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13.1 三角形中邊的關(guān)系(1)
三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明
第13章
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.知道三角形及三角形的邊、內(nèi)角、頂點(diǎn)，能用符號(hào)語(yǔ)言表示三角形，
培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和抽象能力；
2.會(huì)按三邊的特殊關(guān)系，對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)，提高學(xué)生的歸納能力；
3.掌握三角形的三邊關(guān)系，結(jié)合不等式的相關(guān)知識(shí)，會(huì)判斷三條線(xiàn)段構(gòu)成三角形的條件，加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)其推理能力.
三角形在生活中無(wú)處不在，我們要學(xué)習(xí)的三角形是一種平面圖形，
我們將從頂點(diǎn)、邊長(zhǎng)、內(nèi)角三個(gè)方面來(lái)探究三角形的相關(guān)特點(diǎn).
新知導(dǎo)入
觀(guān)察下面三角形的形成過(guò)程，說(shuō)一說(shuō)什么叫三角形
任務(wù)一：三角形的概念
新知講解
A
B
C
由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾依次相接所組成的封閉圖形叫作三角形．
三角形的定義：
新知講解
點(diǎn) A，B，C 叫作這個(gè)三角形的頂點(diǎn)；
線(xiàn)段 AB，BC，CA 叫作這個(gè)三角形的邊；
∠A，∠B，∠C叫作這個(gè)三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形角．
三角形的構(gòu)成要素：
新知講解
我們把這個(gè)三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”．
三角形的表示：
新知講解
三角形的三邊有時(shí)用它所對(duì)角的相應(yīng)小寫(xiě)字母表示：
如邊BC對(duì)著∠A，記作A；邊CA記作B；邊AB記作C.
三角形邊的表示：
新知講解
三角形中，三條邊互不相等的三角形叫作不等邊三角形；
有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形；
三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形， 又叫作正三角形.
三角形的分類(lèi)：
新知講解
任務(wù)二：三角形的分類(lèi)
等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰，第三邊叫作底邊． 兩腰的夾角叫作頂角，腰與底邊的夾角叫作底角．
等腰三角形：
新知講解
A
B
C
腰
腰
底邊
頂角
底角
底角
三角形按邊長(zhǎng)關(guān)系，可分為：
新知講解
不等邊三角形
等腰三角形
三角形
底邊和腰不相等的等腰三角形
等邊三角形
不等邊三角形
等腰
三角形
等邊
三角形
思考：在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和與第三邊的大小關(guān)系如何？你判斷的根據(jù)是什么？
新知講解
觀(guān)察圖中的三角形，盡管它的三邊長(zhǎng)不完全一 樣，如果把它的任意兩個(gè)頂點(diǎn)，例如 B，C看作定點(diǎn)，則由“兩點(diǎn)之間的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短”，可以得到
AB＋AC＞BC．
同理，得
AC＋BC＞AB，AB＋BC＞AC.
任務(wù)三：三角形的三邊關(guān)系
三角形中任何兩邊的和大于第三邊．
根據(jù)不等式性質(zhì)，不難得到
三角形中任何兩邊的差小于第三邊.
三角形的三邊關(guān)系：
新知講解
BA > BC-AC
AC+CB > AB
BA+AC > BC
CB+BA > CA
AC > AB-CB
CB > CA-BA
例1.等腰三角形中，周長(zhǎng)為 18 cm．
(1)如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求各邊長(zhǎng)；
(2)如果一邊長(zhǎng)為4 cm，求另兩邊長(zhǎng)．
新知講解
解： (1)設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為x cm，則腰長(zhǎng)為2x cm，
根據(jù)題意，得
x+2x+2x=18，
解方程，得 x=3.6，
所以三角形的三邊長(zhǎng)為3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
例1 .等腰三角形中，周長(zhǎng)為 18 cm．
(1)如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求各邊長(zhǎng)；
(2)如果一邊長(zhǎng)為4 cm，求另兩邊長(zhǎng)．
新知講解
解： (2)若底邊長(zhǎng)為4 cm，設(shè)腰長(zhǎng)為x cm，則有
2x+4=18，
解方程，得：x=7，
若腰長(zhǎng)為4 cm，設(shè)底邊長(zhǎng)為x cm． 根據(jù)題意，得
例1 .等腰三角形中，周長(zhǎng)為 18 cm．
(1)如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求各邊長(zhǎng)；
(2)如果一邊長(zhǎng)為4 cm，求另兩邊長(zhǎng)．
新知講解
解：2×4+x=18．
解方程，得x=10．
由于4＋4＜10，可知以4 cm為腰長(zhǎng)不能構(gòu)成周長(zhǎng)為18 cm的等腰三角形．
所以，三角形的另兩邊長(zhǎng)都是7 cm.
