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1　認(rèn)識(shí)證明(3)
第七章　命題與證明
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解公理、定理與證明的概念并了解本套教材所采用的公理.(重點(diǎn))
2.體會(huì)命題證明的必要性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.(難點(diǎn))
復(fù)習(xí)回顧
1.對(duì)名稱和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確規(guī)定.也就是給出它們的 .
定義
2.判斷一件事情的句子，叫做 .一般地，每個(gè)命題都由 和 兩
部分組成. 是已知的事項(xiàng)， 是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).
命題
條件
結(jié)論
條件
結(jié)論
3.命題通常可以寫成 的形式，其中， 引出的部分是條件， 引出的部分是結(jié)論.
“如果……那么…….”
“如果”
“那么”
4. 的命題稱為真命題， 的命題稱為假命題.一個(gè)例子具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為 .
正確
不正確
反例
情境引入
思考：舉一個(gè)反例就可以說明一個(gè)命題是假命題，那么如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？
那已經(jīng)知道的真命題又是如何證實(shí)的
能不能根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實(shí)呢
這些方法往往不可靠.
用我們以前學(xué)過的觀察，實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證特例等方法.
哦……那可怎么辦
要說明一個(gè)命題是正確的，無論驗(yàn)證多少個(gè)特例，也無法保證命題的正確性.如何驗(yàn)證命題的正確性，其實(shí)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過類似的問題.
公元前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編寫了一本書，書名為《原本》.為了說明每一結(jié)論的正確性，他在編寫這本書時(shí)進(jìn)行了大膽的創(chuàng)造……
新課導(dǎo)入
新課講授
歐幾里得挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其它命題的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù).
1.原名：其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名.
2.公理：公認(rèn)的真命題稱為公理.
3.證明：除了公理外，其他真命題的真假都需要通過演繹推理的方法進(jìn)行判斷.演繹推理的過程稱為證明.
4.定理：經(jīng)過證明的真命題稱為定理.
每個(gè)定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來證明.
探究：公理與定理
證實(shí)其他命題的正確性.
推理
推理的過程叫證明.
經(jīng)過證明的真命題叫定理.
原名、公理
一些條件
+
知識(shí)歸納
下列敘述錯(cuò)誤的是(　　)
A.所有的命題都有條件和結(jié)論
B.所有的命題都是定理
C.所有的定理都是命題
D.所有的公理都是真命題
B
小牛試刀
新課講授
本套教科書選用九條基本事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了其中的八條，它們是：
這些基本事實(shí)又叫公理.
1.兩點(diǎn)確定一條直線；
2.兩點(diǎn)之間線段最短；
3.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；
4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行(簡(jiǎn)述為：同位角相等，兩直線平行)；
5.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；
6.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等；
7.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；
8.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.
新課講授
此外，數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù).
例如，如果a=b，b=c，那么a=c，這一性質(zhì)也可以作為證明的依據(jù)，稱為“等量代換”.又如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，這一性質(zhì)同樣也可以作為證明的依據(jù).
另外一條基本事實(shí)我們將在后面的學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)它.
新課講授
從這些基本事實(shí)出發(fā)，就可以證明已經(jīng)探索過的結(jié)論了.例如，我們可以證明下面的定理：
定理：同角(等角)的補(bǔ)角相等.
定理：同角(等角)的余角相等.
定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊.
典例分析
由上面的例題，我們可以得到定理：對(duì)頂角相等.
∴∠AOB與∠COD都是平角(平角的定義)，
∴∠AOC=∠BOD(同角的補(bǔ)角相等).
∠BOD＋∠AOD＝180°(補(bǔ)角的定義)，
∴∠AOC＋∠AOD＝180°，
例1.已知：如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角.求證：∠AOC=∠BOD.
證明：
∵直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O(已知)，
(1)根據(jù)條件，畫出圖形，并在圖形上標(biāo)出有關(guān)字母與符號(hào)；
(2)結(jié)合圖形，寫出已知、求證；
(3)分析因果關(guān)系，找出由已知推出結(jié)論的途徑；
(4)有條理地寫出證明過程(每一步推理要有依據(jù)).
知識(shí)歸納
證明定理的一般步驟：
典例分析
例2.命題、定理、公理的關(guān)系如下：
①公理是真命題；
②定理是由基本定義和公理推出來的真命題；
③真命題是公理；
④真命題一定是定理.
其中正確的有(　　)
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3 個(gè) D.4個(gè)
B
典例分析
例3.已知：b//c，a⊥b.
求證：a⊥c.
a
b
c
1
2
證明：∵a⊥b(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定義)，
又∴b//c(已知)，
∴∠2=∠1=90°(兩直線平行，同位角相等)，
∴a⊥c(垂直的定義).
學(xué)以致用
1.“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)語(yǔ)句是(　　)
A.定理 B.公理 C.定義 D.只是命題
B
2.下列說法正確的是(　　)
A.命題一定是正確的
B.不正確的判斷就不是命題
C.定理都是真命題
D.真命題都是定理
C
學(xué)以致用
3.下列語(yǔ)句中屬于定理的是(　　)
A.在直線AB上任取一點(diǎn)E
B.如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角
C.∠A>∠B
D.到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
D
學(xué)以致用
4.下列推理證明中，錯(cuò)誤的是(　　)
A.∵AB=CD，CD=EF，∴AB=EF
B.∵∠α=∠β，∠β=∠γ，∴∠α=∠γ
C.∵a//b，b//c，∴a//c
D.∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD
D
學(xué)以致用
5.如圖，若∠1=∠2，則∠3=∠4，請(qǐng)用推理的方法說明它是真命題.
1
3
4
a
b
2
解：∵∠1=∠2(已知)，
∴∠3=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).
∴a//b(同位角相等，兩直線平行).
學(xué)以致用
6.求證：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.
已知：如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°.
求證：∠A與∠B互余.
證明：∵∠A+∠B+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和等于180°)，
又∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝180°-∠C＝90°.
∴∠A與∠B互余.
課堂小結(jié)
認(rèn)識(shí)證明(3)
證明：推理的過程.
公理：公認(rèn)的真命題.
定理：經(jīng)過證明的真命題.
分類
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