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(共22張PPT)
3　勾股定理的應(yīng)用
第一章　勾股定理
會(huì)借助勾股定理及其逆定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
裝修工人李叔叔想檢測(cè)某塊裝修用磚(如圖)的邊
AD和邊BC是否分別垂直于邊AB.
(1)如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？
(2)李叔叔測(cè)得邊AD長(zhǎng)30 cm，邊AB長(zhǎng)40 cm，點(diǎn)B，D之間的距離是50 cm.邊AD垂直于邊AB嗎？
(3)如果李叔叔隨身只帶了一個(gè)長(zhǎng)度為20 cm的刻度尺，那么他能檢驗(yàn)邊AD是否垂直于邊AB嗎？
情境引入
一、勾股定理的應(yīng)用
(課本P13例題)今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問：水深、葭長(zhǎng)各幾何？(選自《九章算術(shù)》)
例1
題目大意：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈(1丈=10尺)的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，那么它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？
解　設(shè)水池的深度OA為x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度OB為(x+1)尺.由于蘆葦位于水池中央，所以AC為5尺.在Rt△OAC中，由勾股定理，可得
AC2+OA2=OC2，
即52+x2=(x+1)2.
解得x=12.
12+1=13.
因此，水池的深度是12尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是13尺.
在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.
反思感悟
在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題(如圖)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題目的大意是：一根竹子原高一丈(10尺)，中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面　　　尺.
跟蹤訓(xùn)練1
4.55
解析　設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意由勾股定理得x2+32=(10-x)2，
解得x=4.55，
所以折斷處離地面4.55尺.
二、勾股定理逆定理的應(yīng)用
有一塊土地如圖所示，已知∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求這塊土地的面積.
例2
解　如圖，連接AC，因?yàn)椤螧=90°，AB=8，BC=6，
所以AC=10.
因?yàn)镃D=24，AD=26，所以AC2+CD2=AD2，
所以△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
所以S四邊形ABCD=S△ACD-S△ABC
=AC·CD-AB·BC
=×10×24-×8×6
=120-24=96.
所以這塊土地的面積是96.
勾股定理的逆定理是將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.
反思感悟
一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠C都應(yīng)是直角.工人師傅測(cè)得這個(gè)零件各邊尺寸(單位：cm)如圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？請(qǐng)說明理由.
解　這個(gè)零件不符合要求，理由如下：
由題圖可知AD=8 cm，AB=23 cm，BD=25 cm，
所以AB2+AD2=529+64=593≠625=252=BD2，
所以△ABD不是直角三角形，所以∠A≠90°，
因?yàn)镈C=20 cm，BC=15 cm，BC2+DC2=152+202=625=252=BD2，
所以△BDC是直角三角形，所以∠C=90°，
因?yàn)椤螦≠90°，∠C=90°，所以這個(gè)零件不符合要求.
跟蹤訓(xùn)練2
利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：
(1)讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；
(2)構(gòu)造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解決實(shí)際問題.
1.如圖所示為雷達(dá)圖，規(guī)定：1個(gè)單位長(zhǎng)度代表100 m，以點(diǎn)O為圓心，過數(shù)軸上的每一刻度點(diǎn)畫同心圓，并將同心圓平均分成十二等份.一艘海洋科考船在點(diǎn)O處用雷達(dá)發(fā)現(xiàn)A，B兩處魚群，那么A，B兩處魚群的距離是
A.5 m B.100 m C.500 m D.300 m
√
解析　如圖，連接AB，
由題意得，同心圓平均分成十二等份，則每三等份即為360°÷12×3=90°，
所以∠AOB=90°，
又因?yàn)?個(gè)單位長(zhǎng)度代表100 m，
所以O(shè)A=300 m，OB=400 m，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可得，
AB==500(m).
2.如圖，在一塊四邊形空地ABCD中種植草皮，測(cè)得AB=3 m，BC=4 m，DA=13 m，CD=12 m，且∠ABC=90°.若每平方米草皮需要200元，則需要投入
A.16 800元 B.7 200元
C.5 100元 D.無法確定
√
解析　如圖，連接AC，
因?yàn)锳B=3 m，BC=4 m，DA=13 m，CD=12 m，∠B=90°，
所以AC2=AB2+BC2
=42+32=25，
所以AC=5 m，
又因?yàn)锳D2-DC2
=132-122
=25
=AC2，
所以根據(jù)勾股定理逆定理得△DAC為直角三角形，因此S四邊形ABCD=
S△ABC+S△DAC
=BC·AB+DC·AC
=×4×3+×12×5
=6+30
=36(m2).
故費(fèi)用為200×36=7 200(元).
3.一輛裝滿貨物，寬為1.6米的卡車，欲通過如圖所示的隧道(隧道下方為長(zhǎng)方形，上方為半圓形拱門)，則卡車的外形不得高于
A.3.1米 B.3米
C.2.9米 D.2.8米
√
解析　由題圖可得，OC=OA=1米，OD=0.8米，
因?yàn)镺C2=CD2+OD2，所以12=0.82+CD2，
解得CD=0.6米，因?yàn)镃H=CD+DH，
所以CH=0.6+2.3=2.9(米)，所以卡車的外形不得高于2.9米.
4.明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題(如圖)，其大意為：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長(zhǎng)？”.設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為　　　　　　　.
x2=102+(x-4)2
解析　依題意得x2=102+(x+1-5)2，
即x2=102+(x-4)2.
本課結(jié)束

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