視情況分析方差或標準差對于問題的影響.
學習目標
1.數據的離散程度：在實際生活中，除了關心數據的集中趨勢外，人們往往還關注數據的離散程度，即它們相對于集中趨勢的偏離情況.在統計學里，數據的離散程度可以用離差平方和、方差或標準差等統計量來刻畫.
新課講授
探究：方差、標準差
2.離差平方和、方差、標準差：
(1)離差平方和是各個數據與它們平均數之差的平方和，
即S=(????1－????)2＋(????2－????)2＋…＋(????????－????)2.
(2)方差是各個數據與平均數之差的平方的平均數，
即s2＝1????[(x1－????)2＋(x2－????)2＋…＋(xn－????)2].
其中，????是x1，x2，…，xn的平均數.而標準差則是方差的
算術平方根.
?
新課講授
方差、平均數的內在聯系：
樣本數據
平均數
方差
x1，x2，…，xn
?x
s2
x1+a，x2+a，…，xn+a
?x+a
s2
kx1，kx2，…，kxn
k?x
k2s2
kx1+a，kx2+a，…，kxn+a
k?x+a
k2s2
新課講授
3.方差、標準差的意義：一般而言，一組數據的方差或標準差越小，這組數據就越穩定.反映在統計圖中，一組數據的波動越小，這組數據的方差或標準差越小.
新課講授
1.求方差的步驟：第一步，先求原始數據的平均數；第二步，求原始數據中各數據與平均數的差；第三步，求所得各個差的平方；第四步，求所得各平方數的平均數，可概括為“一均，二差，三方，四均”.
新課講授
2.使用科學計算器可以方便地計算一組數據的標準差，大致步驟是：進入統計計算狀態，輸入數據，按鍵得出標準差.
3.標準差的單位與原數據的單位一致；方差的單位是原數據單位的平方，一般不加單位.
例1.計算下面這一組數據的方差：2022，2023，2024，2025，2026.
典例分析
解：方法一(公式法)：因為?x=15×(2022+2023+2024+2025+2026)
=2024，
所以s2=[15×(2022－2024)2+(2023－2024)2+(2024－2024)2
+(2025－2024)2+(2026－2024)2]=2.
?
解：方法二(新數據法)：選取一個適當的數a=2024，計算該組數據
與a的差可得一組新數據－2，－1，0，1，2.
因為?x′=15×(－2－1+0+1+2)=0，
所以s′2=15×[(－2－0)2+(－1－0)2+(0－0)2+(1－0)2+(2－0)2]=2，
所以原數據的方差為2.
?
例1.計算下面這一組數據的方差：2022，2023，2024，2025，2026.
典例分析
1.若樣本x1，x2，…，xn的方差為2，則樣本2x1+5，
2x2+5，…，2xn+5的方差是(??)
A.2 B.4 C.7 D.8
D
小牛試刀
2.一組數據6，4，a，3，2的平均數是5，則這組數據的標準差是(　　)
A.8 B.5 C.22 D.3
?
C
小牛試刀
例2.某射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一名參加全國比賽，對他們進行了8次測試，測試成績(單位：環)如下表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
典例分析
(1)根據表中的數據，計算出甲的平均成績是______環，乙的平均成績
是______環.
9
9
(2)分別計算甲、乙兩名運動員8次測試成績的方差.
解：s2甲＝18[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]
＝0.75，
s2乙＝18[(10－9)2＋(7－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2]
＝1.25.
?
例2.某射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一名參加全國比賽，對他們進行了8次測試，測試成績(單位：環)如下表：
典例分析
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
(3)根據(1)(2)計算的結果，你認為推薦誰參加全國比賽更合適？請說明理由.
解：推薦甲參加全國比賽更合適.理由如下：甲、乙的平均成績相等，
說明實力相當，但甲8次測試成績的方差比乙小，說明甲發揮比乙穩定，故推薦甲參加全國比賽更合適.
例2.某射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一名參加全國比賽，對他們進行了8次測試，測試成績(單位：環)如下表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
典例分析
3.為考察甲、乙、丙、丁四種小麥的長勢，在同一時期分別從中隨機抽取部分麥苗，獲得苗高(單位：cm)的平均數與方差為?x甲=?x丙=13 cm，?x乙=?x丁=15 cm，s2甲=s2丁=3.6，
s2乙=s2丙=6.3.則麥苗又高又整齊的是(??)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
D
小牛試刀
4.如圖①和圖②中的兩組數據，分別是甲、乙兩地2024年
5月27日至31日每天的最高氣溫，設這兩組數據的方差分別
為s2甲，s2乙，則s2甲_______s2乙(填“>”“=”“<”).
<
小牛試刀
1.去年某果園隨機從甲、乙、丙、丁四個品種的葡萄樹中各采摘了
10棵，每棵產量的平均數(單位：千克)及方差S2，如表所示：
今年準備從四個品種中選出一種產量既高又穩定的葡萄樹進行種植，
應選的品種是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
B
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
甲
乙
丙
丁
?x
24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
學以致用
2.科學家同時培育了甲、乙、丙、丁四種花，從甲、乙、丙、丁
選個開花時間最短的并且最平穩的是(　　)
種類
甲種類
乙種類
丙種類
丁種類
平均數
2.3
2.3
2.8
3.1
方差
1.05
0.78
1.05
0.78
B
A.甲種類　　　 B.乙種類　　　　　　　C.丙種類　　　D.丁種類
學以致用
3.為了穩定市場，確保農民增收，某農產品3月以后的每月
市場收購價格與其前三個月的市場收購價格有關，并使其與
前三個月的市場收購價格之差的平方和最小，下表列出的是
該農產品今年前七個月的市場收購價格(不完整)，則前七
個月該農產品的市場收購價格的方差為(　　)
月份
1
2
3
4
5
6
7
價格/(元/擔)
68
78
67
71
72
70
B
A.757　　　　B.767　　　　C.11　　　　　　D.787
?
學以致用
課堂小結
方差、標準差
在實際生活中，除了關心數據的集中趨勢外，人們往往還關注數據的離散程度，即它們相對于集中趨勢的偏離情況.在統計學里，數據的離散程度可以用離差平方和、方差或標準差等統計量來刻畫.
一般而言，一組數據的方差或標準差越小，這組數據就越穩定.
應用
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