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(共24張PPT)
15.3 角的平分線(1)
軸對稱圖形與等腰三角形
第15章
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能夠利用尺規(guī)法作一個已知角的平分線，并能證明它的正確性；
2.掌握過一點作已知直線垂線的尺規(guī)作法；
3.經(jīng)歷探索角平分線作法的過程，進(jìn)一步體驗軸對稱的特點，發(fā)展空間觀察能力；
4.通過角平分線、過一點作已知直線垂線的作圖方法，發(fā)展幾何空間意識.
新知導(dǎo)入
問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？
用量角器度量，也可用折紙的方法．　　
問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？
問題：怎樣作出角的平分線？
任務(wù)一：角平分線的作法
新知講解
通過折紙可以作出一個角的角平分線． 在半透明紙上任畫一個角，
請你用折疊的方法，找出角的平分線，如圖.
角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸．
新知講解
也可以用量角器來畫一個角的平分線．
問題：怎樣作出角的平分線？
新知講解
下面介紹用尺規(guī)作圖的方法作出∠AOB 的平分線.
問題：怎樣作出角的平分線？
作法：
(1)以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧分別交
OA，OB于點M，N.
(2)分別以點M，N為圓心，以大于MN長為半徑，在角的內(nèi)部畫弧交于點 P.
(3)作射線OP，則OP為所要求作的∠AOB 的
平分線.
A
B
N
M
P
O
為什么？
為了使兩弧有交點.
新知講解
已知：OM=ON，MP=NP.求證：OP平分∠AOB.
思考：
1.根據(jù)作圖，你能證明所作射線 OP，就是∠AOB的平分線嗎？
A
B
N
M
P
O
證明：在△OMP和△ONP中，
∴△OMP≌△ONP，(SSS)
∴∠MOP=∠NOP，
即OP平分∠AOB.
新知講解
思考：
2.當(dāng)∠AOB的兩邊成一直線時(即∠AOB ＝180°)，你會作這個角的平分線嗎？這時的角平分線與直線AB是什么關(guān)系？
A
B
O
新知講解
思考：
2.當(dāng)∠AOB的兩邊成一直線時(即∠AOB＝180°)，你會作這個角的
平分線嗎？這時的角平分線與直線AB是什么關(guān)系？
作法：①在直線l上點O的兩旁分別截取線段OA，OB，
使OA=OB；
②分別以A，B為圓心以大于AB的長為半徑畫弧，
兩弧相交于點C；
③過點C，O作直線CO，則直線CO為∠AOB的角的平分線.
此時角平分線與直線AB垂直.
·
O
A
B
C
l
新知講解
通過上面作圖，我們知道可以用尺規(guī)完成：“經(jīng)過一點作已知直線的垂線．”
任務(wù)二：過一點作已知直線的垂線
新知講解
由于這一點可能在直線上或直線外，這個作圖要分兩種情況：
1.經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線．
已知：直線AB和AB上一點C(如圖(1))．
求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．
作法：
作平角ACB的平分線CF．
直線CF就是所求作的垂線．
新知講解
由于這一點可能在直線上或直線外，這個作圖要分兩種情況：
2.經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線．
已知：直線AB和AB外一點C(如圖(2))．
求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．
作法：
(1)任意取一點 K，使 K和C在AB的兩旁；
(2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和 E；
新知講解
由于這一點可能在直線上或直線外，這個作圖要分兩種情況：
(3)分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，
兩弧交于點F；
(4)作直線CF．
直線CF就是所求作的垂線.
新知講解
由于兩點確定一條直線， 因此可以通過在已知直線上作線段的垂直平分線來找出垂線上的另一點，從而確定已知直線的垂線.
思考：為什么這樣作出的直線CF就是所求作的垂線？
你能說說道理嗎？
[知識技能類作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
1.下列尺規(guī)作圖的語句正確的是(　 　)
A.作∠AOB的平分線AC
B.以O(shè)為圓心作弧
C.以A為圓心，線段a的長為半徑作弧
D.作直線AB的垂直平分線CD
C
課堂練習(xí)
2.用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是(　 　)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等
A
[知識技能類作業(yè)]必做題：
[知識技能類作業(yè)]必做題：
3.工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個角，如圖，
在∠AOB的兩邊OA，OB上分別截取OC=OD，移動角尺，使角尺兩邊
相同的刻度分別與點C，D重合，這時過角尺頂點M的射線OM就是
∠AOB的平分線，這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是( )
A. SAS B. ASA
C. AAS D. SSS
D
課堂練習(xí)
課堂練習(xí)
4.如圖，畫出直線 MN的垂線PQ.
[知識技能類作業(yè)]必做題：
解：如圖所示.
5.請在圖中作出線段AD，使其平分∠BAC且長度等于m．
[知識技能類作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
C
B
A
m
5.請在圖中作出線段AD，使其平分∠BAC且長度等于m．
[知識技能類作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
C
N
M
P
A
B
D
解：
[知識技能類作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
6.如圖，在△ABC中，AB=AC，以點B為圓心，BC長為半徑作弧，交AC于不同于點C的另一點D，連接BD；再分別以點C，D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E，作射線BE交AC于點F.若∠A=40°，則∠DBF的度數(shù)為( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
A
[綜合拓展類作業(yè)]
課堂練習(xí)
7.已知△ABC，利用直尺和圓規(guī)，根據(jù)下列要求作圖(保留作圖痕跡，不要求寫作法)，并根據(jù)要求填空.
(1)作∠ABC的平分線BD交AC于點D；
(2)作線段BD的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，
線段EF與線段BD的關(guān)系為 .
解：(1)、(2)題作圖如下：由作圖可知線段EF與線段BD
的關(guān)系為互相垂直平分.
課堂總結(jié)
1.角平分線的作法：
(1)折紙；
(2)量角器畫；
(3)尺規(guī)作圖.
2.過一點作已知直線的垂線：
(1)經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線．
(2)經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線．
本課結(jié)束
2

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