資源簡介

(共25張PPT)
第2課時　驗證勾股定理
第一章　1　探索勾股定理
1.利用拼圖的方法驗證勾股定理.(重點)
2.掌握勾股定理和它的簡單應用.(難點)
學習目標
勾股定理的內容：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2.
幾何語言：
因為在Rt△ABC中，∠C=90°，
所以a2+b2=c2(勾股定理).
為什么叫勾股定理這個名稱呢？
課堂引入
一、勾股定理的驗證
問題　請大家畫四個全等的直角三角形，并把它剪下來，用這四個直角三角形拼一拼、擺一擺，看看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，并與同學們交流.在同學操作的過程中，如圖，
提示　(a+b)2或ab·4+c2.
(1)大正方形的面積可以怎樣表示？
(2)把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接起來：　　　=　　　.
提示　(a+b)2=ab·4+c2.
對上式進行化簡，得到
a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2.
請用不同的方法證明勾股定理.
解　方法一　將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形.
圖(1)中S正方形ABCD=c2=(b-a)2+4×ab，所以c2=a2+b2.
方法二　如圖(2)所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.
S梯形ABCD==2×ab+c2，
所以a2+b2=c2.
例1
我們利用拼圖的方法，將形的問題與數的問題結合起來，再進行整式運算，從理論上驗證了勾股定理.
反思感悟
我國古代數學家趙爽最早證明了勾股定理，它標志著我國古代的數學成就.下面四幅圖是由四個全等的直角三角形拼成的，其中不能證明勾股定理的是
√
跟蹤訓練1
解析　A項，由題意知，大正方形的面積等于四個三角形的面積加兩小正方形的面積，
所以4×ab+a2+b2=(a+b)2，是一個恒等式，
故該選項不能得出勾股定理，符合題意；
B項，大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，
所以4×ab+c2=(a+b)2，
整理得a2+b2=c2，
故該選項能得出勾股定理，不符合題意；
C項，由題圖可得ab+ab+c2=6×ab+(b-a)2，
整理得a2+b2=c2，
故該選項能得出勾股定理，不符合題意；
D項，由題圖可知4×ab+(b-a)2=c2，
即c2=a2+b2，
故該選項能得出勾股定理，不符合題意.
二、勾股定理的簡單應用
(課本P5例題)在一次軍事演習中，紅方偵察員王叔叔在距離一條東西向公路400 m處偵察，發現一輛藍方汽車在這條公路上疾駛.他用紅外測距儀測得汽車與他相距400 m；過了10 s，測得汽車與他相距500 m.你能幫王叔叔計算藍方汽車這10 s的平均速度嗎？
例2
解　根據題意，畫出圖形如圖所示，其中點A表示王叔叔所在位置，點C、點B表示兩個時刻藍方汽車的位置.由于王叔叔距離公路400 m，因此∠C是直角，由勾股定理，可得
AB2=BC2+AC2，
也就是5002=BC2+4002，
所以BC=300 m，
藍方汽車10 s行駛了300 m，那么它平均每秒行駛300÷10=30(m)，
即藍方汽車這10 s的平均速度為30 m/s.
解題時注意數形結合的思想方法使直角三角形問題直觀化，利用勾股定理解決問題.
反思感悟
(1)如圖，在水塔O的東北方向32 m處有一抽水站A，在水塔的東南方向24 m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長為
A.45 m B.40 m
C.50 m D.56 m
解析　已知東北方向和東南方向的夾角是直角，
所以∠AOB=90°，
又因為OA=32 m，OB=24 m，
所以AB2=OA2+OB2=1 600.
所以AB=40 m.
跟蹤訓練2
√
(2)如圖，某人欲從點A處入水橫渡一條河，由于水流的影響，他實際上岸的地點C偏離欲到達的地點B 200 m，結果他在水中實際游了250 m，則該河流的寬度為　　　m.
解析　由題意得∠ABC=90°，
由勾股定理得
AB2+BC2=AC2，
因為AC=250 m，BC=200 m，
所以AB=150 m.
150
1.如圖是我國古代數學家趙爽為《周髀》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數學問題是
A.三角形內角和定理
B.勾股定理
C.三角形全等判定
D.等腰三角形判定
√
解析　因為“弦圖”是利用面積關系證明勾股定理的，
所以“弦圖”解決的數學問題是勾股定理.
2.在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學分別設計了方案：
甲：如圖1，用四個全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CFGH均是正方形，通過用兩種方法表示正方形ABDE的面積來進行證明；
乙：如圖2，兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點F在BC邊上，頂點C，D重合，通過用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來進行證明.
對于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的是
A.甲、乙均對 B.甲對、乙不對
C.甲不對，乙對 D.甲、乙均不對
√
解析　在Rt△ABC中，∠ACB=90°，設AC=b，BC=a，AB=c.
甲：證明：
由題圖1可知S正方形ABDE=4S△ABC+S正方形FCHG，
因為S正方形ABDE=c2，S△ABC=ab，正方形FCHG的邊長為b-a，
所以c2=4×ab+(b-a)2
=2ab+a2-2ab+b2，
即c2=a2+b2.故甲對；
乙：證明：由題圖2可知四邊形ACBE的面積=S△ACB+S△ABE=AB·DG+AB·EG=AB·(DG+EG)=AB·DE=c2，
四邊形ACBE的面積=S四邊形ACFE+S△EFB=(AC+EF)·CF+BF·EF=(b+a)b+(a-b)·a=b2+ab+a2-ab=a2+b2，
所以c2=a2+b2，
即a2+b2=c2.故乙對.
3.已知甲、乙兩人從同一地點出發，甲往東走4 km，乙往南走了3 km，這時甲、乙兩人相距　　km.
解析　如圖，
因為∠AOB=90°，OA=4 km，OB=3 km，
所以AB===5(km).
5
4.如圖，在離水面高8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，則船向岸邊移動了　　米.
9
解析　在Rt△ABC中，
因為∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
所以AB2=BC2-AC2=172-82=152，所以AB=15米，
同理，因為CD=10米，所以AD=6米，
所以BD=AB-AD=15-6=9(米)，
即船向岸邊移動了9米.
本課結束

展開更多......

收起↑