資源簡介

(共27張PPT)
15.4 等腰三角形(3)
軸對稱圖形與等腰三角形
第15章
學習目標
1.掌握等腰三角形的判定定理及其兩個推論；
2.探索并掌握含30°角的直角三角形的性質定理及其應用，提高運算
能力；
3.引導學生形成比較、猜想、推理等思維能力，體會數學推理的樂趣，增強合作交流意識；
4.知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，掌握證明的格式.
新知導入
回顧：等腰三角形的性質.
性質1 等腰三角形的兩個底角相等.(“等邊對頂角”)
性質2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.(三線合一)
思考：“等腰三角形兩個底角相等”的逆命題是真命題嗎？
請與你的同學研究討論后作出判斷.
任務一：等腰三角形的判定定理及推論
新知講解
新知講解
定理 有兩個角相等的三角形是等腰三角形．
簡稱“等角對等邊”．
等腰三角形的判定定理：
∴AC=AB. (等角對等邊)
即△ABC為等腰三角形.
∵∠B=∠C，(已知)
應用格式：
B
C
A
(
(
在△ABC中，
它是判斷一個三角形是否為等腰三角形的重要依據．
新知講解
判定三角形是等腰三角形的兩種方法：
一是利用定義直接證明兩條邊相等；
二是利用判定定理證明．
新知講解
已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．
求證：AB＝AC.
證明：過點A作 AD⊥BC，D為垂足，
∴∠ADB＝∠ADC＝ 90°．(垂直定義)
新知講解
∵
∴△ADB≌△ADC．(AAS)
∴AB＝AC.(全等三角形的對應邊相等)
在△ADB和△ADC中，
新知講解
推論 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形．
等腰三角形判定定理的推論：
應用格式：
如圖 ，在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等邊三角形 .
新知講解
推論 2 有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形．
等腰三角形判定定理的推論：
應用格式：
如圖，在△ABC中，
∵AB=AC， ∠A=60 °(或∠B=60 °或∠C=60°)，
∴△ABC是等邊三角形 .
判定一個三角形是等邊三角形的思路：
1. 若已知三邊關系，則選用等邊三角形的定義來判定 .
2.若已知三角關系，則選用“三個角都相等的三角形是等邊三角形”
來判定 .
3. 若已知是等腰三角形，則選用“有一個角是 60°的等腰三角形是
等邊三角形”來判定 .
新知講解
如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
延長BC到點 D，使 CD＝BC． 連接 AD，
則△ACD≌△ACB．
∴AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝ 30°，∠BAD＝ 60°．
由推論2，得 △ABD是等邊三角形，
∴BD＝AB．
BC＝ BD＝AB．
新知講解
任務二：含30°角的直角三角形的性質定理及應用
新知講解
定理 在直角三角形中，如果一個銳角等于 30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
含30°角的直角三角形的性質定理：
A
B
C
應用格式：
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=AB．　
應用此性質，必須滿足兩個條件：
1. 在直角三角形中；
2.有一個銳角為 30° . 二者缺一不可 .
含 30°角的直角三角形的性質是求線段長度和證明線段倍分
關系的重要依據 .
新知講解
例.如圖，一艘船從A處出發，以每時10 n mile(海里)的速度向正北航行，從A處測得一礁石C在北偏西30°的方向上． 如果這艘船上午 8：00從 A 處出發， 10：00 到達B處，從B處測得礁石C在北偏西 60°的方向上．
(1)畫出礁石C的位置；
(2)求從B處到礁石C的距離．
新知講解
解： (1)以B為頂點，向北偏西 60°作角，這角一邊與AC 交于點C，則點C為礁石所在地．
新知講解
(2)∵∠ACB＝60° － 30°＝30°，
(三角形的外角性質)
又 ∵∠BAC＝30°，
∴∠BCA＝∠BAC．
∴BC＝BA．
∵BA＝10×(10－8)＝20（nmile），
∴BC＝20(nmile)．
即從B處到礁石C的距離是20nmile．
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
1.在△ABC中，其兩個內角如下，則能判定△ABC為等腰三角形的是(　 　)
A.∠A＝40°，∠B＝50°
B.∠A＝40°，∠B＝60°
C.∠A＝20°，∠B＝80°
D.∠A＝40°，∠B＝80°
C
課堂練習
2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5，∠B＝30°，P是BC邊上的動點，則AP的長不可能是(　 　)
A.3
B.3.5
C.4.8
D.5.2
D
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
3.如圖，∠AOE=∠BOE=15° ，EF//OB，EC⊥OB.若EC=1，則EF=
.
2
【知識技能類作業】必做題：
4.如圖，AC＝DB，∠1＝∠2，AC與DB相交于點O.求證：∠3＝∠4.
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
證明：∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO.
∵AC＝DB，
∴AO＝DO，
∴∠3＝∠4.
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
5.如圖，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面內有一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中一個是邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫( )
A.5條
B.4條
C.3條
D.2條
B
6.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
【綜合拓展類作業】
課堂練習
7.如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點
F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G ，且AE∥BC .
(1)求證：△ABC是等腰三角形；
證明：∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE .
∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，∴ AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形.
【綜合拓展類作業】
課堂練習
(2)若 AE＝8， AB＝10， GC＝2BG ，求△ABC的周長.
解：∵ F是AC的中點，∴AF＝CF.
∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE.
由對頂角相等，可知∠AFE＝∠GFC.
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG，(ASA)
【綜合拓展類作業】
課堂練習
(2)若AE＝8， AB＝10， GC＝2BG，求△ABC的周長.
∴GC＝AE＝8.
∵GC＝2BG，∴BG＝4，
∴BC＝BG＋GC＝12.
∴△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.
課堂總結
1.等腰三角形的判定定理：
有兩個角相等的三角形是等腰三角形．簡稱“等角對等邊”．
2.推論：
推論 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形．
推論 2 有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形．
3.含30°角的直角三角形的性質定理：
在直角三角形中，如果一個銳角等于 30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
本課結束
2

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