資源簡介

14.2 三角形全等的判定(1)
全等三角形
第14章
1.掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.
2.運用“邊角邊 (SAS)”判定方法進行簡單的證明.
重點
難點
學習目標
三角形有六個基本元素(三條邊和三個角)，只給定其中的一個元素或兩個
元素，能夠確定一個三角形的形狀和大小嗎？通過畫圖，說明你的判斷.
1.只給定一個元素：
(1)一條邊長為4 cm；
(2)一個角為45°.
操作
一條邊為4 cm
一個角為45°
A
A
B
B
C
C
A'
A'
B'
B'
C'
C'
新課引入
2.只給定兩個元素：
(1)兩條邊長分別為4 cm，5 cm；
(2)一條邊長為4 cm，一個角為45°；
(3)兩個角分別為45°，60°.
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
兩邊分別為4 cm，5 cm
一邊為4 cm，一角為45°
兩角分別為45°，60°
新課引入
通過上述操作，我們發現只給定三角形的一個或兩個元素，不能完全確定
一個三角形的形狀、大小.那么還需增加什么條件才行呢？
新課引入
探究1
1.如圖，把圓規平方在桌面上，在圓規的兩腳上各取一個點A、C，自由轉動其中一個腳，△ABC的形狀、大小隨之改變.那么還需增加什么條件才可以確定△ABC的形狀、大小呢？
給定邊AC
給定夾角α
新知講解
如圖，把兩塊三角尺的一條直角邊放置在同一條直線l上，其中∠B, ∠C已知，并記兩塊三角尺斜邊的交點為A，沿著直線l分別向左右移動兩個三角尺，△ABC的大小也隨之改變，這直觀的說明一個三角形只知道兩個角，這個三角形是不確定的.那么還需增加什么條件才可使△ABC確定呢？
A
B
C
l
A
B
C
探究2
新知講解
由上可知，確定一個三角形的形狀、大小至少需要有三個元素.確定三角形的形狀、大小的條件能否作為判定三角形全等的條件呢？
下面，我們利用尺規作圖作出三角形，來研究兩個三角形全等的條件.
新知講解
已知：△ABC(如圖).
求作：△A′B′C′，使A′B′=AB，∠B′=∠B，B′C′=BC.
三角形全等的判定(“邊角邊”)
新知學習
作法:
(1)作∠MB′N =∠B；
(2)在 B′M 上截取 B′A′=BA，在B’N 上截取B′C′=BC；
(3)連接A′C′.
A
B
C
B′
A′
M
N
C′
則△A′B′C′就是所求作的三角形.
將所作的△A′B′C′與△ABC疊一疊，看看它們能否完全重合？由此你能得到什么結論？
新知學習
現象：兩個三角形能完全重合.
說明：這兩個三角形全等.
兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等. 簡記為“邊角邊”或“SAS”
(S表示邊，A表示角).
判定兩個三角形全等的第1種方法是如下的基本事實.
歸納
新知學習
必須是兩邊“夾角”
用符號語言表達：
在△ABC 與 △A′B′C′中
∵
A′B′=?AB，∠A′=?∠A，A′C′=?AC，?
?
∴ △ABC ≌ △A′B′C′ .(SAS)
A
B
C
A′
B′
C′
新知學習
探究
如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉動短木棍，得到△ABD.這個實驗說明了什么？
B
A
C
D
△ABC與△ABD滿足兩邊和其中一邊的對角分別相等，即AB=AB ，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC與△ABD不全等.
這說明，有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.
新知學習
例1.已知：如圖，AD∥BC，AD=CB.求證：△ADC≌△CBA.
AD=CB，(已知)?∠DAC=∠BCA，(已證)?AC=CA，(公共邊)?
?
證明：∵AD∥BC，(已知)
∴∠DAC=∠BCA，(兩直線平行，內錯角相等)
在△DAC和△CBA中，
∴△ADC≌△CBA.(SAS)
典例學習
例2.如圖，在湖泊的岸邊有A，B兩點,難以直接量出A，B兩點間的距離.你能設計一種量出A，B兩點之間距離的方案嗎？說明你這樣設計的理由.
解：在岸上取可以直接到達A，B的一點C，連接AC，延長AC到點A′，使A′C=AC；連接BC，并延長BC到點B′，使B′C=BC.連接A′ B′，量出的長度，就是AB兩點間距離.
A′
B′
典例學習
解：理由：在△ABC與△A′B′C中，
∵AC=A′C，(已知)∠ACB=∠?A′CB′，(對頂角相等)BC=B′C，(已知)?
?
∴△ABC≌△A′B′C.(SAS)
∴A′B′=AB.(全等三角形對應邊相等)
A′
B′
典例學習
例2.如圖，在湖泊的岸邊有A，B兩點,難以直接量出A，B兩點間的距離.你能設計一種量出A，B兩點之間距離的方案嗎？說明你這樣設計的理由.
下列圖形中有沒有全等三角形，并說明全等的理由.
解：圖甲與圖丙全等，依據就是“SAS”.而圖乙中 30° 的角不是已知兩邊的夾角，所以不與另外兩個三角形全等.
針對訓練
1.下列能證明兩個三角形全等的是_________.
A
B
C
D
E
F
(1)AB=DE，AC=DF，∠B=∠E；
(2)AB=DE，AC=DF，∠A=∠E；
(3)AB=DE，AC=DF，∠A=∠D.
(3)
課堂練習
2.已知：如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD. 求證：DC∥AB.
證明：
∵OA=OC，(已知)?∠AOB?=∠COD，(對頂角相等)?OB=OD，(已知)?
?
∴△COD≌△AOB，(SAS)
∴∠C=∠A，(全等三角形對應角相等)
∴ DC∥AB. (內錯角相等，兩直線平行)
課堂練習
3.已知：如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2． 求證：BC＝DE．
證明：∵∠1=∠2，∠DAC=∠DAC， ∴∠BAC=∠DAE
在△ABC與△ADE中，
∴△ABC≌△ADE，(SAS)
∴BC=DE.
AB=AD，(已知)∠BAC=∠DAE，(已證)?AC=AE，(公共邊)?
?
課堂練習
方法歸納
基本事實
用“SAS”判定
三角形全等
1.已知兩邊，必須找“夾角”；
2.已知一角和這角的一夾邊，必須找這角的另一夾邊.
兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等( “邊角邊”或“SAS”).
“SSA”不能判定兩個三角形全等.
注意
課堂小結
本課結束
2

展開更多......

收起↑