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(共22張PPT)
13.2 命題與證明(2)
三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明
第13章
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解基本事實(shí)、定理、證明的意義；
2.了解證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式，能運(yùn)用已學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)證明一些簡(jiǎn)單
的幾何問(wèn)題；
3.通過(guò)一些簡(jiǎn)單命題的證明，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力；
4.讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)定理、命題的由來(lái)產(chǎn)生好奇心和求知欲，
讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類(lèi)生活的密切聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.
新知導(dǎo)入
人的視覺(jué)有時(shí)候受到周?chē)h(huán)境和自身經(jīng)驗(yàn)的影響，會(huì)引導(dǎo)我們做出錯(cuò)誤的判斷；只有通過(guò)科學(xué)的方法推理論證，做出的判斷才是正確的.如圖①中實(shí)線是直的還是彎曲的？圖②中兩條線段a與b哪一條更長(zhǎng)？圖③中的直線AB與直線CD平行嗎？你能肯定嗎？怎樣來(lái)驗(yàn)證你的結(jié)論呢？快來(lái)學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)吧！
論證幾何，源于希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《原本》，這部著作可以說(shuō)是數(shù)學(xué)史上第一座理論豐碑，它確立了數(shù)學(xué)中公理化的演繹范式．
這種范式要求學(xué)科中每個(gè)真命題必須是在它之前已建立的一些命題的邏輯結(jié)論，而所有推理的原始共同出發(fā)點(diǎn)是一些基本的定義和基本事實(shí)．
新知講解
任務(wù)一：理解基本事實(shí)、定理、證明的意義
從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)． 這樣的真命題叫作定理.
定理：
新知講解
如“對(duì)頂角相等”“同角的補(bǔ)角相等”等.
新知講解
命題的正確性
已知條件
定義、事實(shí)、已證
定理
經(jīng)過(guò)證明的真命題叫定理
從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、已證定理，并按照邏輯
規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理(或演繹法)．
演繹推理的過(guò)程，就是演繹證明，簡(jiǎn)稱證明．
演繹推理、證明：
新知講解
例1.已知：如圖，直線c與直線a ，b相交，且∠1＝∠2．
求證：a∥b．
新知講解
解：∵∠1=∠2，(已知)
又∵∠1=∠3，(對(duì)頂角相等)
∴∠2=∠3， (等量代換)
∴a∥b.(同位角相等，兩直線平行)
任務(wù)二：了解證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式
證明“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”.
符號(hào)“∵”讀作“因?yàn)椤?，符?hào)“∴”讀作
“所以”．
新知講解
在證明命題時(shí)，要分清命題的條件和結(jié)論，如果問(wèn)題與圖形有關(guān)，
首先，根據(jù)條件畫(huà)出圖形，并在圖形上標(biāo)出有關(guān)字母與符號(hào)；
再結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證；
然后，分析因果關(guān)系，找出證明途徑；
最后有條理地寫(xiě)出證明過(guò)程．
有些幾何題目，已經(jīng)畫(huà)好了圖形，寫(xiě)出了已知、求證，這時(shí)只
要寫(xiě)出證明過(guò)程．
新知講解
證明的基本步驟與書(shū)寫(xiě)格式總結(jié)：
證明步驟：已知條件 → 依據(jù)公理、已證定理 → 結(jié)論
書(shū)寫(xiě)格式：
證明：∵(已知條件)；
∴(中間推論)；
∴(結(jié)論).
例2.已知：如圖，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求證：OE⊥ OF.
新知講解
證明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知)
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.(角平分線的定義)
又∵∠AOB+∠BOC=180°，(已知)
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC=90°.(等式性質(zhì))
∴OE⊥OF.(垂直的定義)
分析：要證明的是OE⊥OF，只要計(jì)算出∠1+∠2=90°就可以了.
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]必做題：
1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(　 　)
A．所有的命題都是定理
B．定理是真命題
C．公理是真命題
D．“畫(huà)線段AB＝CD”不是命題
A
課堂練習(xí)
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]必做題：
2.下列推理中，錯(cuò)誤的是(　 　)
A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF
B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠r，∴∠α＝∠r
C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c
D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD
D
課堂練習(xí)
課堂練習(xí)
3.下列四個(gè)命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；③過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線；④經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，其中是定理的是
(填序號(hào))．
①③
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]必做題：
4.如圖，已知AB和CD相交于點(diǎn)O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD.
求證：AC// BD.
根據(jù)證明過(guò)程,在括號(hào)內(nèi)填上推理的依據(jù).
證明：∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD(已知)，
又∵∠COA=∠BOD( )，
∴∠C=∠D( )，
∴AC//BD( ).
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
對(duì)頂角相等
等量代換
內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
5.如圖，已知AB⊥BC，DC⊥BC，∠1=∠2.求證：BE//CF.
現(xiàn)有下列步驟：①∵∠2=∠1；②∴∠ABC=∠BCD=90° ；
③∴BE //CF；④∵AB⊥BC，DC⊥BC；⑤∴∠EBC=∠FCB.
那么正確的證明順序是( )
A.①②③④⑤
B.③④⑤②①
C.④②①⑤③
D.⑤②③①④
C
6.如圖，DE∥BC，F(xiàn)G∥CD，求證：∠CDE＝∠BGF.
[知識(shí)技能類(lèi)作業(yè)]選做題：
證明：∵DE∥BC(已知)，
∴∠EDC＝∠DCG(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，
又∵FG∥CD(已知)，
∴∠DCG＝∠FGB(兩直線平行，同位角相等)，
∴∠CDE＝∠BGF(等量代換).
課堂練習(xí)
7.證明命題“兩條平行線被第三條直線所截，一組內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行”是真命題.(要求畫(huà)圖，并寫(xiě)出已知、求證、證明)
解：已知：如圖，直線AB，CD與直線EF分別交于點(diǎn)G，M，
AB // CD，
GH，MN分別是∠BGM，∠CMG的平分線.
求證：GH//MN.
證明：∵GH，MN分別是∠BGM，∠CMG的平分線(已知)，
∴∠MGH=∠BGM，∠GMN=∠CMG(角平分線的定義).
[綜合拓展類(lèi)作業(yè)]
課堂練習(xí)
∵AB//CD(已知)，
∴∠BGM=∠CMG(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等),
∴∠MGH=∠GMN(等量代換)，
∴GH//MN(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).
7.證明命題“兩條平行線被第三條直線所截，一組內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行”是真命題.(要求畫(huà)圖，并寫(xiě)出已知、求證、證明)
[綜合拓展類(lèi)作業(yè)]
課堂練習(xí)
課堂總結(jié)
1.定理：
從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)． 這樣的真命題叫作定理.
2.演繹推理、證明：
從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、已證定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理(或演繹法)．
演繹推理的過(guò)程，就是演繹證明，簡(jiǎn)稱證明．
課堂總結(jié)
3.證明的基本步驟與書(shū)寫(xiě)格式總結(jié)：
證明步驟：已知條件 → 依據(jù)公理、已證定理 → 結(jié)論
書(shū)寫(xiě)格式：
證明：∵( 已知條件 )；
∴( 中間推論 )；
∴( 結(jié)論 ).
本課結(jié)束
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