資源簡介

(共29張PPT)
15.4 等腰三角形(1)
軸對稱圖形與等腰三角形
第15章
學習目標
1.掌握等腰三角形的兩條性質定理及推論.
2.知道等腰三角形“三線合一”的特性.
3.運用等腰三角形的性質及其推論進行有關證明和計算.
4.加強學生對符號語言、圖形語言與文字語言之間相互關系的理解與應用，提高學生分析、解決問題的能力.
新知導入
1.三角形按邊來怎樣分類？
2.畫一個等腰三角形并標出相關元素？
三角形
三邊都
不相等
的三角形
等腰
三角形
等邊
三角形
等腰三角形
A
C
B
等腰三角形是一類特殊的三角形． 等腰三角形除具有一般三角形的性質外，還具有什么樣的特殊性質呢？
任務：等腰三角形的性質及推論
新知講解
操作：畫一個等腰三角形 ABC，如圖(1)． 把邊AB疊合到邊AC上，
這時點B與點 C重合，并出現折痕 AD，如圖(2)．
新知講解
觀察圖形：△ADB與△ADC有什么關系？圖中哪些線段或角相等？AD與BC垂直嗎？為什么？
新知講解
△ADB與△ADC全等；
相等的線段：
AB=AC，BD=CD，AD=AD.
相等的角：
∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，
∠ADB=∠ADC.
AD與BC垂直.
等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線所在的直線是
它的對稱軸．
新知講解
新知講解
定理1 等腰三角形的兩底角相等．簡稱“等邊對等角”．
等腰三角形的性質：
應用格式：
在△ABC中 ，
∵AC=AB，(已知)
∴ ∠B=∠C.(等邊對等角)
注意：
1.適用條件：必須在同一個三角形中 .
2.作用：是證明角相等的常用方法，應用它證明角相等時可省去三角形全等的證明，因而更簡便.
新知講解
證明：等腰三角形的兩底角相等．簡稱“等邊對等角”．
已知：如圖，△ABC中，AB＝AC．
求證：∠B＝∠C．
證明：取 BC 的中點 D，連接 AD．
新知講解
在△ABD 和△ACD中，∵
∴△ABD≌△ACD．(SSS)
∴∠B＝∠C．(全等三角形的對應角相等)
新知講解
等邊三角形三個內角相等，每一個內角都等于60°．
等腰三角形的性質定理的推論：
注意：等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質：
任意兩邊都可以作為腰；
任意一個角都可以作為頂角 .
新知講解
由上面的證明可得，
BD＝DC，
∠BAD＝∠CAD，
∠ADB＝∠ADC＝90°.
A
B
C
D
例1. 已知：如圖 ，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點 D，E是
底邊上兩點，且BD＝AD， CE＝AE．
求∠DAE的度數．
新知講解
解：∵AB＝AC，(已知）
∴∠B＝∠C．(等邊對等角)
∴∠B＝∠C＝×(180° －120°)＝ 30°．
又∵BD＝AD，(已知)
∴∠BAD＝∠B＝ 30°．(等邊對等角)
例1.已知：如圖 ，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點 D，E是
底邊上兩點，且 BD＝AD，CE＝AE．
求∠DAE的度數．
新知講解
同理，∠CAE＝∠C＝ 30°．
∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD － ∠CAE
＝ 120° －30° －30°
＝ 60°．
例1中去掉AB＝AC這個條件，能否求得∠DAE的度數？
本題給你怎樣的啟示？
新知講解
去掉AB＝AC這個條件，可以求∠DAE的度數.
證明：∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C=60°，
∵BD＝AD，CE＝AE，
∴△ABD與△AEC為等腰三角形，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=120°-60°=60°.
例1中去掉AB＝AC這個條件，能否求得∠DAE的度數？
本題給你怎樣的啟示？
新知講解
啟示：要靈活運動等腰三角形的性質進行解題.
新知講解
定理2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高
“三線合一”．
等腰三角形的性質：
新知講解
應用格式：
(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，AD⊥BC.
(2)∵AB=AC，BD=CD，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.
(3)∵AB=AC， AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BD=CD.
注意：1.適用條件：
(1)必須是等腰三角形；
(2)必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才互相重合 .
2.作用：是證明線段相等、角相等、線段垂直的重要方法 .
新知講解
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
1.等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是(　 　)
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
B
課堂練習
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為(　 　)
A．40°
B．30°
C．70°
D．50°
A
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
3.如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD．
取AB邊上的中點E，連接DE，則∠ADE =_______．
54°　
【知識技能類作業】必做題：
4.如圖，在△ABC中，點D在BC上，且有AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各內角的度數．
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
1
3
2
A
B
C
D
解：∵AB=AC=CD，
∴∠B=∠C，∠1=∠2．
∵BD=AD，
∴∠B=∠3．
∵∠1=∠B＋∠3，
∠B＋∠3＋∠2＋∠C=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
5.如圖，AB//CD，點E為直線AB上方一點，連接BD，DE，BE.若DE⊥
CD，BE= DE，∠BDC=25°，則∠ABE的度數是( )
A.125°
B.130°
C.135°
D.140°
D
6.如圖，在△ABC中，A=70°，∠C=30°，點D為AC邊上一點，過點D作DE //AB，交BC于點E，且DE=BE，則∠BDE的度數是 .
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
40°
【綜合拓展類作業】
課堂練習
7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，點D在BA的延長線上，點E在AC上，且AD＝AE，試探索DE與AF的位置關系，并證明你的結論.
解：DE∥AF.
證明如下：
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAC＝(180°－∠CAD).
又∵AD＝AE，
【綜合拓展類作業】
課堂練習
7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，點D在BA的延長線上，點E在AC上，且AD＝AE，試探索DE與AF的位置關系，并證明你的結論.
∴∠AED＝∠ADE＝(180°－∠CAD)，
∴∠AED＝∠CAF，
∴DE∥AF.
課堂總結
1.等腰三角形的對稱性：
等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸．
2.等腰三角形的性質及推論：
定理1：等腰三角形的兩底角相等．簡稱“等邊對等角”．
定理2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊．
推論：等邊三角形三個內角相等，每一個內角都等于60°．
本課結束
2

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