資源簡介

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12.2　一次函數(3)
第12章　函數與一次函數
前面，我們學習了一次函數及其圖象和性質，你能寫出兩個具體的一次函數解析式嗎？如何畫出它們的圖象？
思考：
反過來，已知一個一次函數的圖象經過兩個具體的點，你能求出它的
解析式嗎？
兩點法 — — 兩點確定一條直線
新課導入
引例：某物體沿一個斜坡下滑，它的速度 v (m/s)與其下滑時間 t (s)的關系如右圖所示：
(1)請寫出 v 與 t 的關系式.
(2)下滑 3 s 時物體的速度是多少？
v (m/s)
t(s)
O
解：(1)v=2.5t；
(2)v=2.5×3=7.5(m/s).
5
2
確定正比例函數的表達式
新課講授
例1.求正比例函數y=(m-4)的表達式．
解：由正比例函數的定義知
m2－15＝1且 m－4 ≠ 0，
∴m＝－4，
∴y＝－8x.
方法總結：利用正比例函數的定義確定表達式：自變量的指數為 1，
系數不為 0.
典例學習
想一想：確定正比例函數的表達式需要幾個條件？
確定一次函數的表達式呢？
一個.
兩個.
如圖，已知一次函數的圖象經過
P(0，-1)，Q(1，1) 兩點. 怎樣確定
這個一次函數的解析式呢？
確定一次函數的表達式
因為一次函數的一般形式是y=kx+b(k，b為常數，k≠0)，要求出一次函數的解析式，關鍵是要確定k和b的值(即待定系數).
函數解析式
y=kx+b
滿足條件的兩點
(x1，y1)，(x2，y2)
一次函數的圖象直線 l
選取
解出
畫出
選取
∵P(0，-1)和Q(1，1)都在該函數圖象上，
∴它們的坐標應滿足y=kx+b， 將這兩點坐標代入該式中，
得到一個關于k，b的二元一次方程組：
解這個方程組，得
∴這個一次函數的解析式為y=2x-1.
這里，先設所求的一次函數表達式為y=kx+b(k，b是待確定的系數)，再根據已知條件列出k，b的方程組，求得k，b的值，這種確定表達式中系數的方法，叫作待定系數法.
知識要點
例2.如果知道一個一次函數，當自變量x=4時，函數值y=5；當x=5時，y=2.
你能畫出它的圖象，并寫出函數表達式嗎？
y
解：因為 y 是 x 的一次函數，設其表達式為 y=kx+b.
所以，函數表達式為 y=-3x+17.
圖象如圖所示.
由題意得 解得
典例學習
利用二元一次方程組求一次函數表達式的一般步驟：
1.用含字母的系數設出一次函數的表達式：y = kx + b.
2.將已知條件代入上述表達式中得 k，b 的二元一次方程組.
3.解這個二元一次方程組得 k，b.
4.進而求出一次函數的表達式.
總結歸納
1.已知一次函數 y=kx+5的圖象經過點 (-1，2)，則 k =______.
2.已知函數 y=2x+b的圖像經過點 (a，7)和 (-2，a)，則這個函數的表達式為__________.
3
y=2x+5
練一練
例3.已知一次函數的圖象過點 (0，2)，且與兩坐標軸圍成的三角形的
面積為 2，求此一次函數的解析式.
分析：一次函數 y=kx+b 與 y 軸的交點是(0，b)，與 x 軸的交點是(-，0).
由題意可列出關于 k，b的方程.
y
x
O
2
注意：此題有兩種情況.
典例學習
解：設一次函數的解析式為 y=kx+b(k ≠ 0)，
∵一次函數 y=kx+b的圖象過點(0，2)，
∴b=2，
∵一次函數的圖象與 x 軸的交點是(-，0)，則
×2×|-|=2，
解得 k=1或-1.
故此一次函數的解析式為 y=x+2或y=-x+2.
例3.已知一次函數的圖象過點 (0，2)，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 2，
求此一次函數的解析式.
典例學習
例4.正比例函數與一次函數的圖象如圖所示，它們的交點為 A(4，3)，B 為一次函數的圖象與 y 軸的交點，且OA＝2OB.求正比例函數與一次函數的表達式．
解：設正比例函數的表達式為 y1＝k1x，
一次函數的表達式為 y2＝k2x＋b.
∵點 A(4，3) 是它們的交點，
∴代入上述表達式中，
得 3＝4k1，3＝4k2＋b . 解得 k1＝.
即正比例函數的表達式為 y＝x.
∵OA＝＝5，且 OA＝2OB，
∴OB＝.
∵點 B 在 y 軸的負半軸上，
∴B 點的坐標為(0，－)．
又∵點 B 在一次函數 y2＝k2x＋b的圖象上，
∴－＝b，代入 3＝4k2＋b 中，得 k2＝.
∴一次函數的表達式為 y2＝ x－ .
根據圖象確定一次函數的表達式的方法：從圖象上選取兩個已知點的坐標，然后運用待定系數法將兩點的橫、縱坐標代入所設表達式中求出待定系數，從而求出函數的表達式．
歸納總結
做一做
某種拖拉機的油箱可儲油 40 L，加滿油并開始工作后，油箱中的剩余油量 y(L)與工作時間 x(h) 之間為一次函數關系，函數圖象如圖所示.
(1)求 y 關于 x 的函數表達式；
(2)一箱油可供拖拉機工作
幾小時？
解：(1)y=-5x+40(0≤x≤8)；
(2)8 h.
1.一次函數 y=kx+b(k≠0)的圖象如圖，則下列結論正確的是 ( )
A．k=2　　
B．k=3　　
C．b=2　　
D．b=3
D
y
x
O
2
3
課堂練習
2.如圖，直線l是一次函數 y=kx+b的圖象，填空：　
(1)b =______，k=______；
(2當x=30時，y=______；
(3當y=30時，x=______.
2
-18
-42
l
y
x
課堂練習
3.已知一次函數的圖象經過 (0，5)、(2，－5) 兩點，求一次函數的
表達式．
解：設一次函數的表達式為 y＝kx＋b，
根據題意得，
∴－5＝2k＋b，5＝b，
解得 b＝5，k＝－5.
∴一次函數的表達式為 y＝－5x＋5.
課堂練習
解：設直線l為y=kx+b，
∵l與直線 y=-2x平行，
∴k=-2.
又∵直線過點(0，2)，
∴2=-2×0+b.
∴b=2.
∴直線l的表達式為y=-2x+2.
4.已知直線l與直線 y=-2x平行，且與y軸交于點(0，2)，求直線l的表達式.
課堂練習
5.在彈性限度內，彈簧的長度 y(厘米)是所掛物體質量 x(千克)的一次函數.一根彈簧不掛物體時長 14.5 厘米；當所掛物體的質量為 3 千克時，彈簧長 16 厘米.請寫出 y 與 x 之間的關系式，并求當所掛物體的質量為 4 千克時彈簧的長度.
解：由題意設 y=kx+b(k≠0)，則14.5=b，16=3k+b，
解得：b=14.5，k=0.5.
所以在彈性限度內，y=0.5x+14.5.
當x=4時，y=0.5×4＋14.5=16.5(厘米).
故當所掛物體的質量為4 千克時彈簧的長度為16.5 厘米.
課堂練習
用待定系數法求一次函數的表達式
2. 根據已知條件列出關于 k、b 的方程組；
1. 設所求的一次函數表達式為 y = kx + b；
3. 解方程，求出 k、b；
4. 把求出的 k，b 代回表達式即可.
課堂總結
本課結束

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