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第2課時　等腰三角形的判定
第十五章　15.3　15.3.1　等腰三角形
1.掌握等腰三角形的判定方法，并運用其進行證明和計算.(重點、難點)
2.通過學習等腰三角形的判定方法，使學生能從正反兩個方面認識等腰三角形，養成科學的思維習慣.(重點、難點)
3.了解等腰三角形的尺規作圖.
學習目標
情境引入
1.等腰三角形的性質有哪些？
2.如何判定一個三角形是等腰三角形？
一、等腰三角形的判定
問題1　我們知道，如果一個三角形有兩條邊相等，那么它們所對的角相等.反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關系呢？
提示　它們所對的邊也相等.
問題2　如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，求證：AB＝AC.
提示　過點A作AE⊥BC，垂足為E(圖略).
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE ≌△ACE(AAS)，
∴AB＝AC.
知識梳理
1.等腰三角形的判定方法：
有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡寫成“等角對等邊”).
2.符號語言：
如圖，∵∠B＝∠C(已知)，
∴AC＝AB(等角對等邊).
即△ABC為等腰三角形.
(課本P80例2)求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.
已知：如圖，AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，AD∥BC.
求證：AB＝AC.
例1
證明　∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又AD平分∠CAE，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
如圖，已知AB＝DC，BD＝CA，BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.
跟蹤訓練1
證明　∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的對應角相等)，
∴AE＝DE(等角對等邊)，
∴△AED是等腰三角形.
二、由平行及角平分線識別等腰三角形
如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點D使DE∥BC.
(1)求證：△DBE是等腰三角形；
例2
證明　∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠CBE＝∠DEB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∴△DBE是等腰三角形.
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數.
解　∵∠A＝65°，∠AED＝45°，
∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝70°，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝70°，
∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠EBC＝∠ABC＝35°.
反思感悟
題目中如果有角的平分線和平行線相結合，就要用到“等角對等邊”來證明線段相等.即平分角＋平行＝等腰三角形.
如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，則CD＝
　　cm.
跟蹤訓練2
3
三、用尺規作等腰三角形
(課本P81例3)尺規作圖：已知等腰三角形底邊長為a，底邊上的高的長為h(如圖)，求作這個等腰三角形.
例3
解　作法：如圖，
(1)作線段AB＝a.
(2)作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點D.
(3)在MN上取一點C，使DC＝h.
(4)連接AC，BC，則△ABC就是所求作的等腰三角形.
已知線段a，b(如圖所示)，用直尺和圓規作等腰三角形ABC，使AB＝AC＝b，BC＝a.
跟蹤訓練3
解　作法：如圖，(1)在射線BD上，以點B為圓心，截取BC＝a.
(2)分別以點B和點C為圓心，b為半徑畫弧，兩弧相交于點A.
(3)連接AB，AC，△ABC即為所求.
1.下列條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是
A.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3
B.BC∶AC∶AB＝2∶2∶3
C.∠B＝50°，∠C＝80°
D.2∠A＝∠B＋∠C
√
2.如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，AC的垂直平分線分別交AC，AB于點D，E，則圖中等腰三角形的個數為
A.2 B.3
C.4 D.5
√
3.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為　　.
9
4.將一張長方形紙條ABCD按如圖所示的方式折疊，求證：△GEF是等腰三角形.
證明　∵將一張長方形紙條ABCD折疊，∴∠2＝∠1，
∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，
∴∠2＝∠3，
∴△GEF是等腰三角形.
本課結束

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