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第十五章　軸對(duì)稱(chēng)
15.1.2　線段的垂直平分線(1)
理解并掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定方法．
會(huì)用尺規(guī)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.
能夠運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題.
理解原命題，逆命題，互逆命題，互逆定理的用法.
情景引入
探究：
A
B
l
P1
P2
P3
如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3， ……是l上的點(diǎn)，請(qǐng)你猜想點(diǎn)P1，P2，P3 ，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC =CB，點(diǎn)P 在l 上．
求證：PA =PB．
證明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
性質(zhì)：
線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
歸納知識(shí)
P
A
B
l
C
∵　l⊥AB，AC =CB，
∴ PA =PB．
針對(duì)練習(xí)
1．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連
接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長(zhǎng)是(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
C
思考：
如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？
P
A
B
已知：如圖，PA =PB．
求證：點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上．
證明：過(guò)點(diǎn)P 作AB 的垂線PC，垂足為點(diǎn)C．
則∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上．
P
A
B
C
已知：如圖，PA =PB．
求證：點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上．
判定：
與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
歸納知識(shí)
∵　PA =PB，
∴　點(diǎn)P 在AB 的垂直平分線上．
P
A
B
探究：
能找到多少個(gè)到線段AB 兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？
P
A
B
C
l
思考：
分析上面關(guān)于線段的垂直平分線的兩個(gè)命題，它們的題設(shè)和結(jié)論有什么關(guān)系？你還學(xué)習(xí)過(guò)其他具有類(lèi)似關(guān)系的命題嗎
這兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作入互逆命題，如果把其中一個(gè)叫作原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題.
一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題都是成立的；而命題“對(duì)頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”卻不成立，
如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理，在幾何中，有許多互逆的定理，例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”也是互逆定理.
典例講解
例1.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長(zhǎng)為35 cm，則BC的長(zhǎng)為(　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng)．
歸納知識(shí)
例2.已知：如圖，在△ABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.
求證：PA=PB=PC.
B
A
C
M
N
M'
N'
P
證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，
∴PA=PB.
同理，PB=PC.
∴PA=PB=PC.
三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
歸納知識(shí)
例3.已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D，連接CD.
求證：OE是CD的垂直平分線.
A
B
O
E
D
C
證明：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE=CE.
∴ OE是CD的垂直平分線.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
課堂練習(xí)
1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長(zhǎng)為( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如圖②所示，在△ABC中，BC=8 cm，邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E, △BCE的周長(zhǎng)等于18 cm，則AC的長(zhǎng)是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
圖①
A
B
C
D
E
圖②
3.如圖所示，AC=AD，BC=BD，則下列說(shuō)法正確的是（　　?。?br/>A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB與CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
A
B
C
D
A
4.在銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PA=PB=PC，則點(diǎn)P是△ABC ( )
A.三條角平分線的交點(diǎn)
B.三條中線的交點(diǎn)
C.三條高的交點(diǎn)
D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)
D
5.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，AB+BC=16 cm，則△BCE的周長(zhǎng)是 cm.
A
B
C
D
E
16
6.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
試說(shuō)明AD與EF的關(guān)系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴ A、D均在線段EF的垂直平分線上，
即直線AD垂直平分線段EF.
A
B
C
D
E
F
課堂小結(jié)
線段的
垂直平分線
性質(zhì)
判定
知垂直平分線，得線段相等
互逆
知線段相等，得點(diǎn)在垂直平分線
集合定義線段
垂直平分線
本課結(jié)束

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