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
1.下面是一位同學(xué)用三根木棒拼成的圖形，其中符合三角形概念的是( )
D
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
2.用下列給出的各組長(zhǎng)度的線(xiàn)段能組成三角形的是( )
A.4，5，6
B.6，8，15
C.5，7，12
D.3，7，13
A
課堂練習(xí)
3.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為A，B，C，周長(zhǎng)為10.若A=3，B=4，
則此三角形是 三角形.
等腰
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]必做題：
4.在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB為奇數(shù)，求△ABC周長(zhǎng)L.
解：∵ AC BC可得：3∵AB為奇數(shù)，
∴ AB=5.
∴ △ABC的周長(zhǎng)L=3+5+7=15.
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
5.如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)，以其中任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形,最多可以
畫(huà) 個(gè)三角形.
10
6.已知A，B，C是△ABC的三邊長(zhǎng)，A，B滿(mǎn)足|A-7|+(B-2)2=0，且△ABC的
周長(zhǎng)為偶數(shù)，則C的值為多少？
解：∵A，B滿(mǎn)足|A-7|+(B-2)2=0，
又∵|A-7|≥0，(B-2)2 ≥0，
∴A-7=0，B- 2=0，解得A=7，B=2.
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得7-2< C<7+2，即5又∵△ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)，A+B=9,
∴C為奇數(shù)，∴C=7.
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
7.若△ABC的兩邊長(zhǎng)之比為2 ：3，三邊長(zhǎng)都是整數(shù)且周長(zhǎng)為18 cm，求△ABC各邊的長(zhǎng).
解：設(shè)兩邊長(zhǎng)分別為2x cm，3x cm，第三邊長(zhǎng)為y cm，
則2x+3x+y=18，即5x+y=18.
∵三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，∴x，y為正整數(shù).
①若x=1，y=13，則三邊長(zhǎng)分別為2 cm，3 cm，13 cm,
∵2+3=5<13，∴這三條線(xiàn)段不能組成三角形，舍去.
[綜合拓展類(lèi)作業(yè)]
課堂練習(xí)
解：②若x=2，y=8，則三邊長(zhǎng)分別為4 cm，6 cm，8cm.
∵4+6= 10>8，∴這三條線(xiàn)段能組成三角形.
③若x=3，y=3，則三邊長(zhǎng)分別為6 cm，9 cm，3cm.
∵3+6=9，∴這三條線(xiàn)段不能組成三角形，舍去.
綜上所述，△ABC各邊的長(zhǎng)分別為4 cm，6 cm，8 cm.
課堂練習(xí)
7.若△ABC的兩邊長(zhǎng)之比為2 ：3，三邊長(zhǎng)都是整數(shù)且周長(zhǎng)為18 cm，求△ABC各邊的長(zhǎng).
[綜合拓展類(lèi)作業(yè)]
課堂總結(jié)
1.三角形的定義：
由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾依次相接所組成的封閉圖形叫作三角形．
2.三角形的分類(lèi)：
三角形中，三條邊互不相等的三角形叫作不等邊三角形；
有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形；
三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形， 又叫作正三角形.
課堂總結(jié)
3.三角形的三邊關(guān)系：
三角形中任何兩邊的和大于第三邊．
根據(jù)不等式性質(zhì)，不難得到
三角形中任何兩邊的差小于第三邊.
本課結(jié)束
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