資源簡介

(共29張PPT)
15.3 角的平分線(2)
軸對稱圖形與等腰三角形
第15章
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握角平分線定理及其判定.
2.能利用角平分線定理及其判定解決幾何圖形中的問題.
3.知道三角形的三個內(nèi)角的平分線相交于一點.
4.理解三角形角平分線的交點到三角形三邊的距離相等.
新知導(dǎo)入
要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，
鐵路的交叉處500米，應(yīng)建在何處？(比例尺 1：20 000)
S
O
公路
鐵路
思考：如圖，OP是∠AOB的平分線，P是OP上的任一點，過點P分別作 PC⊥OA，PD⊥OB，點C， D是垂足． 你能猜想PC，PD長度間有什么關(guān)系嗎？證明你的猜想.
任務(wù)一：角平分線的性質(zhì)定理
新知講解
猜想：PC=PD
新知講解
證明：∵ OP平分∠AOB，(已知)
∴∠AOP＝∠BOP．(角平分線定義)
又∵PC⊥OA，PD⊥OB， (已知)
∴∠PCO＝∠PDO＝90°． (垂直的定義)
在△PCO和△PDO中，
∵
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC＝PD．
新知講解
角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
角平分線的性質(zhì)定理：
應(yīng)用格式：
∵OP是∠AOB的平分線，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
B
A
D
O
P
E
C
新知講解
應(yīng)用所具備的條件：
(1)角的平分線；
(2)點在該平分線上；
(3)垂直距離.
定理的作用：證明線段相等.
思考：寫出上面角平分線性質(zhì)定理的逆命題．這個逆命題是真命題嗎？
如果是真命題請寫出已知、求證，并給出證明．
任務(wù)二：角平分線的判定定理
新知講解
逆命題：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E，PD=PE．
求證：點P在∠AOB的平分線上.
新知講解
A
B
O
D
E
P
證明：作射線OP，
∵CE⊥OA，CF⊥OB. ∴∠CEO=∠CFO=90°，
在Rt△CEO和Rt△CFO 中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO，(HL)
∴∠AOP=∠BOP， (全等三角形的對應(yīng)角相等)
∴點P在∠AOB角的平分線上.
新知講解
角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．
角平分線的判定定理：
應(yīng)用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴點P在∠AOB的平分線上.
P
A
O
B
C
D
E
新知講解
應(yīng)用所具備的條件：
(1)位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；
(2)數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.
新知講解
證明角平分線的“兩種方法”
(1)定義法：應(yīng)用角平分線的定義.
(2)定理法：應(yīng)用“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”來判定 .
判定角平分線時，需要滿足兩個條件：“垂直”和“相等”.
新知講解
證明：過點P分別作 PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，
垂足分別為點 M，N，Q．
∵BE是∠B的平分線，點P在BE上，(已知)
∴PQ＝PM．(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)
例.已知：如圖，△ABC中，∠B的平分線 BE與∠C的平分線CF
相交于點P．
求證：AP平分∠BAC．
任務(wù)三：三角形內(nèi)角平分線交點的性質(zhì)
新知講解
同理， PN＝PM．
∴PN＝PQ．(等量代換)
∴AP平分∠BAC.(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)
例.已知：如圖，△ABC中，∠B的平分線 BE與∠C的平分線CF相交于點 P．
求證：AP平分∠BAC．
新知講解
三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點，這點到三角形三邊的
距離相等．
三角形內(nèi)角平分線交點的性質(zhì)：
新知講解
應(yīng)用格式：
如圖，在△ABC中，AD，BM，CN 分別是∠BAC，
∠ABC，∠ACB的平分線，AD，BM，CN交于一點O，
且點O到三邊BC，AB，AC的距離(OE，OG，OF的長)相等，
即OE＝OG＝OF.
新知講解
三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點，且該點到三角形三邊的距離相等. 反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點.
[知識技能類作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
1.如圖，在CD上求一點P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點P是
( 　　)
A．線段CD的中點
B．CD與過點O作CD的垂線的交點
C．CD與∠AOB的平分線的交點
D．以上均不對
C
課堂練習(xí)
2.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，D是OB.上的動點若PC=5 cm，
則PD的長可以是( )
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
D
[知識技能類作業(yè)]必做題：
[知識技能類作業(yè)]必做題：
3.如圖，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，
則∠ABC＝_______.
100°
課堂練習(xí)
課堂練習(xí)
4.如圖， BD⊥AC于點 D， CE⊥AB于點E，BD， CE交于點 F，
AE＝AD. 求證：點F在∠A的平分線上.
[知識技能類作業(yè)]必做題：
證明：∵BD⊥AC， CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
∵AE＝AD，∠A＝∠A，
∴△ABD≌△ACE . (ASA)
∴∠ABD＝∠ACE， AB＝AC .
課堂練習(xí)
4.如圖， BD⊥AC于點 D ， CE⊥AB于點 E， BD，CE交于點 F ，
AE＝AD. 求證：點F在∠A的平分線上.
[知識技能類作業(yè)]必做題：
∴AB－AE＝AC－AD，即 BE＝CD .
∵∠DFC＝∠EFB，
∴△CDF≌△BEF. (AAS)
∴DF＝EF.
∴點F在∠A的平分線上.
5.如圖，在Rt△ABC中，∠C= 90° ，AB=5，BC=4，AC=3，
且∠BAC與∠ABC的平分線相交于點O，則點O到AB的距離為
.
[知識技能類作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
1
[知識技能類作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
6.△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為6 cm，4 cm，4 cm，P為△ABC三條角平分線的交點，則△ABP，△BCP，△ACP的面積比等于(　 　)
A.1：1：1
B.2：2：3
C.2：3：2
D.3：2：2
D
[綜合拓展類作業(yè)]
課堂練習(xí)
7.已知△DCE的頂點C在∠AOB的平分線OP上， CD交OA于點F，CE交OB于點G .
(1)如圖①，若 CD⊥OA， CE⊥OB，則圖中有哪些相等的線段，直接寫出你的結(jié)論 ；
CF＝CG，OF＝OG
[綜合拓展類作業(yè)]
課堂練習(xí)
解：(2)CF＝CG . 證明如下：
如圖，過點C作CM⊥OA于點M， CN⊥OB于點 N.
∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，①
∠CMF＝∠CNG＝90°.②
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠DCE＝60°，
(2)如圖②，若∠AOB＝120°，∠DCE＝∠AOC，試判斷線段CF與線段 CG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.
[綜合拓展類作業(yè)]
課堂練習(xí)
∠MCN ＝360°－∠AOB－∠CMF－∠CNO ＝60°.
∴∠DCE＝∠MCN，
∴∠MCN －∠FCN＝∠DCE－∠FCN，
即∠1＝∠2.③由①②③，得△CMF≌△CNG，(ASA)
∴CF＝CG.
(2)如圖②，若∠AOB＝120°，∠DCE＝∠AOC，試判斷線段CF與線段CG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.
課堂總結(jié)
1.角平分線的性質(zhì)定理：
角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
2.角平分線的判定定理：
角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．
3.三角形內(nèi)角平分線交點的性質(zhì)：
三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點，這點到三角形三邊的距離相等．
本課結(jié)束
2

展開更多......

收起↑