資源簡介

(共24張PPT)
2　一定是直角三角形嗎
第一章　勾股定理
1.了解直角三角形的判定條件并熟悉一些常見的勾股數.(重點)
2.會利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形.(難點)
學習目標
上節課我們學到直角三角形中，三邊長度之間滿足a2+b2=c2，那么如果一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，這個三角形是否一定是直角三角形呢？
情境引入
一、勾股定理逆定理
問題　下面三組數分別是一個三角形的三邊長a，b，c，①3，4，5；②7，24，25；③8，15，17.
請回答下列問題：
(1)這三組數都滿足a2+b2=c2嗎？
提示　32+42=52；72+242=252；82+152=172.
(2)分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？
提示　它們都是直角三角形.
(3)猜想：三角形三邊長滿足什么關系可以判斷它為直角三角形？
提示　三角形三邊長滿足a2+b2=c2時，可以判斷它為直角三角形.
1.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足 ，那么這個三角形是直角三角形.
2.幾何語言：如圖，因為a2+b2=c2(已知)，
所以△ABC為直角三角形.
注意點：(1)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，
即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對的角為直角.
a2+b2=c2
知識梳理
(2)勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.
(3)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的步驟：
①首先求出最長邊(如c)；
②驗證a2+b2與c2是否具有相等關系；
若c2=a2+b2，則△ABC是以∠C=90°的直角三角形；
若c2 ≠a2+b2，則△ABC不是直角三角形.
(課本P10例題)一個零件的形狀如圖1所示，按規定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角.工人師傅量得這個零件各邊尺寸如圖2所示(單位：cm)，這個零件符合要求嗎？
解　在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.
在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，
所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，這個零件符合要求.
例1
(1)要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.
(2)判定一個三角形是直角三角形的方法：
①有一個角是90°的三角形是直角三角形；
②兩個銳角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.
反思感悟
(1)在△ABC中，若AC=b，AB=c，BC=a，則下列條件能判定△ABC是直角三角形的是
A.∠B=50°，∠C=45°
B.a∶b∶c=6∶8∶10
C.a=1，b=3，c=4
D.AB=1，BC=2，AC=3
√
跟蹤訓練1
解析　因為∠B=50°，∠C=45°，∠B+∠C+∠A=180°，
所以∠A=85°，
因為∠B=50°，∠C=45°，∠A=85°，三個角都小于90°，
所以△ABC是銳角三角形，
故A不符合題意；
當a∶b∶c=6∶8∶10時，設a=6x，b=8x，c=10x，
則a2+b2=(6x)2+(8x)2=(10x)2=c2，
所以根據勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，
故B符合題意；
因為a=1，b=3，c=4，
所以a+b=1+3=c=4，
所以無法組成三角形，不能是直角三角形，
故C不符合題意；
因為AB=1，BC=2，AC=3，
所以AB+BC=AC，
所以AB，BC，AC不能構成三角形，不能是直角三角形，
故D不符合題意.
(2)以下列各組數為邊長，能構成直角三角形的是
A.3，4，5 B.3，3，4 C.2，3，4 D.4，5，5
解析　A項，32+42=52，根據勾股定理逆定理知組成的三角形是直角三角形，故本選項正確；
B項，32+32≠42，不滿足a2+b2=c2，所以組成的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤；
C項，22+32≠42，不滿足a2+b2=c2，所以組成的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤；
D項，42+52≠52，不滿足a2+b2=c2，所以組成的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤.
√
二、勾股數
滿足a2+b2=c2的三個 ，稱為勾股數.
正整數
知識梳理
下列各組數是勾股數的是
A.13，14，15 B.3，4，5
C.0.3，0.4，0.5 D.6，8，11
√
解析　因為132+142≠152，
所以13，14，15不是勾股數，故A項不符合題意；
因為32+42=52，且3，4，5是正整數，
所以3，4，5是勾股數，故B項符合題意；
因為0.3，0.4，0.5都不是正整數，
所以0.3，0.4，0.5不是勾股數，故C項不符合題意；
因為62+82=102≠112，
所以6，8，11不是勾股數，故D項不符合題意.
例2
(1)三個數必須是正整數，例如0.3，0.4，0.5滿足a2+b2=c2，但是它們不是正整數，所以它們不是勾股數.
(2)一組勾股數擴大相同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數.
(3)記住常用的勾股數，如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25.
反思感悟
下列各組數中，是勾股數的是
A.3，4，7 B.7，24，25
C.，， D.3，-4，5
跟蹤訓練2
√
解析　A項，32+42≠72，不能構成直角三角形，不是勾股數，故A不符合題意；
B項，72+242=252，能構成直角三角形，且都是正整數，是勾股數，故B符合題意；
C項，，，，都不是正整數，不是勾股數，故C不符合題意；
D項，3，-4，5，不都是正整數，不是勾股數，故D不符合題意.
1.以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是
A.2，3，4 B.10，8，4
C.9，12，15 D.7，15，12
√
解析　A項，不能，因為22+32≠42；
B項，不能，因為82+42≠102；
C項，能，因為92+122=152；
D項，不能，因為72+122≠152.
2.將直角三角形的各邊都縮小或擴大同樣的倍數后，得到的三角形
A.可能是銳角三角形 B.不可能是直角三角形
C.仍然是直角三角形 D.可能是鈍角三角形
√
解析　設直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.
則滿足a2+b2=c2.
若各邊都擴大k倍(k>0)，則三邊分別為ak，bk，ck，
(ak)2+(bk)2=k2(a2+b2)=(ck)2，
所以三角形仍為直角三角形.
3.在下列四組數中，不是勾股數的一組數是
A.a=15，b=8，c=17 B.a=9，b=12，c=15
C.a=7，b=24，c=25 D.a=3，b=5，c=7
√
解析　由題意可知，所有數都是正整數，故只要滿足a2+b2=c2即可，
152+82=289=172，故A是勾股數；
92+122=225=152，故B是勾股數；
72+242=625=252，故C是勾股數；
32+52≠72，故D不是勾股數.
4.如果正整數a，b，c滿足等式a2+b2=c2，那么正整數a，b，c叫作勾股數，某同學將自己探究勾股數的過程列成如圖，觀察圖中每列數的規律，可知x+y的值為　　.
79
解析　由題可得，3=22-1，4=2×2，5=22+1，…
所以a=n2-1，b=2n，c=n2+1，
所以當c=n2+1=65時，n=8，
所以x=63，y=16，
所以x+y=79.
本課結束

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