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14.2 三角形全等的判定(4)
全等三角形
第14章
掌握定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.
重點
學習目標
我們已經學習了幾種證明三角形全等的方法？
基本事實1：邊角邊.(SAS)
基本事實2：角邊角.(ASA)
基本事實3：邊邊邊.(SSS)
新課引入
探究
我們知道，SAS，ASA，SSS都可以作為判定兩個三角形全等的條件.
其實，在三角形的六個基本元素中選擇三個元素對應相等，除了可以配成SAS，ASA，SSS外，還可以配成：AAA，SSA，AAS.
三角形全等的判定(“角角邊”)
新知學習
想一想，滿足下面三組條件中任一組的兩個三角形，即
(1)三個角分別相等(AAA)；
(2)兩邊和其中一邊的對角分別相等(SSA)；
(3)兩角和其中一角的對邊分別相等(AAS).
能判定這兩個三角形全等嗎？
新知學習
(1)AAA不能證明兩個三角形全等.
(2)SSA不能證明兩個三角形全等.
如圖，△ABC與△ABD滿足條件AB =AB，AC =AD，∠ABC = ∠ABD，
但它們也不全等.
新知學習
對于(3)，由三角形內角和等于180°，可以推得這兩個三角形的第三個角也分別相等，這樣AAS就可以轉化成ASA ，從而可以判定這樣的兩個三角形全等.
歸納
定理 兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.
簡記為“角角邊”或“AAS”.
新知學習
由上可知，判定兩個三角形全等的依據，有SAS，ASA，AAS和SSS四種.
用符號語言表達：
在△ABC與△A′B′C′中
∵
∠A′=?∠A，∠B′=∠B，BC?=?B′C′，
?
∴ △ABC ≌ △A′B′C′. (AAS)
A
C
B
A′
C′
B′
新知學習
“ASA”與“AAS”的區別：
(1)“ ASA” 中邊是兩角的夾邊，“ AAS” 中邊是其中一角的對邊；
(2)書寫格式上，“ASA”是把夾邊相等寫在兩角相等的中間，“AAS”是把兩角相等寫在一起，邊相等放在最后.
新知學習
例1.已知：如圖，點B，F，C，D在一條直線上，AB=ED， AB∥ED，AC∥EF. 求證：△ABC≌△EDF.
證明：∵ AB∥ED，AC∥EF，( )
∴∠B=∠D，∠ACB=∠EFD.( )
在△ABC與△EDF中，
已知
兩直線平行，內錯角相等
典例學習
∴△ABC ≌△ EDF. (AAS)
∵
∠B=∠D，(已證)∠ACB=∠EFD，(已知)??AB=ED，(已知)????????????????????????
?
例2.已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.
求證：△BDA≌△AEC；
證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
典例學習
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，?∠ABD＝∠CAE，?AB＝AC，?
?
∴△BDA≌△AEC.(AAS)
典例學習
1.如圖所示，在△ABC和△ABC′中，AB＝AB，AC＝AC′，∠ABC＝∠ABC′，但顯然△ABC與△ABC′不全等，這說明當兩個三角形有________________________相等時，這兩個三角形不一定全等．
兩邊和其中一邊的對角
課堂練習
2.AB⊥BC， AD⊥DC，垂足分別為 B，D，∠l=∠2.
求證：AB=AD.
證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.
在△ABC 和△ADC 中，
課堂練習
∴△ABC≌△ADC.(AAS)
∴AB=AD.
∠B=∠D=90°，? ?∠1=∠2，? AC=AC，?
?
3.如圖，在△ABC中，D是AC邊上一點，AE平分∠BAC交BD 于點E，
EF∥BC交AC于點F.已知∠ABE=∠C. 求證：△ABE≌△AFE.
證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE，
∵EF∥BC，∴∠AFE=∠C，
又∵∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠AFE.
在△ABE和△AFE中，
∴△ABE≌△AFE.(AAS)
課堂練習
∠ABE=∠AFE，(已證)∠BAE=∠FAE，(已證)??AE=AE，(公共邊)????????????????????????
?
注意點
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的
兩個三角形全等.簡記為“角角邊”或“AAS”.
“AAA”、“SSA”不能作為兩三角形全等
判定依據.
其他判定三角
形全等的條件
定理
課堂小結
本課結束
2

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