資源簡介

(共38張PPT)
第1課時　線段的垂直平分線
第十五章　15.1　15.1.2　線段的垂直平分線
1.理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定.(重點)
2.能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題.(難點)
3.了解命題與逆命題的關(guān)系，能說出一個命題的逆命題.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
情境引入
1.線段是軸對稱圖形嗎？
2.請畫一條線段AB，你能找到線段的對稱軸嗎？
3.線段的對稱軸和它有怎樣的關(guān)系？
一、線段垂直平分線的性質(zhì)
問題1　如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點，分別量一量點P1，P2，P3，…到點A與點B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？
提示　點P1，P2，P3，…到點A的距離與它們到點B的距離分別相等.
問題2　如圖，已知直線l⊥AB，垂足為C，AC＝CB，點P在l上.
你能證明PA＝PB嗎？
提示　∵l⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB.
又∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA＝PB.
知識梳理
1.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離 .
2.符號語言：
如圖，∵l⊥AB，AC＝CB，∴PA＝PB.
相等
如圖，在△ABC中，已知AC＝27，DE垂直平分AB，交AB于點D，交AC于點E，△BCE的周長等于50，求BC的長.
例1
解　∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE.
∵BE＋EC＋BC＝50，∴AE＋EC＋BC＝50，
即AC＋BC＝50.
∵AC＝27，∴BC＝23.
反思感悟
利用線段的垂直平分線的性質(zhì)可以證明兩條線段相等，只需直線滿足垂直、平分線段即可得到直線上的點到線段兩個端點的距離相等，不用先證三角形全等然后證明線段相等.
(1)如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線交BC于點D，AC 的垂直平分線交BC于點E，則△ADE 的周長等于　　.
跟蹤訓(xùn)練1
8
(2)(課本P67練習(xí)第1題)如圖，AD⊥BC，BD ＝DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關(guān)系？AB＋BD與DE 有什么關(guān)系？
解　∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴AB＝AC.
∵點C在AE的垂直平分線上，
∴AC＝CE，
∴AB＝AC＝CE.
∵AB＝CE，BD＝DC，
∴AB＋BD＝CE＋DC，
即AB＋BD＝DE.
二、線段垂直平分線的判定
問題3　如圖，如果PA＝PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？如果在，你能說出理由嗎？
提示　點P在線段AB的垂直平分線上.
理由：如圖，過點P作線段AB的垂線PC，
垂足為C.
則∠PCA＝∠PCB＝90°.
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).
∴AC＝BC.
又∵PC⊥AB，
∴點P在線段AB的垂直平分線上.
知識梳理
1.與線段兩個端點距離 的點在這條線段的垂直平分線上.
2.符號語言：
如圖，∵PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上.
相等
(課本P67練習(xí)第2題)如圖，AB＝AC，MB＝MC.直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？為什么？
例2
解　是，理由如下：
∵AB＝AC，
∴點A在線段BC的垂直平分線上.
∵MB＝MC，
∵點M在線段BC的垂直平分線上，
∴直線AM是線段BC 的垂直平分線.
反思感悟
利用線段垂直平分線的判定證明一條直線是線段的垂直平分線時，要有兩組到線段兩個端點相等的線段，找到兩個在垂直平分線上的點，由兩點確定一條直線得出結(jié)論.
如圖，直線PO與AB交于點O，且PA＝PB，則下列結(jié)論中正確的是
A.PO⊥AB
B.PO是線段AB的垂直平分線
C.AO＝BO
D.P在線段AB的垂直平分線上
跟蹤訓(xùn)練2
√
解析　因為直線PO與AB交于點O，且PA＝PB，
所以P在線段AB的垂直平分線上.
三、命題與逆命題
問題4　本節(jié)所學(xué)的兩個有關(guān)垂直平分線的命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？兩個命題的題設(shè)和結(jié)論有何聯(lián)系？
提示　(1)命題：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
題設(shè)：有一個點在一條線段的垂直平分線上.
結(jié)論：這個點到線段兩個端點的距離相等.
(2)命題：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
題設(shè)：有一個點到一條線段兩個端點的距離相等.
結(jié)論：這個點在這條線段的垂直平分線上.
這兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反.
知識梳理
1. 題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫作 .如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的 .
