資源簡介

(共25張PPT)
15.2 線段的垂直平分線
軸對稱圖形與等腰三角形
第15章
學習目標
1.掌握使用尺規作圖法作線段的垂直平分線的步驟和技巧，理解作圖的原理，確保作圖的準確性和規范性；
2.經歷觀察，猜想，論證，歸納等過程探究線段垂直平分線的性質，體會轉化、歸納等數學思想，發展學生的推理能力；
3.理解并掌握線段的垂直平分線的性質定理及其逆定理，嘗試解決簡單的實際問題；
4.通過生活中的實例引入線段垂直平分線，激發學生的學習興趣和好奇心，感受到數學與生活的緊密聯系.
新知導入
市政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區A、B、C之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應建于何處才能使得它到三個小區的距離相等？
問題：怎樣作出線段的垂直平分線？
任務一：線段垂直平分線
新知講解
通過折紙可以作出線段的垂直平分線．
在半透明紙上畫一條線段 AA′，折紙，使A與A′重合，得到的折痕l是線段AA′的垂直平分線.
也可以用刻度尺量出線段的中點，再用三角尺過中點畫垂線的方法作出線段的垂直平分線.
新知講解
下面介紹用尺規作圖，作出線段AB的垂直平分線．
新知講解
A
B
E
F
作法：
(1)分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于E，F兩點.
(2)過點E，F作直線.
則直線EF就是線段AB的垂直平分線.
為什么？
O
目的是使兩弧有交點.
思考：為什么這樣作出的直線 EF，就是線段AB的垂直平分線呢？
設所作直線EF交AB于點O，你能給出證明嗎？
新知講解
A
B
E
F
O
證明：連接AE、BE、AF、BF，
∵AE=BE，AF=BF，
∴E、F都在AB的垂直平分線上，
∴EF垂直平分AB，
∴EF⊥AB，
∴EF是線段AB的垂直平分線.
新知講解
線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
線段的垂直平分線性質：
應用格式：
∵AC=BC，PC⊥AB，
P是l上任意一點，
∴PA=PB．
P
A
B
l
C
任務二：線段垂直平分線的性質定理及逆定理
已知：如圖 ，直線MN經過線段AB的中點O，且MN⊥AB，P是MN上任意一點．
求證：PA＝PB．
新知講解
證明：∵MN⊥AB，(已知)
∴∠AOP＝∠BOP＝90°.(垂直定義）
在△AOP與△BOP中，
如果點P與點O重合，那么直接可得PA＝PB．
∴△AOP≌△BOP.(SAS)
∴PA＝PB．(全等三角形的對應邊相等)
∵
思考：你能寫出上面定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果是真命題，請給出證明．
新知講解
逆命題：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．
它是真命題，證明如下：
已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．
新知講解
證明：過點P作AB的垂線PC，垂足為點C．
則∠PCA=∠PCB=90°．
在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB.(HL)
∴AC=BC．
又PC⊥AB，
∴點P在線段AB的垂直平分線上．
P
A
B
C
新知講解
定理 到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．
線段的垂直平分線性質的判定：
應用格式：
∵PA=PB，
∴點P在AB的垂直平分線上．
P
A
B
作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
例.已知：如圖，△ABC的邊AB，AC的垂直平分線相交于點P．
求證：點 P在BC的垂直平分線上．
新知講解
證明：連接 PA，PB，PC．
∵點P在AB，AC的垂直平分線上，(已知)
∴PA＝PB，PA＝PC．
(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等)
∴PB＝PC.(等量代換)
∴點P在BC的垂直平分線上．
(到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上)
新知講解
例題說明：三角形三邊的垂直平分線相交于一點， 這點到三角形三個頂點的距離相等.
新知講解
判斷線段垂直平分線的兩種方法：
一是定義法；二是判定定理 .
一般習慣用定義法進行判斷，而利用判定定理判斷更簡單 . 用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時，一定要證明直線上有兩點到線段兩個端點的距離相等 .
[知識技能類作業]必做題：
課堂練習
1.用直尺和圓規作線段的垂直平分線，下列作法正確的是( )
C
課堂練習
2.在銳角三角形ABC內一點P，滿足PA=PB=PC，則點P是△ABC( )
A.三條角平分線的交點
B.三條中線的交點
C.三條高的交點
D.三邊垂直平分線的交點
D
[知識技能類作業]必做題：
課堂練習
3.如圖，在△ABC中，DE垂直平分線段AB于點D，交AC于點E.則下面結論正確的是(　 　)
A.AB=AC
B.AC>BC
C.AC=BC
D.ACB
[知識技能類作業]必做題：
4.如圖，AB是一條長途汽車經過的公路，C、D是公路旁的村莊，現在要在公路上設一個長途汽車站，要求這個車站到兩個村莊的距離相等，請找出這個車站的位置.
[知識技能類作業]必做題：
課堂練習
解：連接CD，作線段CD的垂直平分線
交直線AB于O點，
O點便是長途汽車站的位置.
[知識技能類作業]選做題：
課堂練習
5.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，AB+BC=16 cm，則△BCE的周長是 cm.
16
6.如圖，AD是BAC的平分線，EF垂直平分AD交BC的延長線于點F.
若∠FAC=68°，則∠B的度數為 .
[知識技能類作業]選做題：
課堂練習
68°
解：∵O是AB、BC的垂直平分線的交點，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OC，
∴點O也在線段AC的垂直平分線上，
即△OAB、△OBC、 △OAC都是軸對稱圖形，
[綜合拓展類作業]
課堂練習
7.如圖，在△ABC中，∠BAC＝58°，O是AB、BC的垂直平分線的
交點，求∠BOC的度數.
[綜合拓展類作業]
課堂練習
7.如圖，在△ABC中，∠BAC＝58°，O是AB、BC的垂直平分線的
交點，求∠BOC的度數.
∴∠1＝∠3，∠4＝∠8，∠2＝∠7，
∴∠BOC＝∠5＋∠6
＝∠3＋∠1＋∠2＋∠7
＝2(∠1＋∠2)
＝2∠BAC
＝116°.
課堂總結
1.線段的垂直平分線性質：
線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
2.線段的垂直平分線性質定理的逆定理：
到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．
3.三角形三邊垂直平分線性質：
三角形三邊的垂直平分線相交于一點， 這點到三角形三個頂點的距離相等.
本課結束
2

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