資源簡介

2　平行線的證明(2)
第七章　命題與證明
學習目標
1.理解并掌握平行線的性質公理和定理.(重點)
2.能熟練運用平行線的性質進行簡單的推理證明.(難點)
復習回顧
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}文字敘述
符號語言
圖形
_______相等，
兩直線平行.
∵ (已知)，
∴a∥b.
________相等，
兩直線平行.
∵ (已知)，
∴a∥b.
_________互補，
兩直線平行.
∵ (已知)，
∴a∥b.
同位角
內錯角
同旁內角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
a
b
c
1
2
4
3
平行線的判定：
情境引入
在上一節課中，我們證明了有關平行線的判定定理，那么對于平行線的性質，又怎么證明呢?能運用上節課積累的方法進行證明嗎?今天這節課我們一起再來試一試證明它們.
思考：反過來，如果兩條直線平行，同位角、內錯角、同旁內角各有什么關系呢?
兩條直線平行，同位角相等.
兩條直線平行，內錯角相等.
兩條直線平行，同旁內角互補.
平行線的性質
新課講授
定理 兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.
簡述為：兩直線平行，同位角相等.
問題1：你能作出相關的圖形，并根據所作的圖形寫出已知、求證嗎？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
已知，如圖，直線AB∥CD，∠1和∠2是直線AB、CD被直線EF截出的同位角.
求證：∠1=∠2.
符號語言
文字語言
兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.
你能證明這個性質定理嗎？
探究：平行線的性質
新課講授
證明：假設∠1≠∠2，那么我們可以過點M作直線GH，使∠EMH=∠2，如圖所示.
根據“同位角相等，兩直線平行”，可知GH∥CD.
又因為AB∥CD，這樣經過點M存在兩條直線AB和
GH都與直線CD平行.
這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.
這說明∠1≠∠2的假設不成立，所以∠1=∠2.
G
H
問題2：你能說說證明的思路嗎？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
這種證明方法叫做反證法.
如果∠1≠∠2，AB與CD的位置關系會怎樣呢？
知識歸納
平行線的性質定理1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.
簡述為：兩直線平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).
∵a∥b(已知)，
應用格式：
1.如圖，直線a∥b，直線c與a，b相交，∠1＝65°，
則∠2＝(　　)
A.115°
B.65°
C.35°
D.25°
a
b
2
1
c
3
B
小牛試刀
新課講授
已知：直線a∥b，∠1和∠2是直線a，b被直線c截出的內錯角.
求證：∠1=∠2.
1
2
b
c
3
a
證明：∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(兩條直線平行，同位角相等).
∵∠1＝∠3(對頂角相等)，
∴∠1=∠2(等量代換).
定理 兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等.
簡述為：兩直線平行，內錯角相等.
利用上面的定理，我們可以證明：
知識歸納
平行線的性質定理2：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等.
簡述為：兩直線平行，內錯角相等.
∴∠1=∠2(兩直線平行，內錯角相等).
∵a∥b(已知)，
1
2
b
c
a
應用格式：
2.如圖，AB∥CD，∠CDE=∠140°，則∠A的度數為(　　)
A.140° B.60°
C.50° D.40°
A
D
C
B
E
140°
D
小牛試刀
新課講授
已知：直線a∥b，∠1和∠2是直線a，b被直線c截出的同旁內角.
求證：∠1+∠2=180°.
1
2
b
c
3
a
證明：∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(兩條直線平行，同位角相等).
∵∠1+∠3=180°(平角的定義)，
∴∠1+∠2=180°(等量代換).
定理 兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補.
簡述為：兩直線平行，同旁內角互補.
類似地，還可以證明：
知識歸納
平行線的性質定理3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補.
簡述為：兩直線平行，同旁內角互補.
∴∠1+∠2=180°(兩直線平行，同旁內角互補).
∵a∥b(已知)，
1
2
b
c
a
應用格式：
3.如圖，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度數為 .
110°
小牛試刀
例1.已知：如圖，直線a，b，c被直線d所截，且b∥a，c∥a.
求證：b∥c.
證明：∵b∥a(已知)，
∴∠2=∠1(兩直線平行，同位角相等)，
∵c∥a(已知)，
∴∠3=∠1(兩直線平行，同位角相等)，
∴∠2=∠3(等量代換)，
∴b∥c(同位角相等，兩直線平行).
典例分析
a
b
2
1
3
c
d
知識歸納
∴b∥c(平行于同一條直線的兩條直線平行).
∵b∥a，c∥a(已知)，
定理 平行于同一條直線的兩條直線平行.
一般地，我們有如下的定理：
平行線的傳遞性.
應用格式：
a
b
2
1
3
c
d
新課講授
議一議：完成一個命題的證明，需要哪些主要環節？
與同伴進行交流.
命題證明的步驟：
(1)弄清題設和結論；
(2)根據題意畫出相應的圖形；
(3)根據題設和結論寫出已知，求證；
(4)分析證明思路，寫出證明過程.
新課講授
想一想：平行線的性質定理與判定定理在條件和結論方面有什么關系？
兩直線平行
平行線的性質
平行線的判定
同位角相等；
內錯角相等；
同旁內角互補.
性質
線的關系
條件
角的關系
結論
判定
角的關系
條件
線的關系
結論
典例分析
例2.已知：如圖，AD∥BC，∠ABD=∠D.
求證：BD平分∠ABC.
A
B
C
D
證明：∵AD∥BC(已知)，
∴∠DBC=∠D(兩直線平行，內錯角相等).
又∵∠ABD=∠D(已知)，
∴∠DBC=∠ABD(等量代換)，
∴BD平分∠ABC(角平分線的定義).
典例分析
例3.如圖，已知DE∥BC，CD平分∠ACB，∠AED=80°，
求∠EDC的度數.
A
E
D
C
B
證明：∵DE∥BC(已知)，∠AED=80°，
∴∠ACB=∠AED=80°(兩直線平行，同位角相等).
∵CD平分∠ACB(已知)，
∴∠DCB=12∠ACB=40°(角平分線的性質).
∵DE∥BC(已知)，
∴∠EDC=∠DCB=40°(兩直線平行，內錯角相等).
?
學以致用
1.下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是(　　)
B
A. B.
C. D.
學以致用
2.如圖，AB∥CD，直線l交AB于點E，交CD于點F，若∠2＝80°，則∠1等于(　　)
A.120° B.110° C.100° D.80°
C
學以致用
4.如圖所示，將一直角三角板與兩邊平行的紙
條放置在一起，給出下列結論：①∠1=∠2；
②∠3=∠4；③∠4+∠2=180°；④∠5+∠4=180°.
其中正確的是 (填序號).
3.如圖，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，則∠FGB的度數等于 .
151°
①②④
課堂小結
兩直線平行，同位角相等.
平行線的性質
平行線的傳遞性
平行于同一條直線的兩條直線平行.
平行線的性質定理
兩直線平行，內錯角相等.
兩直線平行，同旁內角互補.
謝謝觀看！

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