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(共22張PPT)
13.2 命題與證明(3)
三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明
第13章
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解輔助線的概念，理解輔助線在解題過程中的用處；
2.掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用；
3.理解和掌握三角形內(nèi)角和定理的推論1和推論2；
4.經(jīng)歷探索并證明三角形內(nèi)角和定理的過程，會靈活地運用三角形內(nèi)角和定理的幾個推論解決實際問題；
5.通過三角形內(nèi)角和定理的證明,讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的嚴謹性和推理的用途.
新知導(dǎo)入
三角形的內(nèi)角和等于多少？
三角形內(nèi)角和等于180°
在前面的課程中，通過拼接我們能發(fā)現(xiàn)三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個平角.
但是測量有誤差，而且三角形有無數(shù)個，我們不可能用上述方法進行一一驗證.那有沒有更加合理的方法證明呢？
下面，就來證明三角形內(nèi)角和定理：
三角形的內(nèi)角和等于 180°．
已知：△ABC，如圖 ．
求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
新知講解
任務(wù)一：“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用
分析：以前我們通過剪拼將三角形的三個內(nèi)角拼成了 一個平角，這不是證明，但它卻給我們以啟發(fā)． 現(xiàn)在我們通過作圖來實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，給出證明.
新知講解
證明：如圖，延長BC到D，以點C為頂點、CD為一邊作∠2=∠B，
則CE∥BA.(同位角相等，兩直線平行)
∴∠A=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)
∵B、C、D在同一條直線上，(所作)
∴∠1+∠2+∠ACB=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.
在上面的證明過程中，為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線
(如CD，CE)叫作輔助線.
輔助線：
新知講解
輔助線通常畫成虛線．
新知講解
思路總結(jié)：
為了證明三個角的和為180°，轉(zhuǎn)化為一個平角，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.
思考1：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度數(shù).
由此你能得到什么結(jié)論？
新知講解
任務(wù)二：掌握三角形內(nèi)角和定理的推論1和推論2
解：在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.
新知講解
如果三角形中一個角是90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， 另兩個角的和應(yīng)為90°，于是得
推論1：直角三角形的兩銳角互余．
A
C
B
應(yīng)用格式：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°．　
像這樣，由基本事實、定理直接得出的真命題叫作推論．
推論 ：
新知講解
思考2：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度數(shù).
由此你能得到什么結(jié)論？
新知講解
解：在△ABC中，
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.
新知講解
推論2 有兩個角互余的三角形是直角三角形．
A
C
B
應(yīng)用格式：在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形°．　
[知識技能類作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
1.在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，則∠C的度數(shù)是( )
A.50°
B.45°
C.40°
D.30°
A
[知識技能類作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
2.如圖，AB∥CD，AE交CD于C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，則∠D的度數(shù)為(　 　)
A．17°　　　　
B．34°　　　　
C．56°　　　　
D．124°
C
課堂練習(xí)
3.如圖，已知AB//CD，AD和BC相交于點O，∠A=50°，∠AOB=105°，則∠C等于( )
A.20°
B.25°
C.35°
D.45°
B
[知識技能類作業(yè)]必做題：
4.在△ABC中，∠B+∠C=2∠A，∠A：∠B=4：5，求△ABC中各個角的度數(shù).
[知識技能類作業(yè)]必做題：
課堂練習(xí)
解：設(shè)∠A=4x，則∠B=5x.
∵∠B+∠C=2∠A，∴5x+∠C=2×4x，
∴∠C=8x-5x=3x.
∵∠A+∠B+∠C=180° ，∴4x+5x+3x=180° ，∴x=15°.
∴∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°.
[知識技能類作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
5.如圖，已知∠AOD=30° ，點C是射線OD上的一個動點.在點C的運動過程中，△AOC恰好是直角三角形，則此時∠A所有可能的度數(shù)為 .
60°或90°
6.已知：如圖所示，△ABC中，∠AFB=135°，∠A、∠B的平分線AD、 BE
交于F，試證明△ABC為直角三角形．
[知識技能類作業(yè)]選做題：
課堂練習(xí)
證明：∵在△AFB中，∠AFB=135°，(已知)
∴∠FAB+∠FBA=180°-135°=45°(三角形內(nèi)角和定理)
∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，(已知)
∴∠CAB=2∠FAB，∠CBA=2∠FBA(角平分線的性質(zhì))
∴∠CAB+∠CBA=2(∠FAB+∠FBA)=90°，(等量代換)
∴△ABC為直角三角形．(有兩個角互余的三角形是直角三角形)
A
B
C
F
E
D
7.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE平分∠ACB.
(1)求∠ACE的度數(shù)；
(2)若CD⊥AB于點D，∠CDF=74°.
求證：△CFD是直角三角形.
解：(1)∵∠A=30°，∠B=62°,
∴∠ACB= 180°-∠A-∠B=180°-30°-62°=88°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=44° ；
[綜合拓展類作業(yè)]
課堂練習(xí)
(2)證明：∵CD⊥ AB，∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=90°-62°=28°.
∴∠FCD=∠BCE-∠BCD=44°-28°=16°.
∵∠CDF=74°，∴∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF= 180°-16°-74°=90°.
∴△CFD是直角三角形.
[綜合拓展類作業(yè)]
課堂練習(xí)
7.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE平分∠ACB.
(1)求∠ACE的度數(shù)；
(2)若CD⊥AB于點D，∠CDF=74°.
求證：△CFD是直角三角形.
課堂總結(jié)
1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180°.
2.輔助線：
在證明過程中，為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫作輔助線.
3.推論 ：
由基本事實、定理直接得出的真命題叫作推論．
4.三角形內(nèi)角和定理的推理1，推論2：
推論１ 直角三角形的兩銳角互余．
推論２ 有兩個角互余的三角形是直角三角形．
2
本課結(jié)束

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