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(共22張PPT)
第1課時　等邊三角形
第十五章　15.3　15.3.2　等邊三角形
1.探索等邊三角形的性質和判定.
2.能運用等邊三角形的性質和判定進行計算和證明.(重點、難點)
學習目標
情境引入
1.滿足什么條件的三角形是等邊三角形？它與一般三角形有什么區別？
2.等腰三角形有哪些性質？
一、等邊三角形的性質
問題1　將等腰三角形的性質用于等邊三角形，能得到什么結論？
提示　(1)等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°；
(2)等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都相互重合；
(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線.
問題2　如圖，已知△ABC是等邊三角形，你能證明∠A＝∠B＝∠C＝60°嗎？
提示　∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.(等邊對等角)
同理，可得∠A＝∠C.∴∠A＝∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
知識梳理
1.等邊三角形的性質：
等邊三角形的三個角都 ，并且每一個角都等于 .
2.符號語言：
如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
相等
60°
如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到點E，使得CE＝CD.求證：BD＝DE.
例1
證明　∵△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED.
又∵∠ACB＝∠CDE＋∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝30°.
∴∠DBC＝∠DEC.
∴BD＝DE(等角對等邊).
如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數.
跟蹤訓練1
解　∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
二、等邊三角形的判定
問題3　滿足什么條件的三角形是等邊三角形？
提示　(1)三邊都相等的三角形是等邊三角形(定義)；
(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；
(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
問題4　如圖，已知在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求證：△ABC是等邊三角形.
提示　∵∠A＝∠B，∠B＝∠C，
∴BC＝AC，AC＝AB，(等角對等邊)
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形.
知識梳理
1.判定等邊三角形的方法：
從邊的角度，等邊三角形的定義；
從角的角度，等邊三角形的兩條判定定理.
2.等邊三角形的判定定理1：
三個角都 的三角形是等邊三角形.
3.等邊三角形的判定定理2：
有一個角是 的等腰三角形是等邊三角形.
相等
60°
(課本P82例4)如圖，△ABC 是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.求證：△ADE 是等邊三角形.
例2
證明　∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE 是等邊三角形.
如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E在邊AB，AC的反向延長線上，且DE∥BC，求證：△ADE 是等邊三角形.
跟蹤訓練2
證明　∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E.
∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠D＝∠E，
∴△ADE是等邊三角形.
1.等邊三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有
A.1條 B.2條
C.3條 D.6條
√
2.在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，則∠CDF的度數是
A.10° B.15°
C.20° D.25°
√
3.如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18 cm，EC＝2 cm，則△ADE的周長是____cm.
12
4.在等邊△ABC中，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？請說明理由.
解　△APQ為等邊三角形.
理由：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等邊三角形.
本課結束

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