資源簡介

1　認識證明(1)
第七章　命題與證明
學習目標
1.了解推理的意義，知道要判斷一個數學結論是否正確，必須進行推理.(重點)
2.會用實驗驗證、舉出反例、推理等方法簡單地驗證一個數學結論是否正確.(難點)
新課導入
觀察下面兩幅圖中的中間圓，它們大小一樣嗎？
新課導入
線段AB和CD長度完全相等，
雖然它們看起來相差很大!
柱子是圓的還是方的？
有多少個黑點？
線是直的還是彎曲的？
新課導入
平行線：不敢相信圖中的橫線是平行的，不過它們就是平行線!
通過觀察、度量、猜測得到的結論都正確嗎？如果不是，那用什么方法才能說明它的正確性呢？
本章以之前學過的部分基本事實作為證明的起點，經歷根據基本事實推出其他結論的過程，證明與平行線的性質和判定有關的一些結論.在這些活動過程中，你將認識到證明的價值，初步掌握證明的方法及相應表達規范，體會數學的嚴謹性，形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣，發展推理能力等.
新課講授
a
b
(1)圖①中兩條線段a，b的長度相等嗎？圖②中的四邊形是正方形嗎？
請你先觀察，再設法檢驗你觀察到的結論.
以前，我們通過觀察、實驗、歸納得到了很多正確的結論.觀察、
實驗、歸納得到的結論一定正確嗎？我們再感受幾個！
a=b.
是正方形.
僅通過觀察得到的結論不一定正確.
探究：為什么要證明
圖①
圖②
新課講授
(2)如圖，假如用一根比地球的赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大？(地球看成球形)能放進一個紅棗嗎？能放進一個拳頭嗎？
所以它們的間隙不僅能放進一個紅棗，而且也能放進
一個拳頭.
解：設赤道周長為c，鐵絲與地球赤道之間的間隙為：
????+12π?????2π=12π≈0.16(m).
?
根據感覺經驗得到的結論不一定正確！
新課講授
做一做：(1)代數式n2－n＋11的值是質數嗎？取n＝0，1，2，3，4，5試一試.你能否由此得到結論：對于所有的自然數n，式子n2－n＋11的值都是質數嗎？
解：列表歸納為
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
n2-n+11
11
11
13
17
23
31
41
53
67
83
101
121
是否為質數
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
不是
答：當n＝0，1，2，3，4，5時，n2－n＋11的值分別是5，5，7，11，17，全是質數.而當n＝11，時，n2－n＋11＝112－11＋11＝121＝112.
所以對于所有自然數，式子n2－n＋11的值不都是質數.
根據不完全歸納得到的結論不一定正確.
新課講授
歐拉
1732年，數學家歐拉指出，當n=5時，22????+1
=4 294 967 297=641×6 700 417，從而否定了費馬的結論.
?
費馬
歷史上，很多數學家都想找到求質數的公式.1640年，數學家費馬驗證了當n=0，1，2，3，4時，式子22????+1的值3，5，17，257，65 537都是質數.于是他高興的斷言：“對于所有的自然數n，22????+1的值都是質數”.
?
費馬的失誤：
這個故事告訴我們：
2.沒有嚴格的推理，僅由若干特例歸納、猜測的結論可能潛藏著錯誤，未必正確.
3.要證明一個結論是錯誤的，舉反例就是一種常用方法.
知識歸納
1.學習歐拉的求實精神與嚴謹的科學態度.
新課講授
合作探究
做一做：(2)如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，連接DE.DE與BC有怎樣位置關系和數量關系？請先猜一猜，在設法檢驗你的猜想.
你能肯定你的結論對所有的△ABC都成立嗎？與同伴交流.
根據測量得到的結論未必可信.
分析：通過測量可能得出猜想DE∥BC，DE=12BC，并通過改變三角形的形狀，在不同的三角形中再次得到驗證.
?
新課講授
實驗、觀察、歸納得到的結論可能正確，也可能不正確.因此，要判斷一個數學結論是否正確，僅僅依靠實驗、觀察、歸納是不夠的，必須進行有根有據的證明.
議一議：實驗、觀察、歸納是人們認識事物的重要手段.通過實驗、觀察、歸納得到的結論都正確嗎？在上面的問題中，你是怎樣判斷一個結論是否正確的?說說你的經驗與困惑.
先觀察再驗證.
(1)圖①中實線是直的還是彎曲的？
(2)圖②中兩條線段a與b哪一條更長？
(3)圖③中的直線AB與直線CD平行嗎？
解：觀察可能得出的結論是：
(1)實線是彎曲的；(2)a更長一些；(3)AB與DC不平行.
而我們用科學的方法驗證后發現：
(1)實線是直的；(2)a與b一樣長；(3)AB平行于CD.
小牛試刀
圖1
圖3
圖2
觀察、度量、實驗→猜想歸納→結論→推理→正確結論.
實驗驗證、舉出反例、推理證明.
知識歸納
檢驗數學結論的常用方法：
檢驗數學結論具體經歷的過程是：
典例分析
例1.當n為正整數時，代數式(n2－5n＋5)2的值都等于1嗎？
解：當n＝1時，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
當n＝2時，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
當n＝3時，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
當n＝4時，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
當n＝5時，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.
所以當n為正整數時，(n2－5n＋5)2不一定等于1.
典例分析
例2.如圖，從點O出發作出四條射線OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度數；
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度數；
解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.
∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.
(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.
解：(3)由(1)(2)可發現：∠AOB＝∠COD.
(4)證明：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.
∴∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.
∴∠AOB＝∠COD.
典例分析
例2.如圖，從點O出發作出四條射線OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(3)由(1)、(2)你發現了什么？
(4)你能肯定上述的發現嗎？
學以致用
1.小明和小華在手工制作課上用鐵絲制作樓梯模型，如圖，那么他們兩個人用的鐵絲(　　)
A.小華用的多
B.小明用的多
C.兩人用的一樣多
D.不能確定誰用的多
C
小明
小華
學以致用
2.下列說法中，①銳角都相等；②大于90°且小于平角的角是鈍角；
③互為相反數的兩數和為0；④若l1⊥l2，l1⊥l3，則l2⊥l3.其中正確
的有(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
B
3.下列結論中你能肯定的是(　　)
A.今天下雨，明天必然還下雨
B.三個連續整數的積一定能被6整除
C.小明在數學競賽中一定能獲獎
D.兩張相片看起來佷像，則肯定照的是同一個人
B
課堂小結
認識證明(1)
證明的必要性
檢驗數學結論的常用方法
實驗驗證
舉出反例
推理證明
實驗、觀察、歸納得到的結論可能正確，也可能不正確.因此，要判斷一個數學結論是否正確，僅僅依靠實驗、觀察、歸納是不夠的，必須進行有根有據的證明.
檢驗數學結論具體經歷的過程
觀察、度量、實驗→猜想歸納→結論→推理→正確結論.
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