2.一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.
3. 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作 ，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理.例如，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”也是互逆定理.
互逆命題
逆命題
互逆定理
(課本P67練習(xí)第3題)寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立.
(1)兩直線平行，同位角相等；
例3
解　逆命題為同位角相等，兩條直線平行.此逆命題成立.
(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；
解　逆命題為如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等.此逆命題不成立.
(3)全等三角形的對應(yīng)角相等.
解　逆命題為對應(yīng)角相等的兩個三角形全等.此逆命題不成立.
判斷下列命題：①等腰三角形是軸對稱圖形；②若a>1且b>1，則a＋b>2；③一個銳角和一條邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；④直角三角形的兩銳角互余，其中逆命題正確的有
A.1個 B.2個 C.3個 D.0個
跟蹤訓(xùn)練3
√
解析　①等腰三角形是軸對稱圖形的逆命題是軸對稱圖形是等腰三角形，此逆命題錯誤；
②若a>1且b>1，則a＋b>2的逆命題是若a＋b>2，則a>1且b>1，此逆命題錯誤；
③一個銳角和一條邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等的逆命題是如果兩個直角三角形全等，那么它們有一個銳角和一條邊分別對應(yīng)相等，此逆命題正確；
④直角三角形的兩銳角互余的逆命題是兩銳角互余的三角形是直角三角形，此逆命題正確.
1.如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，AC＝AD，EF為線段BD的垂直平分線，若AB＝9，AC＝7，則△ADE的周長為
A.22 B.20
C.18 D.16
√
解析　∵D為BC邊上的一點，EF為線段BD的垂直平分線，AB＝9，AC＝7，
∴DE＝BE，
∴AE＋BE＝AE＋DE＝9，
∵AC＝AD，
∴AD＝7，
∴△ADE的周長為AD＋DE＋AE＝7＋9＝16.
2.以下定理，其中有逆定理的是
A.對頂角相等
B.互為鄰補角的角平分線互相垂直
C.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或
互補
D.兩個全等三角形的三邊對應(yīng)相等
√
解析　A項，對頂角相等，其逆命題是相等的兩個角是對頂角，是假命題，故沒有逆定理；
B項，互為鄰補角的角平分線互相垂直，其逆命題是如果兩個角的角平分線互相垂直，那么這兩個角是鄰補角.角平分線是射線，那么另一個角的頂點很有可能在射線上，則此時兩個角根本不是相鄰的，是假命題，故沒有逆定理；
C項，如果一個角的兩邊與另外一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，其逆命題是如果兩個角相等或互補，那么其中一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，是假命題，故沒有逆定理；
D項，兩個全等三角形的三邊對應(yīng)相等，其逆定理是如果兩個三角形的三邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形是全等三角形，是真命題，故有逆定理.
3.給出以下兩個定理：
①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；
②與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
應(yīng)用上述定理進行如下推理：
如圖，直線l是線段MN的垂直平分線.
∵點A在直線l上，
∴AM＝AN.(____)
∵BM＝BN，
∴點B在直線l上(____).
∵CM≠CN，∴點C不在直線l上.
這是因為如果點C在直線l上，那么CM＝CN (____)，
這與條件CM≠CN矛盾.
以上推理中各括號內(nèi)應(yīng)注明的理由依次是
A.②①① B.②①② C.①②② D.①②①
√
解析　根據(jù)題意，第一個空，由垂直平分線得線段相等，應(yīng)用了性質(zhì)，填①；
第二個空，由線段相等得點在直線上，應(yīng)用了判定，填②；
第三個空，應(yīng)用了垂直平分線的性質(zhì)，填①.
4.如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝20°，DE是邊AC的垂直平分線，連接AE，則∠BAE＝　　°.
50
解析　∵在△ABC中，∠B＝90°，
∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°，
∵DE是邊AC的垂直平分線，
∴CE＝AE，
由“HL”可證Rt△CDE≌Rt△ADE，
∴∠EAC＝∠C＝20°，
∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC
＝70°－20°＝50°.
5.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD交于點E.求證：AC⊥BD.
證明　∵AB＝AD，
∴點A在線段BD的垂直平分線上.
∵CB＝CD，
∴點C在線段BD的垂直平分線上.
∴AC是線段BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD.
本課結(jié)束

展開更多......

收起↑