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(共25張PPT)
第2課時　含30°角的直角三角形的性質(zhì)
第十五章　15.3　15.3.2　等邊三角形
1.探索含30°角的直角三角形的性質(zhì).
2.理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并會應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計算.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
情境引入
如圖是某商場的電梯，電梯AB的傾斜角為30°，大廳兩層之間的高度BC為6 m.你能算出電梯AB的長度嗎？
一、含30°角的直角三角形的性質(zhì)
問題1　如圖，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？
提示　BC＝AB，即在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
問題2　如圖所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
求證：BC＝AB.
提示　方法一　在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.
延長BC到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接AD，如圖，
則△ABD是等邊三角形.
又∵AC⊥BD，∴BC＝BD.
∴BC＝AB.
方法二　在BA上截取BE＝BC，連接EC，如圖，
∵∠B＝60°，BE＝BC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠BEC＝60°，BE＝EC.
∵∠A＝30°，
∴∠ECA＝∠BEC－∠A＝60°－30°＝30°，
∴AE＝EC，∴AE＝BE＝BC，
∴AB＝AE＋BE＝2BC，∴BC＝AB.
知識梳理
1.含30°角的直角三角形的性質(zhì)：
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的 .
2.符號語言：
如圖，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB.
一半
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3 cm，則AB的長度是多少？
例1
解　在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，
∴∠ADC＝90°，∴∠B＋∠DCB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°.
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6(cm)，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12(cm).
∴AB的長度是12 cm.
反思感悟
運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形.
在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BD＝9.6 cm，則AD＝　　 　.
跟蹤訓(xùn)練1
4.8 cm
二、含30°角的直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用
(課本P83例5)如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°，求立柱BC，DE的長.
例2
解　∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD.
∴BC＝×7.4＝3.7(m).
又AD＝AB，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m).
即立柱BC的長是3.7 m，DE的長是1.85 m.
反思感悟
利用“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”解決問題時，要先確定直角三角形，再確定直角邊與斜邊.
(1)如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于點(diǎn)C，PD⊥OA于點(diǎn)D，若PC＝3，則PD等于
A.3 B.2
C.1.5 D.1
跟蹤訓(xùn)練2
√
(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4，則BD＝　　　.
1
(3)如圖，一艘輪船以每小時20海里的速度沿正北方航行，在A處測得燈塔C在北偏西30°方向上，輪船航行2小時后到達(dá)B處，在B處測得燈塔C在北偏西60°方向上，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔C的正東方向D處時，輪船航程AD是　　　　.
60海里
解析　由題意得∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，∴BC＝BA＝2×20＝40(海里).
∵∠CDB＝90°，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝20(海里)，
∴AD＝BD＋AB＝20＋40＝60(海里)，
即輪船航程AD是60海里.
1.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為
A.6米 B.9米
C.12米 D.15米
√
2.某市在舊城綠化改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮優(yōu)化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要
A.300a元 B.150a元
C.450a元 D.225a元
√
解析　如圖，作CD⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)D，
∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，
∵CD⊥BD，AC＝30米，
∴CD＝AC＝15(米)，
∵AB＝20米，
∴S△ABC＝AB·CD＝×20×15＝150(平方米)，
∵草皮每平方米售價a元，
∴購買這種草皮至少需要150a元.
3.如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，則AB＝　　cm.
8
4.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的垂直平分線，BE＝5，求AC的長.
解　連接AE，如圖，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴BE＝AE，∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝30°.
∵∠C＝90°，
∴AC＝AE＝BE＝2.5.
本課結(jié)束

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